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9. ★★★(2024·眉山中考)如图,斜坡CD的坡度$i=1:2$,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为$60°$时,大树在斜坡上的影子BE长为10米,则大树AB的高为
$(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})$
米.答案
9. $(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})$ 解析:如图,过点 E 作水平地面的平行线,交 AB 的延长线于点 H,则 $∠BEH = ∠DCF$, 在 $Rt△BEH$ 中,$\tan∠BEH=\tan∠BCF=i=\frac{BH}{EH}=\frac{1}{2}$,设 $BH=x$ 米,$EH=2x$ 米,
∴ $BE = \sqrt{EH^2+BH^2} = \sqrt{5}x$(米),
∴ $\sqrt{5}x=10$,
∴ $x=2\sqrt{5}$,
∴ $BH=2\sqrt{5}$米,$EH=4\sqrt{5}$米.
∵ $∠AEH=60°$,
∴ $AH=\tan∠AEH·EH=\sqrt{3}EH=4\sqrt{15}$(米),
∴ $AB = AH - BH =(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})$(米).故答案为$(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})$.
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：第一步，构造合适的直角三角形转化已知条件，因为AB垂直水平面，所以过E作水平面的平行线，交AB延长线于H，得到两个直角三角形$\mathrm{Rt}△ BEH$和$\mathrm{Rt}△ AEH$；第二步，利用斜坡CD的坡度，得到$\mathrm{Rt}△ BEH$中两条直角边的比例关系，结合BE的长度，求出BH、EH的长度；第三步，根据太阳光与水平面夹角为$60°$，在$\mathrm{Rt}△ AEH$中利用正切函数求出AH的长度；第四步，AB的长度等于AH减去BH，计算即可得到结果。
【解析】
如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，则$∠ BEH = ∠ DCF$。
在$\mathrm{Rt}△ BEH$中，$\tan∠ BEH=\tan∠ DCF=i=\frac{BH}{EH}=\frac{1}{2}$，设$BH=x$米，$EH=2x$米。
由勾股定理得：$BE = \sqrt{EH^2+BH^2} = \sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$（米）。
已知$BE=10$米，因此$\sqrt{5}x=10$，解得$x=2\sqrt{5}$。
所以$BH=2\sqrt{5}$米，$EH=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$米。
由题意得太阳光与水平面夹角为$60°$，即$∠ AEH=60°$，在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，$AH=\tan∠ AEH · EH=\sqrt{3} × 4\sqrt{5}=4\sqrt{15}$（米）。
因此大树的高度$AB = AH - BH = (4\sqrt{15} - 2\sqrt{5})$米。
【答案】
$(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})$
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度的概念，锐角三角函数
【点评】
本题是锐角三角函数应用的典型题型，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将坡度、角度及线段长度的条件转化到直角三角形中，结合勾股定理和三角函数进行求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：第一步，构造合适的直角三角形转化已知条件，因为AB垂直水平面，所以过E作水平面的平行线，交AB延长线于H，得到两个直角三角形$\mathrm{Rt}△ BEH$和$\mathrm{Rt}△ AEH$；第二步，利用斜坡CD的坡度，得到$\mathrm{Rt}△ BEH$中两条直角边的比例关系，结合BE的长度，求出BH、EH的长度；第三步，根据太阳光与水平面夹角为$60°$，在$\mathrm{Rt}△ AEH$中利用正切函数求出AH的长度；第四步，AB的长度等于AH减去BH，计算即可得到结果。
【解析】
如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，则$∠ BEH = ∠ DCF$。
在$\mathrm{Rt}△ BEH$中，$\tan∠ BEH=\tan∠ DCF=i=\frac{BH}{EH}=\frac{1}{2}$，设$BH=x$米，$EH=2x$米。
由勾股定理得：$BE = \sqrt{EH^2+BH^2} = \sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$（米）。
已知$BE=10$米，因此$\sqrt{5}x=10$，解得$x=2\sqrt{5}$。
所以$BH=2\sqrt{5}$米，$EH=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$米。
由题意得太阳光与水平面夹角为$60°$，即$∠ AEH=60°$，在$\mathrm{Rt}△ AEH$中，$AH=\tan∠ AEH · EH=\sqrt{3} × 4\sqrt{5}=4\sqrt{15}$（米）。
因此大树的高度$AB = AH - BH = (4\sqrt{15} - 2\sqrt{5})$米。
【答案】
$(4\sqrt{15}-2\sqrt{5})$
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度的概念，锐角三角函数
【点评】
本题是锐角三角函数应用的典型题型，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将坡度、角度及线段长度的条件转化到直角三角形中，结合勾股定理和三角函数进行求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10. ★★★(2024·宁夏中考)如图①是三星堆遗址出土的陶盉(hè),图②是其示意图.已知管状短流$AB = 2\ \mathrm{cm}$,四边形$BCDE$是器身,$BE// CD$,$BC = DE = 11\ \mathrm{cm}$,$∠ ABE = 120°$,$∠ CBE = 80°$.器身底部$CD$距地面的高度为$21.5\ \mathrm{cm}$,则该陶盉管状短流口$A$距地面的高度约为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.(结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$)(参考数据:$\sin 80°\approx 0.984\ 8$,$\cos 80°\approx 0.173\ 6$,$\tan 80°\approx 5.671\ 3$,$\sqrt{3}\approx 1.732$)
答案
10. 34.1 解析:如图,过点 C 作 $CH ⊥ BE$ 交 BE 于点 H,过点 A 作 $AF ⊥ EB$ 交 EB 的延长线于点 F,
∴ $∠AFB = ∠CHB=90°$.
∵ $∠ABE=120°$,
∴ $∠ABF=60°$,
∴ $\sin∠ABF=\frac{AF}{AB}=\sin 60°$.
∵ $AB=2$ cm,
∴ $\frac{AF}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $AF=\sqrt{3}$ cm ≈ 1.732 cm.
∵ $∠CBE=80°$, $BC=11$ cm,
∴ $\sin∠CBE=\frac{CH}{BC}=\frac{CH}{11}≈0.9848$,
∴ $CH≈10.8328$ cm,
∴ 该陶盉管状短流口 A 距地面的高度为 $AF+CH+21.5 ≈ 1.732+10.8328+21.5 ≈ 34.1$(cm).故答案为 34.1.
解析
【分析】
要计算陶盉管状短流口A距地面的高度，可将高度拆分为三部分：A到直线BE的竖直高度、BE与CD之间的竖直高度、CD到地面的高度21.5cm。首先通过作辅助线构造直角三角形：过A作EB延长线的垂线AF，过C作BE的垂线CH，再利用已知角度分别在两个直角三角形中借助锐角三角函数求出AF、CH的长度，最后将三部分高度相加即可得到所求结果。
【解析】
如图，过点C作 $CH ⊥ BE$ 交BE于点H，过点A作 $AF ⊥ EB$ 交EB的延长线于点F，
∴ $∠ AFB = ∠ CHB=90°$。
∵ $∠ ABE=120°$，
∴ $∠ ABF=180° - 120° = 60°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$\sin∠ ABF=\frac{AF}{AB}=\sin 60°$，
∵ $AB=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $\frac{AF}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得 $AF=\sqrt{3}\ \mathrm{cm} \approx 1.732\ \mathrm{cm}$。
∵ $∠ CBE=80°$，$BC=11\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ CBH$中，$\sin∠ CBE=\frac{CH}{BC}$，
即 $\frac{CH}{11}\approx 0.9848$，解得 $CH\approx 10.8328\ \mathrm{cm}$，
又
∵CD距地面的高度为$21.5\ \mathrm{cm}$，
∴ 该陶盉管状短流口A距地面的高度为 $AF+CH+21.5 \approx 1.732+10.8328+21.5 \approx 34.1$（cm）。
【答案】
34.1
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形，实际应用建模
【点评】
本题结合三星堆文物的实际背景，将几何知识与生活场景融合，解题核心是合理构造直角三角形，把实际高度问题转化为直角三角形的边长求解问题，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要计算陶盉管状短流口A距地面的高度，可将高度拆分为三部分：A到直线BE的竖直高度、BE与CD之间的竖直高度、CD到地面的高度21.5cm。首先通过作辅助线构造直角三角形：过A作EB延长线的垂线AF，过C作BE的垂线CH，再利用已知角度分别在两个直角三角形中借助锐角三角函数求出AF、CH的长度，最后将三部分高度相加即可得到所求结果。
【解析】
如图，过点C作 $CH ⊥ BE$ 交BE于点H，过点A作 $AF ⊥ EB$ 交EB的延长线于点F，
∴ $∠ AFB = ∠ CHB=90°$。
∵ $∠ ABE=120°$，
∴ $∠ ABF=180° - 120° = 60°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$\sin∠ ABF=\frac{AF}{AB}=\sin 60°$，
∵ $AB=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $\frac{AF}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得 $AF=\sqrt{3}\ \mathrm{cm} \approx 1.732\ \mathrm{cm}$。
∵ $∠ CBE=80°$，$BC=11\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ CBH$中，$\sin∠ CBE=\frac{CH}{BC}$，
即 $\frac{CH}{11}\approx 0.9848$，解得 $CH\approx 10.8328\ \mathrm{cm}$，
又
∵CD距地面的高度为$21.5\ \mathrm{cm}$，
∴ 该陶盉管状短流口A距地面的高度为 $AF+CH+21.5 \approx 1.732+10.8328+21.5 \approx 34.1$（cm）。
【答案】
34.1
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形，实际应用建模
【点评】
本题结合三星堆文物的实际背景，将几何知识与生活场景融合，解题核心是合理构造直角三角形，把实际高度问题转化为直角三角形的边长求解问题，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
11. ★★★(2026·合肥模拟)某商场准备从一楼到三楼加装一部手扶电梯,已知每层楼高均为6米,如图,AM为一楼平台,从A处安装扶梯AB到达二楼平台BP,然后从B处安装一段水平扶梯BC,最后由扶梯CD到达三楼平台DN,经测量,扶梯AB的坡角为30°,扶梯CD的坡角为37°,且起点A与终点D在同一竖直线上,求此次加装的扶梯的总长度.(结果精确到0.1米,参考数据:$\sin 37° \approx 0.60$, $\cos 37° \approx 0.80$, $\tan 37° \approx 0.75$, $\sqrt{3} \approx 1.73$)
答案
11. 如图,延长 BC 交 DA 于点 E.由题意知, $∠ABE=30°$, $∠DCE=37°$, $DE=AE=6$ 米. 在 $Rt△ABE$ 中, $AB = \frac{AE}{\sin∠ABE} = \frac{6}{\sin 30°} = 12$ ( 米 ), $BE =\frac{AE}{\tan∠ABE}=\frac{6}{\tan 30°}=6\sqrt{3}$(米), 在 $Rt△DCE$ 中, $CD =\frac{DE}{\sin∠DCE}=\frac{6}{\sin 37°}≈10$(米), $CE=\frac{DE}{\tan∠DCE}=\frac{6}{\tan 37°}≈8$(米),
∴ $BC=BE-CE≈(6\sqrt{3}-8)$米,
∴ $AB+BC+CD≈12+(6\sqrt{3}-8)+10≈24.4$(米).答:此次加装的扶梯的总长度约为 24.4 米.
解析
【分析】
本题是解直角三角形在实际场景中的应用，解题思路如下：首先明确扶梯总长度为AB+BC+CD，已知AB、CD的坡角和每层6米的层高，且A、D在同一竖直线上，BC为水平线段，因此可延长BC交AD于点E，构造出Rt△ABE和Rt△DCE，两个直角三角形的竖直直角边AE、DE均等于层高6米；接下来利用锐角三角函数分别求出坡面AB、CD的长度，以及两个直角三角形的水平直角边BE、CE的长度，水平段BC的长度可由BE减去CE得到；最后将三段长度求和即可得到扶梯总长度。
【解析】
如图，延长BC交DA于点E。
由题意得：$∠ABE=30°$，$∠DCE=37°$，$DE=AE=6$米。
在$Rt△ABE$中：
$AB = \frac{AE}{\sin∠ABE} = \frac{6}{\sin 30°} = 12$（米），
$BE =\frac{AE}{\tan∠ABE}=\frac{6}{\tan 30°}=6\sqrt{3}$（米）。
在$Rt△DCE$中：
$CD =\frac{DE}{\sin∠DCE}=\frac{6}{\sin 37°}≈10$（米），
$CE=\frac{DE}{\tan∠DCE}=\frac{6}{\tan 37°}≈8$（米）。
因此$BC=BE-CE≈(6\sqrt{3}-8)$米，
扶梯总长度为：$AB+BC+CD≈12+(6\sqrt{3}-8)+10≈12+(10.38-8)+10≈24.4$（米）。
【答案】
此次加装的扶梯的总长度约为24.4米。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，坡角的概念
【点评】
本题结合生活中的扶梯加装场景考查解直角三角形的实际应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数求解各线段长度，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题是解直角三角形在实际场景中的应用，解题思路如下：首先明确扶梯总长度为AB+BC+CD，已知AB、CD的坡角和每层6米的层高，且A、D在同一竖直线上，BC为水平线段，因此可延长BC交AD于点E，构造出Rt△ABE和Rt△DCE，两个直角三角形的竖直直角边AE、DE均等于层高6米；接下来利用锐角三角函数分别求出坡面AB、CD的长度，以及两个直角三角形的水平直角边BE、CE的长度，水平段BC的长度可由BE减去CE得到；最后将三段长度求和即可得到扶梯总长度。
【解析】
如图，延长BC交DA于点E。
由题意得：$∠ABE=30°$，$∠DCE=37°$，$DE=AE=6$米。
在$Rt△ABE$中：
$AB = \frac{AE}{\sin∠ABE} = \frac{6}{\sin 30°} = 12$（米），
$BE =\frac{AE}{\tan∠ABE}=\frac{6}{\tan 30°}=6\sqrt{3}$（米）。
在$Rt△DCE$中：
$CD =\frac{DE}{\sin∠DCE}=\frac{6}{\sin 37°}≈10$（米），
$CE=\frac{DE}{\tan∠DCE}=\frac{6}{\tan 37°}≈8$（米）。
因此$BC=BE-CE≈(6\sqrt{3}-8)$米，
扶梯总长度为：$AB+BC+CD≈12+(6\sqrt{3}-8)+10≈12+(10.38-8)+10≈24.4$（米）。
【答案】
此次加装的扶梯的总长度约为24.4米。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，坡角的概念
【点评】
本题结合生活中的扶梯加装场景考查解直角三角形的实际应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数求解各线段长度，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
12. （2026·六安模拟）骆岗机场全向信标塔位于合肥骆岗中央公园内.塔的附近设置了可旋转反光镜面艺术装置,利用镜面反射太阳光,在信标塔的立面上投射定制光影图案.随着太阳高度变化,镜面会自动调整旋转角度,保证反射光线精准投射到指定位置.下图是该装置的反射原理示意图,根据镜面反射定律,入射光线与镜面的夹角$α$等于反射光线与镜面的夹角$β$.已知镜面$CD$绕竖直支撑柱的顶端$A$转动,当镜面$CD$与竖直支撑柱$AB$的夹角$∠ BAD=62°$,且太阳入射光线与镜面的夹角$α$为$53°$时,反射光线恰好投射到信标塔的顶端$E$处.已知支撑柱$AB$的高度为$3.6$米,支撑柱底部$B$与信标塔底部$F$的水平距离$BF$为$120$米,求信标塔$EF$的高度.(结果精确到1米,参考数据:$\sin 25° \approx 0.42,\cos 25° \approx 0.91,\tan 25° \approx 0.47$)
答案
12. 如图,过点 A 作 $AM ⊥ EF$ 于点 M,
∵ $AB ⊥ BF$,$EF ⊥ BF$,
∴ $∠ABF = ∠BFM = ∠FMA = ∠AME =90°$,
∴ 四边形 ABFM 是矩形,
∴ $AB=FM=3.6$ 米,$AM=BF=120$ 米,$∠BAM=90°$.
∵ $α=β=53°$,
∴ $∠EAM = β+∠BAD-∠BAM=53°+62°-90°=25°$, 在 $Rt△AEM$ 中, $\tan∠EAM =\frac{EM}{AM}$,
∴ $\tan 25°=\frac{EM}{120}$,
∴ $EM = 120×\tan 25° ≈ 120×0.47 =56.4$(米),
∴ $EF=EM+FM≈56.4+3.6=60$(米),
∴ 信标塔 EF 的高度约为 60 米.
解析
【分析】
本题是结合物理反射定律的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先构造辅助线，过点A作$AM ⊥ EF$，将图形转化为矩形和直角三角形，利用矩形性质得到对应边的长度；其次根据镜面反射定律$α=β$，结合已知的$∠ BAD$和直角$∠ BAM$，计算出$Rt△ AEM$中锐角$∠ EAM$的度数；最后在直角三角形中利用正切三角函数求出EM的长度，将EM与FM（即AB的高度）相加即可得到信标塔EF的总高度。
【解析】
如图，过点 A 作 $AM ⊥ EF$ 于点 M,
∵ $AB ⊥ BF$,$EF ⊥ BF$,
∴ $∠ABF = ∠BFM = ∠FMA = ∠AME =90°$,
∴ 四边形 ABFM 是矩形,
∴ $AB=FM=3.6$ 米,$AM=BF=120$ 米,$∠BAM=90°$.
∵ 根据镜面反射定律，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即$α=β=53°$,
∴ $∠EAM = β+∠BAD-∠BAM=53°+62°-90°=25°$,
在 $Rt△AEM$ 中, $\tan∠EAM =\frac{EM}{AM}$,
∴ $\tan 25°=\frac{EM}{120}$,
∴ $EM = 120×\tan 25° ≈ 120×0.47 =56.4$(米),
∴ $EF=EM+FM≈56.4+3.6=60$(米).
【答案】
信标塔EF的高度约为60米。
【知识点】
1. 镜面反射定律
2. 矩形的性质
3. 解直角三角形的应用
【点评】
本题结合真实的生活应用场景，跨学科融合了物理反射规律与数学几何知识，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题过程需熟练掌握矩形的性质以及锐角三角函数的实际应用，计算难度较低，侧重对基础建模能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题是结合物理反射定律的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先构造辅助线，过点A作$AM ⊥ EF$，将图形转化为矩形和直角三角形，利用矩形性质得到对应边的长度；其次根据镜面反射定律$α=β$，结合已知的$∠ BAD$和直角$∠ BAM$，计算出$Rt△ AEM$中锐角$∠ EAM$的度数；最后在直角三角形中利用正切三角函数求出EM的长度，将EM与FM（即AB的高度）相加即可得到信标塔EF的总高度。
【解析】
如图，过点 A 作 $AM ⊥ EF$ 于点 M,
∵ $AB ⊥ BF$,$EF ⊥ BF$,
∴ $∠ABF = ∠BFM = ∠FMA = ∠AME =90°$,
∴ 四边形 ABFM 是矩形,
∴ $AB=FM=3.6$ 米,$AM=BF=120$ 米,$∠BAM=90°$.
∵ 根据镜面反射定律，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即$α=β=53°$,
∴ $∠EAM = β+∠BAD-∠BAM=53°+62°-90°=25°$,
在 $Rt△AEM$ 中, $\tan∠EAM =\frac{EM}{AM}$,
∴ $\tan 25°=\frac{EM}{120}$,
∴ $EM = 120×\tan 25° ≈ 120×0.47 =56.4$(米),
∴ $EF=EM+FM≈56.4+3.6=60$(米).
【答案】
信标塔EF的高度约为60米。
【知识点】
1. 镜面反射定律
2. 矩形的性质
3. 解直角三角形的应用
【点评】
本题结合真实的生活应用场景，跨学科融合了物理反射规律与数学几何知识，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题过程需熟练掌握矩形的性质以及锐角三角函数的实际应用，计算难度较低，侧重对基础建模能力的考查。
【难度系数】
0.7
