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7 干支纪年法是我国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称。干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环。我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号。天干的计算方法：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法：年份减3，除以12所得的余数。以2022年为例：天干为$(2022-3)÷10=201······9$；地支为$(2022-3)÷12=168······3$。对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年。
请你依据上述规律推断 2050 年为农历
请你依据上述规律推断 2050 年为农历
庚午
年。答案
庚午
解析
【分析】
解题时严格按照题干给出的干支计算规则推导即可：首先计算年份与3的差，再用得到的差分别除以10、12求出对应的余数，最后对照表格中余数对应的序号找到对应的天干、地支，二者组合就是所求的农历年份。
【解析】
1. 先计算年份减3的差：$2050-3=2047$
2. 计算对应天干：用2047除以10，$2047÷10=201······7$，余数为7，对照天干表，序号7对应的天干是庚；
3. 计算对应地支：用2047除以12，$2047÷12=170······7$，余数为7，对照地支表，序号7对应的地支是午；
将天干和地支组合，得到2050年的农历纪年。
【答案】
庚午
【知识点】
带余除法，规律应用
【点评】
本题结合传统干支纪年文化考查数学计算的实际应用，出题形式新颖，解题关键是准确理解题干给出的计算规则，正确计算余数后对应查找即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时严格按照题干给出的干支计算规则推导即可：首先计算年份与3的差，再用得到的差分别除以10、12求出对应的余数，最后对照表格中余数对应的序号找到对应的天干、地支，二者组合就是所求的农历年份。
【解析】
1. 先计算年份减3的差：$2050-3=2047$
2. 计算对应天干：用2047除以10，$2047÷10=201······7$，余数为7，对照天干表，序号7对应的天干是庚；
3. 计算对应地支：用2047除以12，$2047÷12=170······7$，余数为7，对照地支表，序号7对应的地支是午；
将天干和地支组合，得到2050年的农历纪年。
【答案】
庚午
【知识点】
带余除法，规律应用
【点评】
本题结合传统干支纪年文化考查数学计算的实际应用，出题形式新颖，解题关键是准确理解题干给出的计算规则，正确计算余数后对应查找即可得出结果。
【难度系数】
0.8
8【背景引入】在我国举办的第十四届国际数学教育大会,其标识(图甲)中蕴含着很多数学文化元素,以我国传统文化中“洛书”与“河图”为原本,并将其与我国古老的八卦进行了融合,体现了我国传统文化的博大精深.其中八卦符号可以用于记数：━━称为阳爻,对应数字1；━━称为阴爻,对应数字0,这是二进制记数法.每卦均由三个爻组成,图乙中二进制数①表示的是$(011)_2$.
【观察发现】（1）图乙中二进制数②表示的是
【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法:将二进制数的每一位数乘2的相应次方(从右往左依次为$2^0,2^1,2^2,2^3$,以此类推,且当$a≠0$时,$a^0=1$),然后相加.例如,$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=3,(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=13$.
（2）请分别将图乙中的二进制数③、④转换为十进制数.
【类比探究】（3）将八进制数$(2025)_8$转换成十进制数.
【观察发现】（1）图乙中二进制数②表示的是
$(111)_2$
.【拓展延伸】二进制数转换成十进制数的方法:将二进制数的每一位数乘2的相应次方(从右往左依次为$2^0,2^1,2^2,2^3$,以此类推,且当$a≠0$时,$a^0=1$),然后相加.例如,$(011)_2=0×2^2+1×2^1+1×2^0=3,(1101)_2=1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0=13$.
（2）请分别将图乙中的二进制数③、④转换为十进制数.
【类比探究】（3）将八进制数$(2025)_8$转换成十进制数.
答案
（1）$(111)_2$
（2）题图乙中的二进制数③、④依次为$(100)_2$，$(101)_2$，$(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4$，$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$
（3）$(2025)_8=2×8^3+0×8^2+2×8^1+5×8^0=1024+0+16+5=1045$
（2）题图乙中的二进制数③、④依次为$(100)_2$，$(101)_2$，$(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4$，$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$
（3）$(2025)_8=2×8^3+0×8^2+2×8^1+5×8^0=1024+0+16+5=1045$
解析
【分析】
解题前先明确规则：完整的阳爻对应数字1，断开的阴爻对应数字0，每卦3个爻从上到下依次对应三位二进制数从高位到低位的数字。（1）观察图乙②的三个爻对应的数字，即可写出对应的二进制数；（2）先确定③、④对应的二进制数，再按照题干给出的二进制转十进制的方法，将每一位乘对应2的次方（从右往左最低位对应$2^0$，往左次方数依次加1）后求和即可；（3）类比二进制转十进制的规则，八进制转十进制时每一位乘对应8的次方（从右往左次方数从0开始递增），求和即可得到结果。
【解析】
（1）观察图乙②的三个爻，从上到下均为阳爻，对应数字均为1，因此表示的二进制数为$(111)_2$。
（2）先确定③、④对应的二进制数：
③的三个爻从上到下依次为阳爻、阴爻、阴爻，对应二进制数$(100)_2$，转换为十进制：
$(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4$；
④的三个爻从上到下依次为阳爻、阴爻、阳爻，对应二进制数$(101)_2$，转换为十进制：
$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$。
（3）类比二进制转十进制的方法，八进制转十进制时每一位乘对应8的次方，从右往左次方数从0开始：
$(2025)_8=2×8^3+0×8^2+2×8^1+5×8^0=2×512+0+2×8+5×1=1024+16+5=1045$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(111)_2}$
（2）③对应的十进制数为$\boldsymbol{4}$，④对应的十进制数为$\boldsymbol{5}$
（3）$\boldsymbol{1045}$
【知识点】
进制转换，有理数乘方，类比推理
【点评】
本题结合传统文化中的八卦记数设计问题，既考查了不同进位制转换为十进制的计算方法，也引导学生运用类比迁移的方法解决新问题，兼顾了趣味性与知识性。
【难度系数】
0.7
解题前先明确规则：完整的阳爻对应数字1，断开的阴爻对应数字0，每卦3个爻从上到下依次对应三位二进制数从高位到低位的数字。（1）观察图乙②的三个爻对应的数字，即可写出对应的二进制数；（2）先确定③、④对应的二进制数，再按照题干给出的二进制转十进制的方法，将每一位乘对应2的次方（从右往左最低位对应$2^0$，往左次方数依次加1）后求和即可；（3）类比二进制转十进制的规则，八进制转十进制时每一位乘对应8的次方（从右往左次方数从0开始递增），求和即可得到结果。
【解析】
（1）观察图乙②的三个爻，从上到下均为阳爻，对应数字均为1，因此表示的二进制数为$(111)_2$。
（2）先确定③、④对应的二进制数：
③的三个爻从上到下依次为阳爻、阴爻、阴爻，对应二进制数$(100)_2$，转换为十进制：
$(100)_2=1×2^2+0×2^1+0×2^0=4+0+0=4$；
④的三个爻从上到下依次为阳爻、阴爻、阳爻，对应二进制数$(101)_2$，转换为十进制：
$(101)_2=1×2^2+0×2^1+1×2^0=4+0+1=5$。
（3）类比二进制转十进制的方法，八进制转十进制时每一位乘对应8的次方，从右往左次方数从0开始：
$(2025)_8=2×8^3+0×8^2+2×8^1+5×8^0=2×512+0+2×8+5×1=1024+16+5=1045$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(111)_2}$
（2）③对应的十进制数为$\boldsymbol{4}$，④对应的十进制数为$\boldsymbol{5}$
（3）$\boldsymbol{1045}$
【知识点】
进制转换，有理数乘方，类比推理
【点评】
本题结合传统文化中的八卦记数设计问题，既考查了不同进位制转换为十进制的计算方法，也引导学生运用类比迁移的方法解决新问题，兼顾了趣味性与知识性。
【难度系数】
0.7
9 生活中常用的十进制用0～9这十个数字来表示数，满十进一，如$212=2×10^{2}+1×10^{1}+2$。计算机常用二进制来表示字符代码，它用0和1两个数来表示数，满二进一。如二进制数$(10000)_2$转化为十进制数：$1×2^{4}+0×2^{3}+0×2^{2}+0×2^{1}+0×2^{0}=16$（当$a≠0$时，$a^0=1$）。其他进制也有类似的算法。
（1）【发现】根据以上信息，将二进制数$(10101)_2$转化为十进制数是
（2）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即结绳计数。如图所示为远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，转化为十进制，求孩子出生的天数。
（3）【迁移】将八进制数$(27)_8$转化为十进制数是多少？
（1）【发现】根据以上信息，将二进制数$(10101)_2$转化为十进制数是
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。（2）【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即结绳计数。如图所示为远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，转化为十进制，求孩子出生的天数。
（3）【迁移】将八进制数$(27)_8$转化为十进制数是多少？
答案
（1）21
（2）$1×5^2+3×5^1+2×5^0=25+15+2=42$(天)，即孩子出生了42天
（3）$2×8^1+7×8^0=16+7=23$，即八进制数$(27)_8$转化为十进制数是23
（2）$1×5^2+3×5^1+2×5^0=25+15+2=42$(天)，即孩子出生了42天
（3）$2×8^1+7×8^0=16+7=23$，即八进制数$(27)_8$转化为十进制数是23
解析
【分析】
本题为不同进制转十进制的计算问题，核心解题规则为：k进制数转换为十进制时，从右往左将每一位上的数字乘以k的n次方（n从0开始计数，最右侧对应n=0，向左依次加1），再将所有乘积相加即可。
（1）第一问为二进制转十进制，直接套用转换规则，按位计算乘积后求和即可。
（2）第二问为满五进一的五进制计数，先明确从右往左的绳子分别对应五进制的5⁰位、5¹位、5²位，数出每根绳子的结数后再按规则转换为十进制。
（3）第三问为八进制转十进制，同样套用转换规则计算即可。
【解析】
（1）二进制$(10101)_2$转换为十进制：
$\begin{aligned}(10101)_2&=1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=16+0+4+0+1\\&=21\end{aligned}$
（2）由题意可知为五进制计数，从右到左三根绳子的结数分别为2、3、1，转换为十进制：
$\begin{aligned}&1×5^2 + 3×5^1 + 2×5^0\\=&25+15+2\\=&42（天）\end{aligned}$
（3）八进制$(27)_8$转换为十进制：
$\begin{aligned}(27)_8&=2×8^1 +7×8^0\\&=16+7\\&=23\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boxed{21}$
（2）孩子出生的天数为$\boxed{42}$天
（3）八进制数$(27)_8$转化为十进制数是$\boxed{23}$
【知识点】
1. 进制转换
2. 乘方运算
3. 有理数混合运算
【点评】
本题结合新定义和传统生活实例，考查对不同进制转换规则的理解与应用能力，解题关键是找准每一位数字对应的幂次，计算过程简单，只要细心就能得出正确结果。
【难度系数】
0.7
本题为不同进制转十进制的计算问题，核心解题规则为：k进制数转换为十进制时，从右往左将每一位上的数字乘以k的n次方（n从0开始计数，最右侧对应n=0，向左依次加1），再将所有乘积相加即可。
（1）第一问为二进制转十进制，直接套用转换规则，按位计算乘积后求和即可。
（2）第二问为满五进一的五进制计数，先明确从右往左的绳子分别对应五进制的5⁰位、5¹位、5²位，数出每根绳子的结数后再按规则转换为十进制。
（3）第三问为八进制转十进制，同样套用转换规则计算即可。
【解析】
（1）二进制$(10101)_2$转换为十进制：
$\begin{aligned}(10101)_2&=1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=16+0+4+0+1\\&=21\end{aligned}$
（2）由题意可知为五进制计数，从右到左三根绳子的结数分别为2、3、1，转换为十进制：
$\begin{aligned}&1×5^2 + 3×5^1 + 2×5^0\\=&25+15+2\\=&42（天）\end{aligned}$
（3）八进制$(27)_8$转换为十进制：
$\begin{aligned}(27)_8&=2×8^1 +7×8^0\\&=16+7\\&=23\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boxed{21}$
（2）孩子出生的天数为$\boxed{42}$天
（3）八进制数$(27)_8$转化为十进制数是$\boxed{23}$
【知识点】
1. 进制转换
2. 乘方运算
3. 有理数混合运算
【点评】
本题结合新定义和传统生活实例，考查对不同进制转换规则的理解与应用能力，解题关键是找准每一位数字对应的幂次，计算过程简单，只要细心就能得出正确结果。
【难度系数】
0.7
