10 原创素养题 运算能力 已知$△ ABC$的三边分别是$a,b,c$，且满足$|a - 5| + (b - 12)^2 = 0$，则当$c^2 = \_\_\_\_\_\_$时，$△ ABC$是直角三角形。

10. 169 或 119

11 如图,每个小正方形的边长为1,若A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为.

11. $45°$

12 分类讨论思想 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$, $AB=5\ \mathrm{cm}$,$AC=3\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$B$出发,沿射线$BC$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$,当$t=$时,$△ ABP$为直角三角形.

12. 2 或 $\frac{25}{8}$

13 传统文化 《九章算术》（2023·南通中考）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数$a$，$b$，$c$，其中$a$，$b$均小于$c$，$a=\frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2}$，$c=\frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}$，$m$是大于1的奇数，则$b=$（用含$m$的式子表示）.

13. $m$ [解析]$\because a,b,c$是勾股数,其中$a,b$均小于$c$,$a=\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2}$,$c=\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}$,$\therefore b^2=c^2-a^2=(\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}m^4+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}m^2-(\frac{1}{4}m^4+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}m^2)=\frac{1}{4}m^4+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}m^2-\frac{1}{4}m^4-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}m^2=m^2$.$\because m$是大于1的奇数,$\therefore b=m$.
归纳总结 本题考查了勾股定理与勾股数,根据所给数据利用$a^2+b^2=c^2$求解.

14 如图，在$△ ABC$中，AB边上的垂直平分线DE与AB，AC分别交于点D，E，且$CB^2 = AE^2 - CE^2$。
(1)求证：$∠ C = 90°$；
(2)若$AC=15$，$BC=9$，求CE的长。

14. (1)连接BE,如图.
$\because AB$边上的垂直平分线为DE,
$\therefore AE=BE$,$\therefore CB^2=BE^2-CE^2$,
$\therefore CB^2+CE^2=BE^2$,$\therefore ∠ C=90°$.
(2)设$CE=x$,则$AE=BE=15-x$,
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△BCE$中,$EC^2+BC^2=BE^2$,
即$x^2+9^2=(15-x)^2$,解得$x=\frac{24}{5}$,
$\searrow$利用勾股定理建立等量关系
则$CE=\frac{24}{5}$.

15（2025·河南平顶山有道实验学校月考）如图，在$△ ABC$中，$E$为$AB$边上的一点，连接$CE$并延长，过点$A$作$AD⊥ CE$，垂足为$D$，若$AD=7$，$AB=20$，$BC=15$，$DC=24$。
（1）试说明$∠ B$为直角；
（2）记$△ ADE$的面积为$S_1$，$△ BCE$的面积为$S_2$，则$S_2 - S_1$的值为________。

15. (1)$\because AD⊥ CE$,$\therefore ∠ D=90°$.$\because AD=7,DC=24$,$\therefore AC^2=AD^2+DC^2=7^2+24^2=25^2$.
又$AB=20,BC=15$,$20^2+15^2=25^2$,$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$,$\therefore △ABC$是直角三角形,且$∠ B$为直角.
(2)$66$ [解析]由题意,得$S_2+S_{△ACE}=S_{△ABC}$ ①,
$S_1+S_{△ACE}=S_{△ACD}$ ②,①$-$②,得 $S_2-S_1=S_{△ABC}-S_{△ACD}=\frac{1}{2}×15×20-\frac{1}{2}×7×24=66$.

16 中考新考法 证明一般结论 如图,在$△ ABC$中,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$所对的边分别为$a$,$b$,$c$.
(1)若$a=6$,$b=8$,$c=12$,请直接写出$∠ A$与$∠ B$的和与$∠ C$的大小关系;
(2)试说明:$△ ABC$的内角和等于$180°$;
(3)若$\frac{a}{a - b + c}=\frac{\frac{1}{2}(a + b + c)}{c}$,试说明:$△ ABC$是直角三角形.

16. (1)$\because$ 在$△ABC$中,$a=6,b=8,c=12$,
$\therefore ∠ A+∠ B＜∠ C$.
(2)如图,过点B作$MN// AC$.
$\because MN// AC$,
$\therefore ∠ MBA=∠ A$,$∠ NBC=∠ C$.
又$∠ MBA+∠ ABC+∠ NBC=180°$,
$\therefore ∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$,
即三角形三个内角的和等于$180°$.
(3)$\because \frac{a}{a - b + c}=\frac{\frac{1}{2}(a + b + c)}{c}$,$\therefore ac=\frac{1}{2}(a + b + c)·(a - b + c)=\frac{1}{2}[(a^2 + 2ac + c^2)-b^2]$,$\therefore 2ac=a^2+2ac+c^2-b^2$,$\therefore a^2+c^2=b^2$.故$△ABC$是直角三角形.