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9.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需
40
分钟.答案
9.40
解析
【分析】
解题时首先明确有两个未知量：加工1个甲种零件的时间、加工1个乙种零件的时间，我们可以通过设未知数，根据题目给出的两组总加工时间列出二元一次方程组，既可以先分别求解两个未知数的值，再代入计算2个甲和4个乙的总加工时间，也可以观察方程组的结构特征，用整体计算的方法快速得到结果，避免单独求解的繁琐。
【解析】
设加工1个甲种零件需要$ x $分钟，加工1个乙种零件需要$ y $分钟，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 5y = 55 \quad \mathrm{①} \\4x + 9y = 85 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
方法一：单独求解未知数
①×4，得$ 12x + 20y = 220 \quad \mathrm{③} $
②×3，得$ 12x + 27y = 255 \quad \mathrm{④} $
④-③，得$ 7y = 35 $，解得$ y = 5 $
把$ y=5 $代入①，得$ 3x + 5×5 = 55 $，解得$ x = 10 $
所以加工2个甲种零件和4个乙种零件的总时间为：$ 2x + 4y = 2×10 + 4×5 = 40 $（分钟）
方法二：整体计算
①+②，得$ 7x + 14y = 140 $
两边同时除以7，得$ x + 2y = 20 $
所以$ 2x + 4y = 2(x + 2y) = 2×20 = 40 $（分钟）
【答案】
40
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法，整体代入求值
【点评】
本题属于典型的二元一次方程组实际应用问题，解题关键是找准题目中的等量关系准确列方程，既可以按常规步骤解方程组，也可以根据所求式子的特征选择整体法简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确有两个未知量：加工1个甲种零件的时间、加工1个乙种零件的时间，我们可以通过设未知数，根据题目给出的两组总加工时间列出二元一次方程组，既可以先分别求解两个未知数的值，再代入计算2个甲和4个乙的总加工时间，也可以观察方程组的结构特征，用整体计算的方法快速得到结果，避免单独求解的繁琐。
【解析】
设加工1个甲种零件需要$ x $分钟，加工1个乙种零件需要$ y $分钟，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 5y = 55 \quad \mathrm{①} \\4x + 9y = 85 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
方法一：单独求解未知数
①×4，得$ 12x + 20y = 220 \quad \mathrm{③} $
②×3，得$ 12x + 27y = 255 \quad \mathrm{④} $
④-③，得$ 7y = 35 $，解得$ y = 5 $
把$ y=5 $代入①，得$ 3x + 5×5 = 55 $，解得$ x = 10 $
所以加工2个甲种零件和4个乙种零件的总时间为：$ 2x + 4y = 2×10 + 4×5 = 40 $（分钟）
方法二：整体计算
①+②，得$ 7x + 14y = 140 $
两边同时除以7，得$ x + 2y = 20 $
所以$ 2x + 4y = 2(x + 2y) = 2×20 = 40 $（分钟）
【答案】
40
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法，整体代入求值
【点评】
本题属于典型的二元一次方程组实际应用问题，解题关键是找准题目中的等量关系准确列方程，既可以按常规步骤解方程组，也可以根据所求式子的特征选择整体法简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
10. 如图是某市目前供水资源结构的扇形统计图，根据统计图回答问题：
（1）图中各个扇形分别表示什么？所有百分比之和是多少？
（2）该市的供水资源主要来自哪里？
（3）从图中你还能获得哪些信息？
（1）图中各个扇形分别表示什么？所有百分比之和是多少？
（2）该市的供水资源主要来自哪里？
（3）从图中你还能获得哪些信息？
答案
10.(1)图中各个扇形分别表示各种供水资源的百分比，所有百分比之和=14%+22%+64%=100%.
(2)因为64%＞22%＞14%,所以该市的供水资源主要来自黄河水.
(3)从图中可知,地下水资源严重匮乏(答案不唯一).
(2)因为64%＞22%＞14%,所以该市的供水资源主要来自黄河水.
(3)从图中可知,地下水资源严重匮乏(答案不唯一).
解析
【分析】
解决这道题首先要明确扇形统计图的基本特征：扇形统计图用整个圆表示总体（也就是该市总供水资源），每个扇形的大小对应各部分占总体的百分比。思考步骤如下：1. 第一问先对应每个扇形的标注，明确其代表的含义，再将所有百分比相加，根据扇形统计图的性质，总和应为100%，计算验证即可；2. 第二问要找主要供水来源，只需对比三个百分比的大小，占比最高的就是主要来源；3. 第三问是开放性问题，只要是从统计图中提取的合理信息都符合要求。
【解析】
（1）观察统计图可知：标注“水库14%”的扇形表示水库供水占该市总供水资源的14%，标注“地下水22%”的扇形表示地下水供水占总供水资源的22%，标注“黄河水64%”的扇形表示黄河水供水占总供水资源的64%，即各个扇形分别表示各类供水资源占总供水资源的百分比。
计算所有百分比之和：$14\% +22\% +64\% =100\%$。
（2）对比三个百分比的大小：$64\% ＞22\% ＞14\%$，黄河水的占比最高，因此该市供水资源主要来自黄河水。
（3）观察数据可得到多条合理信息，例如水库供水占比最低、地下水供应占比不高等。
【答案】
(1)图中各个扇形分别表示各种供水资源的百分比，所有百分比之和=14%+22%+64%=100%.
(2)因为64%＞22%＞14%,所以该市的供水资源主要来自黄河水.
(3)从图中可知,地下水资源严重匮乏(答案不唯一).
【知识点】
扇形统计图的认识、百分数加减计算、百分数大小比较
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题目，核心是理解扇形统计图各部分的含义，能够从统计图中提取有效数据完成计算、比较等操作，开放性问题只要符合统计图呈现的信息即可得分。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确扇形统计图的基本特征：扇形统计图用整个圆表示总体（也就是该市总供水资源），每个扇形的大小对应各部分占总体的百分比。思考步骤如下：1. 第一问先对应每个扇形的标注，明确其代表的含义，再将所有百分比相加，根据扇形统计图的性质，总和应为100%，计算验证即可；2. 第二问要找主要供水来源，只需对比三个百分比的大小，占比最高的就是主要来源；3. 第三问是开放性问题，只要是从统计图中提取的合理信息都符合要求。
【解析】
（1）观察统计图可知：标注“水库14%”的扇形表示水库供水占该市总供水资源的14%，标注“地下水22%”的扇形表示地下水供水占总供水资源的22%，标注“黄河水64%”的扇形表示黄河水供水占总供水资源的64%，即各个扇形分别表示各类供水资源占总供水资源的百分比。
计算所有百分比之和：$14\% +22\% +64\% =100\%$。
（2）对比三个百分比的大小：$64\% ＞22\% ＞14\%$，黄河水的占比最高，因此该市供水资源主要来自黄河水。
（3）观察数据可得到多条合理信息，例如水库供水占比最低、地下水供应占比不高等。
【答案】
(1)图中各个扇形分别表示各种供水资源的百分比，所有百分比之和=14%+22%+64%=100%.
(2)因为64%＞22%＞14%,所以该市的供水资源主要来自黄河水.
(3)从图中可知,地下水资源严重匮乏(答案不唯一).
【知识点】
扇形统计图的认识、百分数加减计算、百分数大小比较
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题目，核心是理解扇形统计图各部分的含义，能够从统计图中提取有效数据完成计算、比较等操作，开放性问题只要符合统计图呈现的信息即可得分。
【难度系数】
0.9
11. 一方有难，八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120 t打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
(3)哪种方案的运费最少？运费最少是多少元？
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
(3)哪种方案的运费最少？运费最少是多少元？
答案
11.（1）设需甲车型 x 辆，乙车型 y 辆，得：
$\begin{cases}5x+8y=120,\\400x+500y=8\ 200,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=8,\\y=10\end{cases}$. 故需甲车型8辆，乙车型10辆.
（2）设需甲车型 x 辆，乙车型 y 辆，丙车型 z 辆，得$\begin{cases}x+y+z=16,\\5x+8y+10z=120,\end{cases}$ 消去 z 得 $5x+2y=40,x=8-\dfrac{2}{5}y$,因 x , y 是非负整数，且 x+y 不大于 16,得y=0,5,10,15,由 z 是非负整数,解得$\begin{cases}x=8,\\y=0,\\z=8\end{cases}$,或$\begin{cases}x=6,\\y=5,\\z=5\end{cases}$,或$\begin{cases}x=4,\\y=10,\\z=2.\end{cases}$ 所以有三种运送方案：①甲车型8辆，丙车型8辆；②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆.
（3）三种方案的运费分别为：①$400×8+600×8=8\ 000$(元)；②$400×6+500×5+600×5=7\ 900$(元)；③$400×4+500×10+600×2=7\ 800$(元). 因为$8000＞7900＞7800$,故调用甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆运费最少，运费最少是7 800元.
$\begin{cases}5x+8y=120,\\400x+500y=8\ 200,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=8,\\y=10\end{cases}$. 故需甲车型8辆，乙车型10辆.
（2）设需甲车型 x 辆，乙车型 y 辆，丙车型 z 辆，得$\begin{cases}x+y+z=16,\\5x+8y+10z=120,\end{cases}$ 消去 z 得 $5x+2y=40,x=8-\dfrac{2}{5}y$,因 x , y 是非负整数，且 x+y 不大于 16,得y=0,5,10,15,由 z 是非负整数,解得$\begin{cases}x=8,\\y=0,\\z=8\end{cases}$,或$\begin{cases}x=6,\\y=5,\\z=5\end{cases}$,或$\begin{cases}x=4,\\y=10,\\z=2.\end{cases}$ 所以有三种运送方案：①甲车型8辆，丙车型8辆；②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆.
（3）三种方案的运费分别为：①$400×8+600×8=8\ 000$(元)；②$400×6+500×5+600×5=7\ 900$(元)；③$400×4+500×10+600×2=7\ 800$(元). 因为$8000＞7900＞7800$,故调用甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆运费最少，运费最少是7 800元.
解析
【分析】
（1）第一问可通过设甲、乙车型数量为未知数，结合“总运载量120t”“总运费8200元”两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种车型的数量。
（2）第二问涉及三种车型，设三个未知数后可得到含三个未知数、两个方程的不定方程组，消去一个未知数后，根据“车辆数为非负整数、总辆数不超过16”的限制筛选符合条件的整数解，即可得到所有可行的运送方案。
（3）第三问只需将第二问得到的所有可行方案的运费分别计算，比较大小后即可得到运费最少的方案及最低运费。
【解析】
（1）设需甲车型$x$辆，乙车型$y$辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+8y=120\\400x+500y=8200\end{cases}$
化简第二个方程得$4x+5y=82$，结合第一个方程求解，可得$\begin{cases}x=8\\y=10\end{cases}$。
（2）设需甲车型$x$辆，乙车型$y$辆，丙车型$z$辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y+z=16&①\\5x+8y+10z=120&②\end{cases}$
消去$z$：①×10 - ②得$5x+2y=40$，变形得$x=8-\frac{2}{5}y$。
因为$x,y,z$均为非负整数，且$x+y≤16$，所以$y$是5的非负整数倍，可取0、5、10、15，代入验证：
$y=0$时，$x=8$，$z=16-8-0=8$，符合条件；
$y=5$时，$x=6$，$z=16-6-5=5$，符合条件；
$y=10$时，$x=4$，$z=16-4-10=2$，符合条件；
$y=15$时，$x=2$，$x+y=17＞16$，不符合要求，舍去。
因此得到三组符合条件的解，对应三种运送方案。
（3）分别计算三种方案的运费：
方案①：$400×8 + 600×8 = 8000$元；
方案②：$400×6 + 500×5 + 600×5 = 7900$元；
方案③：$400×4 + 500×10 + 600×2 = 7800$元。
比较得$7800＜7900＜8000$，方案③运费最少。
【答案】
（1）需甲车型8辆，乙车型10辆；
（2）有三种运送方案：①甲车型8辆，丙车型8辆；②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）调用甲车型4辆、乙车型10辆、丙车型2辆时运费最少，最少运费是7800元。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，最优方案选择
【点评】
本题结合实际生活中的运输场景，考查方程组的实际应用，解题时要注意未知数的实际意义（车辆数为非负整数），通过筛选不定方程的整数解得到所有可行方案，再通过计算比较得到最优方案，是优化决策类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
（1）第一问可通过设甲、乙车型数量为未知数，结合“总运载量120t”“总运费8200元”两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到两种车型的数量。
（2）第二问涉及三种车型，设三个未知数后可得到含三个未知数、两个方程的不定方程组，消去一个未知数后，根据“车辆数为非负整数、总辆数不超过16”的限制筛选符合条件的整数解，即可得到所有可行的运送方案。
（3）第三问只需将第二问得到的所有可行方案的运费分别计算，比较大小后即可得到运费最少的方案及最低运费。
【解析】
（1）设需甲车型$x$辆，乙车型$y$辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+8y=120\\400x+500y=8200\end{cases}$
化简第二个方程得$4x+5y=82$，结合第一个方程求解，可得$\begin{cases}x=8\\y=10\end{cases}$。
（2）设需甲车型$x$辆，乙车型$y$辆，丙车型$z$辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y+z=16&①\\5x+8y+10z=120&②\end{cases}$
消去$z$：①×10 - ②得$5x+2y=40$，变形得$x=8-\frac{2}{5}y$。
因为$x,y,z$均为非负整数，且$x+y≤16$，所以$y$是5的非负整数倍，可取0、5、10、15，代入验证：
$y=0$时，$x=8$，$z=16-8-0=8$，符合条件；
$y=5$时，$x=6$，$z=16-6-5=5$，符合条件；
$y=10$时，$x=4$，$z=16-4-10=2$，符合条件；
$y=15$时，$x=2$，$x+y=17＞16$，不符合要求，舍去。
因此得到三组符合条件的解，对应三种运送方案。
（3）分别计算三种方案的运费：
方案①：$400×8 + 600×8 = 8000$元；
方案②：$400×6 + 500×5 + 600×5 = 7900$元；
方案③：$400×4 + 500×10 + 600×2 = 7800$元。
比较得$7800＜7900＜8000$，方案③运费最少。
【答案】
（1）需甲车型8辆，乙车型10辆；
（2）有三种运送方案：①甲车型8辆，丙车型8辆；②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）调用甲车型4辆、乙车型10辆、丙车型2辆时运费最少，最少运费是7800元。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，最优方案选择
【点评】
本题结合实际生活中的运输场景，考查方程组的实际应用，解题时要注意未知数的实际意义（车辆数为非负整数），通过筛选不定方程的整数解得到所有可行方案，再通过计算比较得到最优方案，是优化决策类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
12. 中国的干支纪年法是用10个天干即甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，与12个地支即子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥搭配.搭配方法是先将天干顺次写成一行(每10个即重复出现),再将地支顺次写在天干的下面(每12个即重复出现).如下所示:
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊…
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅…
每一列的两个字表示一个年,例如2002年是壬午年.
(1)下一个壬午年是哪一年?
(2)在19世纪末发生的甲午海战及戊戌政变,它们各是哪一年?
(3)20世纪中的哪些年是庚申年?
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊…
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅…
每一列的两个字表示一个年,例如2002年是壬午年.
(1)下一个壬午年是哪一年?
(2)在19世纪末发生的甲午海战及戊戌政变,它们各是哪一年?
(3)20世纪中的哪些年是庚申年?
答案
12.解:10,12的最小公倍数是60,所以干支纪年法以60为周期.
(1)$2002+60=2062$,故下一个壬午年是2062年.
(2)由于地支比天干多2,所以某一年是壬午年,则12年后即是甲午年,换句话说,$2002+12=2014$,$2014-60-60=1894$,是甲午年,即甲午海战发生于1894年,甲午年后的第4年是戊戌年,所以戊戌政变发生于1898年.
(3)壬午年的前2年是庚辰年,再前10年是庚午年,庚午年再前10年是庚申年.$2002-2-10×2=1980$,$1980-60=1920$,所以20世纪的庚申年是1980年及1920年.
(1)$2002+60=2062$,故下一个壬午年是2062年.
(2)由于地支比天干多2,所以某一年是壬午年,则12年后即是甲午年,换句话说,$2002+12=2014$,$2014-60-60=1894$,是甲午年,即甲午海战发生于1894年,甲午年后的第4年是戊戌年,所以戊戌政变发生于1898年.
(3)壬午年的前2年是庚辰年,再前10年是庚午年,庚午年再前10年是庚申年.$2002-2-10×2=1980$,$1980-60=1920$,所以20世纪的庚申年是1980年及1920年.
解析
【分析】
解题前首先明确干支纪年的循环规律：天干每10年重复一次，地支每12年重复一次，因此相同干支的年份间隔为10和12的最小公倍数，即周期为60年。解题时以已知的2002年壬午年为基准：
(1)求下一个壬午年，直接在基准年份上加一个周期即可；
(2)先推算出甲午年、戊戌年与壬午年的年份差，再通过加减周期的倍数，找到19世纪末对应的年份；
(3)先推算出庚申年与壬午年的年份差，再通过减周期的倍数，筛选出20世纪对应的庚申年。
【解析】
首先计算10和12的最小公倍数为60，因此干支纪年法的周期为60年。
(1)已知2002年是壬午年，下一个壬午年为：$2002+60=2062$。
(2)壬午年往后12年为甲午年，先算最近的甲午年：$2002+12=2014$；要找19世纪末的甲午年，往回减2个周期：$2014-60×2=1894$，即甲午海战发生于1894年。
甲午年后第4年为戊戌年：$1894+4=1898$，即戊戌政变发生于1898年。
(3)庚申年比壬午年早$2+10×2=22$年，先算基准年之前最近的庚申年：$2002-22=1980$，1980年属于20世纪；再往前减1个周期：$1980-60=1920$，1920年也属于20世纪。
【答案】
(1)2062年；
(2)甲午海战是1894年，戊戌政变是1898年；
(3)1920年、1980年
【知识点】
最小公倍数应用，周期循环问题，实际年份推算
【点评】
本题结合中国传统干支纪年文化设计，既考查了最小公倍数、周期规律的数学知识应用，又能帮助学生了解传统文化常识，解题核心是先确定干支纪年的60年周期，再结合已知年份做加减推算，能较好锻炼学生的逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确干支纪年的循环规律：天干每10年重复一次，地支每12年重复一次，因此相同干支的年份间隔为10和12的最小公倍数，即周期为60年。解题时以已知的2002年壬午年为基准：
(1)求下一个壬午年，直接在基准年份上加一个周期即可；
(2)先推算出甲午年、戊戌年与壬午年的年份差，再通过加减周期的倍数，找到19世纪末对应的年份；
(3)先推算出庚申年与壬午年的年份差，再通过减周期的倍数，筛选出20世纪对应的庚申年。
【解析】
首先计算10和12的最小公倍数为60，因此干支纪年法的周期为60年。
(1)已知2002年是壬午年，下一个壬午年为：$2002+60=2062$。
(2)壬午年往后12年为甲午年，先算最近的甲午年：$2002+12=2014$；要找19世纪末的甲午年，往回减2个周期：$2014-60×2=1894$，即甲午海战发生于1894年。
甲午年后第4年为戊戌年：$1894+4=1898$，即戊戌政变发生于1898年。
(3)庚申年比壬午年早$2+10×2=22$年，先算基准年之前最近的庚申年：$2002-22=1980$，1980年属于20世纪；再往前减1个周期：$1980-60=1920$，1920年也属于20世纪。
【答案】
(1)2062年；
(2)甲午海战是1894年，戊戌政变是1898年；
(3)1920年、1980年
【知识点】
最小公倍数应用，周期循环问题，实际年份推算
【点评】
本题结合中国传统干支纪年文化设计，既考查了最小公倍数、周期规律的数学知识应用，又能帮助学生了解传统文化常识，解题核心是先确定干支纪年的60年周期，再结合已知年份做加减推算，能较好锻炼学生的逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
