1. 教材例题变式 [2026长春净月实验学校月考] 如图,在三角形纸片$ABC$中,$AB=6$,$AC=4$,$BC=8$,沿虚线剪下的三角形(阴影部分)与三角形纸片$ABC$相似的是 ()

在三角形纸片 ABC 中,AB = 6,AC = 4,BC = 8. 选项 A 中,∠C = ∠C,$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$,故沿虚线剪下的三角形与三角形纸片 ABC 相似. 选项 B 中,∠A = ∠A,$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$,$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$,$\frac{AD}{AB}≠\frac{AB}{AC}$,故沿虚线剪下的三角形与三角形纸片 ABC 不相似. 选项 C 中,∠B = ∠B,$\frac{BD}{AB}=\frac{2}{3}$,$\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}$,$\frac{BD}{AB}≠\frac{AB}{BC}$,故沿虚线剪下的三角形与三角形纸片 ABC 不相似. 选项 D 中,∠B = ∠B,$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$,$\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}$,$\frac{BD}{BC}≠\frac{BC}{AB}$,故沿虚线剪下的三角形与三角形纸片 ABC 不相似.

【分析】
要判断剪下的阴影三角形与$△ ABC$是否相似，观察各选项可知阴影三角形与$△ ABC$都有公共角，因此可利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一定理判断：先确定公共角，再分别计算夹公共角的两组边的比值，若比值相等则两三角形相似，否则不相似。
【解析】
已知$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=4$，$BC=8$，逐一分析选项：
选项A：公共角为$∠ C$，$CD=2$，$\frac{CD}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，即$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}$，且夹角$∠ C$为公共角，因此阴影三角形与$△ ABC$相似。
选项B：公共角为$∠ A$，$AD=3$，$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$\frac{AD}{AB}≠\frac{AB}{AC}$，因此阴影三角形与$△ ABC$不相似。
选项C：公共角为$∠ B$，$BD=4$，$\frac{BD}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，$\frac{BD}{AB}≠\frac{AB}{BC}$，因此阴影三角形与$△ ABC$不相似。
选项D：公共角为$∠ B$，$BD=4$，$\frac{BD}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，$\frac{BD}{BC}≠\frac{BC}{AB}$，因此阴影三角形与$△ ABC$不相似。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是找准公共角对应的两组夹边，正确计算对应边的比值，避免因对应边找错导致判断失误。
【难度系数】
0.7

2. [2026衡阳成章实验中学月考]如图,在$△ ABC$中,点$P$在$AC$上,若只添加一个条件,就可以判定$△ ABP ∽ △ ACB$,则添加的条件可能是 ()


A.$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BP}{BC}$
B.$BP^2 = AP · PC$
C.$\dfrac{AB}{AP}=\dfrac{AC}{CB}$
D.$AB^2 = AP · AC$

在△ABP 和△ACB 中,∠A = ∠A. $AB^2 = AP · AC$,即$\frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AB}$,两边对应成比例且夹角相等,能判定$△ABP∽△ACB$.

【分析】
要判定有公共角∠A的△ABP和△ACB相似，可根据相似三角形的判定定理：要么再添加一组对应角相等，要么添加夹∠A的两组对应边成比例。首先明确∠A在两个三角形中的夹边：在△ABP中，∠A的夹边是AB、AP；在△ACB中，∠A的夹边是AC、AB，据此逐一分析选项即可。
【解析】
已知△ABP和△ACB有公共角，即$∠ A=∠ A$。
逐一分析选项：
A选项：$\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{BC}$，所给成比例的边不是夹公共角∠A的对应边，不符合“两边成比例且夹角相等”的判定条件，不能判定两三角形相似，故A错误；
B选项：$BP^2 = AP · PC$，变形为$\frac{BP}{AP}=\frac{PC}{BP}$，对应角为∠BPA和∠CPB，仅可用于判定△PBA与△PCB是否相似，和△ACB无关，故B错误；
C选项：$\frac{AB}{AP}=\frac{AC}{CB}$，成比例的边不是夹∠A的对应边，不符合判定要求，故C错误；
D选项：$AB^2 = AP · AC$，根据比例的基本性质变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AP}{AB}$，此时夹公共角∠A的两组对应边成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ ABP ∽ △ ACB$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用类题目，解题的关键是先找到两个三角形的公共角，再结合相似三角形的判定条件分析对应边的比例关系，注意“两边成比例且一边的对角相等”不能作为相似三角形的判定依据。
【难度系数】
0.75

3. 教材复习题变式 如图,某零件的外径为10 cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.若$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=3$,且量得CD=3 cm,则零件的厚度x为 cm.

第3题图 第4题图

$\because \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=3,∠COD=∠AOB,\therefore △COD∽△AOB,$
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=3. \because CD=3\ \mathrm{cm},\therefore AB=9\ \mathrm{cm}. \because$ 零件的外径为10 cm,
∴ 零件的厚度 x 为$(10-9)÷2=\frac{1}{2}(\mathrm{cm})$.

【分析】
解题时先观察已知条件：题目给出两组对应边的比相等，且△AOB和△COD有公共对顶角，可先根据相似三角形的判定定理证明两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质求出内孔直径AB的长度；最后结合零件外径的长度，分析外径、AB、厚度x的数量关系，即可求出x的值。
【解析】
∵$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=3$，$∠ COD=∠ AOB$（对顶角相等），
∴$△ COD ∽ △ AOB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=3$。
∵$CD=3\ \mathrm{cm}$，
∴$AB=3× CD=3×3=9\ \mathrm{cm}$。
∵零件外径为$10\ \mathrm{cm}$，且外径长度等于内孔直径AB加上两侧厚度的和$2x$，
∴$2x=10-9=1\ \mathrm{cm}$，
解得$x=\frac{1}{2}=0.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{0.5}$（或$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$）
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是准确识别相似三角形，将实际测量问题转化为几何相似问题求解，侧重考查对相似三角形判定和性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在$BC$上,$BC=\sqrt{3}AB=3BD$,则$\dfrac{AD}{AC}$的值为.

$\because BC=\sqrt{3}AB=3BD,\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{AB}{DB}=\sqrt{3}$. 又$\because ∠B=∠B,\therefore △ABC∽△DBA,\therefore \frac{AC}{DA}=\frac{BC}{BA}=\sqrt{3},\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

【分析】
解题时首先对已知的边的等量关系进行转化，得到两组对应边的比值相等；再观察到$△ ABC$和$△ DBA$有公共角$∠ B$，符合相似三角形判定定理中“两边成比例且夹角相等”的条件，可证明两三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，推导得到$\frac{AD}{AC}$的比值。
【解析】
已知$BC=\sqrt{3}AB=3BD$，对等式变形可得：
$\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$，$\frac{AB}{DB}=\sqrt{3}$，即$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{DB}=\sqrt{3}$。
又$\because ∠ B$是$△ ABC$和$△ DBA$的公共角，即$∠ B=∠ B$，
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DBA$。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AC}{DA}=\frac{BC}{BA}=\sqrt{3}$，
对比例式变形可得$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题目，解题核心是从已知的边的等量关系中梳理出对应边的比例关系，结合公共角完成相似证明，再利用相似性质求解比值。
【难度系数】
0.7

5. [2026海口义龙中学月考]如图,点D,E分别在线段AB,AC上,BE与CD交于点O,DF//AC,AD·AB=AE·AC,求证:△DOF∽△BOD.

证明:$\because AD · AB = AE · AC,\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$.
又$\because ∠A = ∠A,\therefore △ABE∽△ACD,\therefore ∠B = ∠C$.
$\because DF// AC,\therefore ∠C = ∠ODF,\therefore ∠B = ∠ODF$.
又$\because ∠DOF = ∠BOD,\therefore △DOF∽△BOD$.

【分析】
要证明△DOF∽△BOD，可通过找两组对应角相等的思路推导：首先从已知等积式AD·AB=AE·AC入手，将其转化为比例式，结合公共角∠A可先证△ABE∽△ACD，得到∠B=∠C；再结合DF//AC的条件，利用平行线性质得到∠C=∠ODF，等量代换得∠B=∠ODF；最后待证相似的两个三角形有公共角∠DOF=∠BOD，满足两角对应相等的相似判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because AD · AB = AE · AC,\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
又$\because ∠A = ∠A,\therefore △ABE∽△ACD,\therefore ∠B = ∠C$。
$\because DF// AC,\therefore ∠C = ∠ODF,\therefore ∠B = ∠ODF$。
又$\because ∠DOF = ∠BOD,\therefore △DOF∽△BOD$。
【答案】
证明：$\because AD · AB = AE · AC,\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
又$\because ∠A = ∠A,\therefore △ABE∽△ACD,\therefore ∠B = ∠C$。
$\because DF// AC,\therefore ∠C = ∠ODF,\therefore ∠B = ∠ODF$。
又$\because ∠DOF = ∠BOD,\therefore △DOF∽△BOD$。
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.平行线的性质
3.比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用，解题的核心是掌握等积式转比例式的方法，结合公共角、平行线性质完成角的等量代换，找到两组对应相等的角即可快速解题。
【难度系数】
0.7

6. [2026白银期末]如图,在$△ ABC$中,点$P,D$分别在$BC,AC$上,$PA ⊥ AB$于点$A$,$DP ⊥ BC$于点$P$,
$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{PC}$.
(1)求证:$∠ APD = ∠ C$;
(2)若$AB = 3$,$DC = 2$,求$AP$的长.

(1)证明:$\because PA ⊥ AB,DP ⊥ BC,\therefore ∠BAP = ∠CPD = 90°$.
又$\because \frac{AP}{PD}=\frac{AB}{PC},\therefore △ABP∽△PCD,\therefore ∠APB = ∠PDC$.
$\because ∠APB + ∠APD = 90°,∠C + ∠PDC = 90°,\therefore ∠APD = ∠C$.
(2)解:$\because △ABP∽△PCD,\therefore ∠B = ∠C,\therefore AC = AB = 3$.
$\because DC = 2,\therefore AD = AC - DC = 1$.
$\because ∠PAD = ∠CAP,∠APD = ∠C,\therefore △APD∽△ACP$,
$\therefore \frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AP},\therefore \frac{AP}{3}=\frac{1}{AP},\therefore AP = \sqrt{3}$(负值舍去).

【分析】
(1) 要证明∠APD=∠C，首先结合已知的两个垂直条件，可得∠BAP=∠CPD=90°，再结合给出的边成比例条件$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{PC}$，可通过“两边对应成比例且夹角相等”判定△ABP∽△PCD，得到对应角∠APB=∠PDC；再根据平角定义可得∠APB+∠APD=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠C+∠PDC=90°，最后利用等角的余角相等即可证得结论。
(2) 先由(1)中的相似三角形可得∠B=∠C，推出AC=AB，结合已知DC的长度求出AD的长；再观察△APD和△ACP，有公共角∠PAD=∠CAP，加上(1)中已证的∠APD=∠C，可通过“两角对应相等”判定△APD∽△ACP，最后根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可，注意线段长度为正，舍去负根。
【解析】
(1) 证明：$\because PA ⊥ AB,DP ⊥ BC,\therefore ∠BAP = ∠CPD = 90°$.
又$\because \frac{AP}{PD}=\frac{AB}{PC},\therefore △ABP∽△PCD,\therefore ∠APB = ∠PDC$.
$\because ∠APB + ∠APD = 90°,∠C + ∠PDC = 90°,\therefore ∠APD = ∠C$.
(2) 解：$\because △ABP∽△PCD,\therefore ∠B = ∠C,\therefore AC = AB = 3$.
$\because DC = 2,\therefore AD = AC - DC = 1$.
$\because ∠PAD = ∠CAP,∠APD = ∠C,\therefore △APD∽△ACP$,
$\therefore \frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AP},\therefore \frac{AP}{3}=\frac{1}{AP},\therefore AP = \sqrt{3}$(负值舍去).
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、等角的余角相等
【点评】
本题考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是结合已知条件和图形中的隐含角的关系，准确找到对应的相似三角形，再利用相似的性质完成角度推导和线段计算，能很好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6