1 教材P28随堂练习T1·变式（2025·江苏宿迁宿城区期末）
下列实数中，是无理数的是（）.

A.0
B.$-1.5$
C.$π$
D.$\dfrac{7}{22}$

1.C

2 教材P29习题T2·变式 关于无理数的表述，错误的是().

A.无限不循环小数叫作无理数
B.无理数不能写成$\frac{m}{n}$($m,n$是整数，$n≠0$)的形式
C.所有无理数都是无限小数
D.无理数就是指$π$和像$0.101\ 001\ 000\ 1···$(每两个1之间依次多一个0)这样的数

2.D

3 教材P29习题T2·变式 下列说法正确的是().

A.有理数和无理数统称为实数
B.实数由正实数和负实数组成
C.整数和分数统称为实数
D.有理数和数轴上的点一一对应

3.A

4 教材P27例·改编 下列数：$6$，$-3.14$，$\frac{8}{11}$，$0$，$-\frac{π}{2}$，$0.\dot{5}\dot{1}$，$-\frac{7}{4}$，$1.909009000···$（每两个9之间依次多一个0）中，是整数的有；是负分数的有；是无理数的有。

4. 整数：6,0；负分数：$-3.14,-\frac{7}{4}$；无理数：$-\frac{π}{2},1.909 009 000···$(每两个9之间依次多一个0)

5（2024·深圳中考）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（）。


A.a
B.b
C.c
D.d

5.A

6 在实数$3.14,\frac{22}{7},0,1.010010001,π$中,无理数有().

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

6.A

7 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,则在网格上的△ABC中,边长为无理数的有().

A.0条
B.1条
C.2条
D.3条

7.C

8 数形结合思想 如图,请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中画出一个所有顶点均在格点上,且至少有一条边长为无理数的等腰三角形.

8. 如图:(答案不唯一,以下画法供参考)

9 中考新考法 满足结论的条件开放 在等式$\frac{ax + b}{cx + d} = s$中，$a,b,c,d$都是有理数，$x$是无理数。
(1)当$a,b,c,d$满足什么条件时，$s$是有理数？
(2)当$a,b,c,d$满足什么条件时，$s$是无理数？

9.(1)当$a=c=0,d≠0$时,$s=\frac{b}{d}$是有理数.
当$c≠0$时,$s=\frac{ax + b}{cx + d}=\frac{\frac{a}{c}(cx + d)+b-\frac{ad}{c}}{cx + d}=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx + d}$,
其中$\frac{a}{c}$是有理数,$cx + d$是无理数,$b-\frac{ad}{c}$是有理数.
要使$s$为有理数,只需$b-\frac{ad}{c}=0$,即$bc=ad$.
两个有理数相加仍为有理数. 一个有理数加上无理数等于无理数. 零除以任意不为零的数,结果为零
综上,当$a=c=0$且$d≠0$或$c≠0$且$ad=bc$时,$s$是有理数.
(2)当$c=0,d≠0$,且$a≠0$时,$s$是无理数.
当$c≠0$时,$s=\frac{ax + b}{cx + d}=\frac{\frac{a}{c}(cx + d)+b-\frac{ad}{c}}{cx + d}=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cx + d}$,
其中$\frac{a}{c}$是有理数,$cx + d$是无理数,$b-\frac{ad}{c}$是有理数.
所以当$b-\frac{ad}{c}≠0$,即$bc≠ad$时,$s$为无理数.
综上,当$c=0$且$a≠0$且$d≠0$或$c≠0$且$ad≠bc$时,$s$是无理数.
解后反思 本题考查无理数和有理数的概念,进行分类讨论是解题的关键,容易出现漏解的情况.