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7. [2026长春德惠期末] 如图,在△ABC中,点D在BC上,点E在AC上,∠BAD = ∠C,∠ABC的平分线BE交AD于点F,在下列三角形中,与△BDF相似的是 (
A.△BFA
B.△BAE
C.△BEC
D.△AEF
B
)A.△BFA
B.△BAE
C.△BEC
D.△AEF
答案
B 在△ABD 和△CBA 中,∠BAD = ∠C,∠ABD = ∠CBA,
∴ ∠ADB = ∠CAB.
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠CBE. 选项 A,在△BDF 和△BFA 中,只有 ∠ABF = ∠DBF 这一个条件,
∴ 不能判定△BDF 和△BFA 相似. 选项 B,在△BDF 和△BAE 中,∠DBF = ∠ABE,∠BDF = ∠BAE,
∴ △BDF∽△BAE. 选项 C,在△BDF 和△BEC 中,只有 ∠DBF = ∠EBC 这一个条件,
∴ 不能判定△BDF 和△BEC 相似. 选项 D,在△BDF 和△AEF 中,只有 ∠BFD = ∠AFE 这一个条件,
∴ 不能判定△BDF 和△AEF 相似.
∴ ∠ADB = ∠CAB.
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠CBE. 选项 A,在△BDF 和△BFA 中,只有 ∠ABF = ∠DBF 这一个条件,
∴ 不能判定△BDF 和△BFA 相似. 选项 B,在△BDF 和△BAE 中,∠DBF = ∠ABE,∠BDF = ∠BAE,
∴ △BDF∽△BAE. 选项 C,在△BDF 和△BEC 中,只有 ∠DBF = ∠EBC 这一个条件,
∴ 不能判定△BDF 和△BEC 相似. 选项 D,在△BDF 和△AEF 中,只有 ∠BFD = ∠AFE 这一个条件,
∴ 不能判定△BDF 和△AEF 相似.
解析
【分析】
解题时我们利用相似三角形的“两角分别相等的两个三角形相似”判定定理推导即可。首先从已知条件入手，先结合∠BAD=∠C和公共角∠ABD=∠CBA，推出∠ADB=∠CAB；再根据角平分线的性质得到∠ABE=∠CBE，最后逐一核对选项，判断哪个三角形能与△BDF找到两组对应相等的角即可。
【解析】
在△ABD和△CBA中：
∵∠BAD = ∠C，∠ABD = ∠CBA（公共角），
∴由三角形内角和为180°可得∠ADB = ∠CAB。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠CBE，即∠DBF = ∠ABE。
对各选项逐一分析：
选项A：△BDF和△BFA中，仅有∠ABF=∠DBF一组相等角，无法判定相似，排除；
选项B：△BDF和△BAE中，∠DBF=∠ABE（已证），∠BDF=∠BAE（已证），满足两角分别相等，故△BDF∽△BAE，符合要求；
选项C：△BDF和△BEC中，仅有∠DBF=∠EBC一组相等角，无法判定相似，排除；
选项D：△BDF和△AEF中，仅有对顶角∠BFD=∠AFE一组相等角，无法判定相似，排除。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的AA判定、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题核心是结合已知条件、公共角、角平分线性质挖掘出两组对应相等的角，能很好地考查学生对相似三角形判定定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们利用相似三角形的“两角分别相等的两个三角形相似”判定定理推导即可。首先从已知条件入手，先结合∠BAD=∠C和公共角∠ABD=∠CBA，推出∠ADB=∠CAB；再根据角平分线的性质得到∠ABE=∠CBE，最后逐一核对选项，判断哪个三角形能与△BDF找到两组对应相等的角即可。
【解析】
在△ABD和△CBA中：
∵∠BAD = ∠C，∠ABD = ∠CBA（公共角），
∴由三角形内角和为180°可得∠ADB = ∠CAB。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE = ∠CBE，即∠DBF = ∠ABE。
对各选项逐一分析：
选项A：△BDF和△BFA中，仅有∠ABF=∠DBF一组相等角，无法判定相似，排除；
选项B：△BDF和△BAE中，∠DBF=∠ABE（已证），∠BDF=∠BAE（已证），满足两角分别相等，故△BDF∽△BAE，符合要求；
选项C：△BDF和△BEC中，仅有∠DBF=∠EBC一组相等角，无法判定相似，排除；
选项D：△BDF和△AEF中，仅有对顶角∠BFD=∠AFE一组相等角，无法判定相似，排除。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的AA判定、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题核心是结合已知条件、公共角、角平分线性质挖掘出两组对应相等的角，能很好地考查学生对相似三角形判定定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
8. [2025河北中考]如图,在五边形ABCDE中,AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是(
A.∠B + ∠4 = 180°
B.CD//AB
C.∠1 = ∠4
D.∠2 = ∠3
D
)A.∠B + ∠4 = 180°
B.CD//AB
C.∠1 = ∠4
D.∠2 = ∠3
答案
D
∵ AE//BC,
∴ ∠AEM = ∠CND,∠MAE = ∠B. 选项 A 中,当添加 ∠B + ∠4 = 180°时,可得 AB//CD,
∴ ∠DCN = ∠B,
∴ ∠MAE = ∠DCN,
∴ △MAE∽△DCN. 选项 B 中,当添加 CD//AB 时,判定过程同选项 A. 选项 C 中,当添加 ∠1 = ∠4 时,
∵ ∠MAE + ∠1 = 180°,∠DCN + ∠4 = 180°,
∴ ∠MAE = ∠DCN,
∴ △MAE∽△DCN. 选项 D 中,当添加 ∠2 = ∠3 时,
∵ ∠AEM + ∠2 = 180°,∠CDN + ∠3 = 180°,
∴ ∠AEM = ∠CDN = ∠CND,不能判定△MAE∽△DCN.
∵ AE//BC,
∴ ∠AEM = ∠CND,∠MAE = ∠B. 选项 A 中,当添加 ∠B + ∠4 = 180°时,可得 AB//CD,
∴ ∠DCN = ∠B,
∴ ∠MAE = ∠DCN,
∴ △MAE∽△DCN. 选项 B 中,当添加 CD//AB 时,判定过程同选项 A. 选项 C 中,当添加 ∠1 = ∠4 时,
∵ ∠MAE + ∠1 = 180°,∠DCN + ∠4 = 180°,
∴ ∠MAE = ∠DCN,
∴ △MAE∽△DCN. 选项 D 中,当添加 ∠2 = ∠3 时,
∵ ∠AEM + ∠2 = 180°,∠CDN + ∠3 = 180°,
∴ ∠AEM = ∠CDN = ∠CND,不能判定△MAE∽△DCN.
解析
【分析】
已知AE//BC，根据平行线的性质可先得到△MAE和△DCN的一组对应角相等：∠AEM=∠CND。根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，要判定两三角形相似，只需再推出一组对应角相等即可。我们逐一验证每个选项添加后是否能推出另一组对应角相等，即可选出无法判定相似的条件。
【解析】
∵ AE//BC，
∴ ∠AEM = ∠CND，∠MAE = ∠B。
对各选项分析如下：
A. 添加∠B + ∠4 = 180°，
∵ ∠DCN + ∠4 = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠DCN = ∠B = ∠MAE，
结合∠AEM=∠CND，可得△MAE∽△DCN，不符合题意。
B. 添加CD//AB，
∴ ∠DCN = ∠B = ∠MAE，
结合∠AEM=∠CND，可得△MAE∽△DCN，不符合题意。
C. 添加∠1 = ∠4，
∵ ∠MAE + ∠1 = 180°，∠DCN + ∠4 = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠MAE = ∠DCN，
结合∠AEM=∠CND，可得△MAE∽△DCN，不符合题意。
D. 添加∠2 = ∠3，
∵ ∠AEM + ∠2 = 180°，∠CDN + ∠3 = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠AEM = ∠CDN，
结合∠AEM=∠CND，可得∠CDN=∠CND，仅能证明△DCN为等腰三角形，无法推出另一组对应角相等，因此不能判定△MAE∽△DCN，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题将平行线的性质与相似三角形的判定相结合考查，解题时先从已知平行条件推出一组等角，再逐一验证添加条件后能否得到第二组等角即可，需熟练掌握相似三角形的判定定理和平行线带来的角的等量关系。
【难度系数】
0.7
已知AE//BC，根据平行线的性质可先得到△MAE和△DCN的一组对应角相等：∠AEM=∠CND。根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，要判定两三角形相似，只需再推出一组对应角相等即可。我们逐一验证每个选项添加后是否能推出另一组对应角相等，即可选出无法判定相似的条件。
【解析】
∵ AE//BC，
∴ ∠AEM = ∠CND，∠MAE = ∠B。
对各选项分析如下：
A. 添加∠B + ∠4 = 180°，
∵ ∠DCN + ∠4 = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠DCN = ∠B = ∠MAE，
结合∠AEM=∠CND，可得△MAE∽△DCN，不符合题意。
B. 添加CD//AB，
∴ ∠DCN = ∠B = ∠MAE，
结合∠AEM=∠CND，可得△MAE∽△DCN，不符合题意。
C. 添加∠1 = ∠4，
∵ ∠MAE + ∠1 = 180°，∠DCN + ∠4 = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠MAE = ∠DCN，
结合∠AEM=∠CND，可得△MAE∽△DCN，不符合题意。
D. 添加∠2 = ∠3，
∵ ∠AEM + ∠2 = 180°，∠CDN + ∠3 = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠AEM = ∠CDN，
结合∠AEM=∠CND，可得∠CDN=∠CND，仅能证明△DCN为等腰三角形，无法推出另一组对应角相等，因此不能判定△MAE∽△DCN，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质；邻补角的性质
【点评】
本题将平行线的性质与相似三角形的判定相结合考查，解题时先从已知平行条件推出一组等角，再逐一验证添加条件后能否得到第二组等角即可，需熟练掌握相似三角形的判定定理和平行线带来的角的等量关系。
【难度系数】
0.7
9. [2026 毕节七星关区期末] 如图, 在 $Rt △ ABC$ 和 $Rt△ ADC$中,$∠ ACB = ∠ ADC = 90°$,AC平分$∠ BAD$.
(1)求证:$AC^2 = AD · AB$;
(2)点E是AB的中点,连接DE,CE,AC与DE交于点F,若$AB =6,\frac{AF}{CF}=\frac{2}{3}$,求AD的长.
(1)求证:$AC^2 = AD · AB$;
(2)点E是AB的中点,连接DE,CE,AC与DE交于点F,若$AB =6,\frac{AF}{CF}=\frac{2}{3}$,求AD的长.
答案
(1)证明:
∵ AC 平分∠BAD,
∴ ∠DAC = ∠BAC.
又
∵ ∠ADC = ∠ACB,
∴ △ADC∽△ACB,
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$,
∴ $AC^2 = AD · AB$.
(2)解:
∵ 在 Rt△ABC 中,点 E 是 AB 的中点,AB = 6,
∴ $CE = AE = \frac{1}{2} AB = 3$,
∴ ∠CAB = ∠ACE = ∠DAC,
∴ AD//CE,
∴ △ADF∽△CEF,
∴ $\frac{AD}{CE} = \frac{AF}{CF} = \frac{2}{3}$,
∴ $AD = \frac{2}{3} CE = \frac{2}{3} × 3 = 2$.
∵ AC 平分∠BAD,
∴ ∠DAC = ∠BAC.
又
∵ ∠ADC = ∠ACB,
∴ △ADC∽△ACB,
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$,
∴ $AC^2 = AD · AB$.
(2)解:
∵ 在 Rt△ABC 中,点 E 是 AB 的中点,AB = 6,
∴ $CE = AE = \frac{1}{2} AB = 3$,
∴ ∠CAB = ∠ACE = ∠DAC,
∴ AD//CE,
∴ △ADF∽△CEF,
∴ $\frac{AD}{CE} = \frac{AF}{CF} = \frac{2}{3}$,
∴ $AD = \frac{2}{3} CE = \frac{2}{3} × 3 = 2$.
解析
【分析】
(1) 要证明等积式$AC^2 = AD · AB$，可先转化为比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，只需证明对应三角形相似即可。已知AC平分∠BAD可得一组等角，又有两个直角相等，符合两角分别相等的相似三角形判定条件，证明△ADC∽△ACB即可推导结论。
(2) 先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出CE的长度，再结合角平分线定义推导角的等量关系，得到AD与CE平行，即可证明△ADF∽△CEF，利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的$\frac{AF}{CF}$比值即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠DAC = ∠BAC，
又
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90°，
∴ △ADC∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$，
交叉相乘得$AC^2 = AD · AB$，得证。
(2) 解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，AB=6，
∴ $CE = AE = \frac{1}{2}AB = 3$，
∴ ∠CAB = ∠ACE，
∵ AC平分∠BAD，即∠DAC = ∠CAB，
∴ ∠DAC = ∠ACE，
∴ AD//CE（内错角相等，两直线平行），
∴ △ADF∽△CEF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AD}{CE} = \frac{AF}{CF} = \frac{2}{3}$，
代入CE=3得：$AD = \frac{2}{3} × 3 = 2$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是将等积式转化为比例式，通过寻找角的等量关系证明三角形相似，第二问结合直角三角形的特殊性质推导平行线进而得到相似三角形，考查了学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明等积式$AC^2 = AD · AB$，可先转化为比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，只需证明对应三角形相似即可。已知AC平分∠BAD可得一组等角，又有两个直角相等，符合两角分别相等的相似三角形判定条件，证明△ADC∽△ACB即可推导结论。
(2) 先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出CE的长度，再结合角平分线定义推导角的等量关系，得到AD与CE平行，即可证明△ADF∽△CEF，利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的$\frac{AF}{CF}$比值即可求出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠DAC = ∠BAC，
又
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90°，
∴ △ADC∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$，
交叉相乘得$AC^2 = AD · AB$，得证。
(2) 解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，AB=6，
∴ $CE = AE = \frac{1}{2}AB = 3$，
∴ ∠CAB = ∠ACE，
∵ AC平分∠BAD，即∠DAC = ∠CAB，
∴ ∠DAC = ∠ACE，
∴ AD//CE（内错角相等，两直线平行），
∴ △ADF∽△CEF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AD}{CE} = \frac{AF}{CF} = \frac{2}{3}$，
代入CE=3得：$AD = \frac{2}{3} × 3 = 2$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是将等积式转化为比例式，通过寻找角的等量关系证明三角形相似，第二问结合直角三角形的特殊性质推导平行线进而得到相似三角形，考查了学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10. 在$□ ABCD$中，E是AD上的一点，BE交AC于点F，$∠ AEB = ∠ DCA$。
(1)如图1，当$∠ D = 90°$时，求证：$\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$。
(2)如图2，当$∠ D$为钝角时，$\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明。
(1)如图1，当$∠ D = 90°$时，求证：$\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$。
(2)如图2，当$∠ D$为钝角时，$\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明。
答案
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∠D = 90°,
∴ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠BAE = 90°,
∴ ∠BAE = ∠D.
又
∵ ∠AEB = ∠DCA,
∴ △BAE∽△ADC,
∴ $\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$.
(2)解:成立.
证明:
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AB//CD,
∴ ∠BAF = ∠DCA.
∵ ∠AEB = ∠DCA,
∴ ∠BAF = ∠AEB.
又
∵ ∠ABF = ∠EBA,
∴ △ABF∽△EBA,
∴ $\frac{EB}{AB} = \frac{AE}{AF}$.
∵ ∠AEF = ∠DCA,∠FAE = ∠DAC,
∴ △FAE∽△DAC,
∴ $\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AD}$,
∴ $\frac{AE}{AF} = \frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{BE}{AB} = \frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∠D = 90°,
∴ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠BAE = 90°,
∴ ∠BAE = ∠D.
又
∵ ∠AEB = ∠DCA,
∴ △BAE∽△ADC,
∴ $\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$.
(2)解:成立.
证明:
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AB//CD,
∴ ∠BAF = ∠DCA.
∵ ∠AEB = ∠DCA,
∴ ∠BAF = ∠AEB.
又
∵ ∠ABF = ∠EBA,
∴ △ABF∽△EBA,
∴ $\frac{EB}{AB} = \frac{AE}{AF}$.
∵ ∠AEF = ∠DCA,∠FAE = ∠DAC,
∴ △FAE∽△DAC,
∴ $\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AD}$,
∴ $\frac{AE}{AF} = \frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{BE}{AB} = \frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据平行四边形且有一个内角为90°，判定四边形ABCD是矩形，得到∠BAE=∠D=90°，结合题目给出的∠AEB=∠DCA，利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明△BAE∽△ADC，再根据相似三角形对应边成比例即可推导得到要证的比例式。
(2) 解题思路：当∠D为钝角时，先利用平行四边形对边平行的性质，得到∠BAF=∠DCA，结合已知条件等量代换得∠BAF=∠AEB，搭配公共角∠ABF=∠EBA证明△ABF∽△EBA，得到第一组比例式；再利用公共角∠FAE=∠DAC和已知的∠AEF=∠DCA，证明△FAE∽△DAC，得到第二组比例式，通过中间比代换整理即可得到结论，因此等式依然成立。
【解析】
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∠D = 90°,
∴ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠BAE = 90°,
∴ ∠BAE = ∠D.
又
∵ ∠AEB = ∠DCA,
∴ △BAE∽△ADC,
∴ $\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$.
(2)解:成立.
证明:
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AB//CD,
∴ ∠BAF = ∠DCA.
∵ ∠AEB = ∠DCA,
∴ ∠BAF = ∠AEB.
又
∵ ∠ABF = ∠EBA,
∴ △ABF∽△EBA,
∴ $\frac{EB}{AB} = \frac{AE}{AF}$.
∵ ∠AEF = ∠DCA,∠FAE = ∠DAC,
∴ △FAE∽△DAC,
∴ $\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AD}$,
∴ $\frac{AE}{AF} = \frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{BE}{AB} = \frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$.
【答案】
(1) $\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$得证；
(2) 成立，$\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$仍成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题结合平行四边形、矩形的性质考查相似三角形的应用，第一问思路直接，第二问需要通过两次证明相似三角形，再进行比例代换得到结论，侧重考查逻辑推导和等量代换的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：首先根据平行四边形且有一个内角为90°，判定四边形ABCD是矩形，得到∠BAE=∠D=90°，结合题目给出的∠AEB=∠DCA，利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明△BAE∽△ADC，再根据相似三角形对应边成比例即可推导得到要证的比例式。
(2) 解题思路：当∠D为钝角时，先利用平行四边形对边平行的性质，得到∠BAF=∠DCA，结合已知条件等量代换得∠BAF=∠AEB，搭配公共角∠ABF=∠EBA证明△ABF∽△EBA，得到第一组比例式；再利用公共角∠FAE=∠DAC和已知的∠AEF=∠DCA，证明△FAE∽△DAC，得到第二组比例式，通过中间比代换整理即可得到结论，因此等式依然成立。
【解析】
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∠D = 90°,
∴ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ ∠BAE = 90°,
∴ ∠BAE = ∠D.
又
∵ ∠AEB = ∠DCA,
∴ △BAE∽△ADC,
∴ $\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$.
(2)解:成立.
证明:
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AB//CD,
∴ ∠BAF = ∠DCA.
∵ ∠AEB = ∠DCA,
∴ ∠BAF = ∠AEB.
又
∵ ∠ABF = ∠EBA,
∴ △ABF∽△EBA,
∴ $\frac{EB}{AB} = \frac{AE}{AF}$.
∵ ∠AEF = ∠DCA,∠FAE = ∠DAC,
∴ △FAE∽△DAC,
∴ $\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AD}$,
∴ $\frac{AE}{AF} = \frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{BE}{AB} = \frac{AC}{AD}$,
∴ $\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$.
【答案】
(1) $\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$得证；
(2) 成立，$\frac{BE}{AC} = \frac{AB}{AD}$仍成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题结合平行四边形、矩形的性质考查相似三角形的应用，第一问思路直接，第二问需要通过两次证明相似三角形，再进行比例代换得到结论，侧重考查逻辑推导和等量代换的能力。
【难度系数】
0.6
11. 推理能力 在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC = 90°$，点$P$是$BC$上的动点，小慧拿含$45°$角的透明三角板（用阴影表示），使$45°$角的顶点落在点$P$处，三角板可绕点$P$旋转.
(1) 如图1，当三角板的两边分别交$AB, AC$于点$E, F$时，求证：$△ BPE ∽ △ CFP$.
(2) 将三角板绕点$P$旋转到图2情形时，三角板的两边分别交$BA$的延长线、边$AC$于点$E, F$，$△ BPE$与$△ CFP$相似吗？请说明理由.
(1) 如图1，当三角板的两边分别交$AB, AC$于点$E, F$时，求证：$△ BPE ∽ △ CFP$.
(2) 将三角板绕点$P$旋转到图2情形时，三角板的两边分别交$BA$的延长线、边$AC$于点$E, F$，$△ BPE$与$△ CFP$相似吗？请说明理由.
答案
(1)证明:
∵ ∠EPF = 45°,
∴ ∠BPE + ∠CPF = 135°.
∵ AB = AC,∠BAC = 90°,
∴ ∠B = ∠C = 45°,
∴ ∠BEP + ∠BPE = 135°,
∴ ∠BEP = ∠CPF.
又
∵ ∠B = ∠C,
∴ △BPE∽△CFP.
(2)解:相似. 理由如下:
∵ ∠EPF = 45°,
∴ ∠BPE + ∠CPF = 135°.
∵ AB = AC,∠BAC = 90°,
∴ ∠B = ∠C = 45°,
∴ ∠BEP + ∠BPE = 180° − ∠B = 135°,
∴ ∠BEP = ∠CPF.
又
∵ ∠B = ∠C,
∴ △BPE∽△CFP.
∵ ∠EPF = 45°,
∴ ∠BPE + ∠CPF = 135°.
∵ AB = AC,∠BAC = 90°,
∴ ∠B = ∠C = 45°,
∴ ∠BEP + ∠BPE = 135°,
∴ ∠BEP = ∠CPF.
又
∵ ∠B = ∠C,
∴ △BPE∽△CFP.
(2)解:相似. 理由如下:
∵ ∠EPF = 45°,
∴ ∠BPE + ∠CPF = 135°.
∵ AB = AC,∠BAC = 90°,
∴ ∠B = ∠C = 45°,
∴ ∠BEP + ∠BPE = 180° − ∠B = 135°,
∴ ∠BEP = ∠CPF.
又
∵ ∠B = ∠C,
∴ △BPE∽△CFP.
解析
【分析】
本题两小问均为相似三角形证明题，优先使用两角分别相等的相似判定定理求解：①首先由△ABC是等腰直角三角形，可推出∠B=∠C=45°，得到一组相等的角，仅需再推导一组对应角相等即可完成证明；②结合三角板的45°角，利用平角为180°可得到∠BPE与∠CPF的和为135°；③再根据三角形内角和为180°，在△BPE中可推出∠BEP与∠BPE的和为135°，通过等量代换就能得到另一组相等的角。第二问三角板旋转后，角的推导逻辑和第一问完全一致，仅E点位置改变，∠B的度数不变，按相同思路推导即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠EPF = 45°，
∴ ∠BPE + ∠CPF = 180° - 45° = 135°。
∵ AB = AC，∠BAC = 90°，
∴ ∠B = ∠C = (180° - 90°)÷2 = 45°，
在△BPE中，∠BEP + ∠BPE = 180° - ∠B = 135°，
∴ ∠BEP = ∠CPF（同角的补角相等）。
又
∵ ∠B = ∠C，
∴ △BPE ∽ △CFP（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：△BPE与△CFP相似，理由如下：
∵ ∠EPF = 45°，
∴ ∠BPE + ∠CPF = 180° - 45° = 135°。
∵ AB = AC，∠BAC = 90°，
∴ ∠B = ∠C = 45°，
在△BPE中，∠BEP + ∠BPE = 180° - ∠B = 135°，
∴ ∠BEP = ∠CPF（同角的补角相等）。
又
∵ ∠B = ∠C，
∴ △BPE ∽ △CFP（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) △BPE∽△CFP，证明成立；
(2) △BPE与△CFP相似。
【知识点】
等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定
【点评】
本题属于动态几何中的相似证明基础题，两小问的推导逻辑一致，解题核心是抓住图形中不变的角的等量关系，熟练掌握两角分别相等的相似判定定理即可求解，要注意图形位置变化时，本质的角的关系推导方法不变。
【难度系数】
0.7
本题两小问均为相似三角形证明题，优先使用两角分别相等的相似判定定理求解：①首先由△ABC是等腰直角三角形，可推出∠B=∠C=45°，得到一组相等的角，仅需再推导一组对应角相等即可完成证明；②结合三角板的45°角，利用平角为180°可得到∠BPE与∠CPF的和为135°；③再根据三角形内角和为180°，在△BPE中可推出∠BEP与∠BPE的和为135°，通过等量代换就能得到另一组相等的角。第二问三角板旋转后，角的推导逻辑和第一问完全一致，仅E点位置改变，∠B的度数不变，按相同思路推导即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠EPF = 45°，
∴ ∠BPE + ∠CPF = 180° - 45° = 135°。
∵ AB = AC，∠BAC = 90°，
∴ ∠B = ∠C = (180° - 90°)÷2 = 45°，
在△BPE中，∠BEP + ∠BPE = 180° - ∠B = 135°，
∴ ∠BEP = ∠CPF（同角的补角相等）。
又
∵ ∠B = ∠C，
∴ △BPE ∽ △CFP（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：△BPE与△CFP相似，理由如下：
∵ ∠EPF = 45°，
∴ ∠BPE + ∠CPF = 180° - 45° = 135°。
∵ AB = AC，∠BAC = 90°，
∴ ∠B = ∠C = 45°，
在△BPE中，∠BEP + ∠BPE = 180° - ∠B = 135°，
∴ ∠BEP = ∠CPF（同角的补角相等）。
又
∵ ∠B = ∠C，
∴ △BPE ∽ △CFP（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) △BPE∽△CFP，证明成立；
(2) △BPE与△CFP相似。
【知识点】
等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定
【点评】
本题属于动态几何中的相似证明基础题，两小问的推导逻辑一致，解题核心是抓住图形中不变的角的等量关系，熟练掌握两角分别相等的相似判定定理即可求解，要注意图形位置变化时，本质的角的关系推导方法不变。
【难度系数】
0.7
