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1. 已知两个相似三角形的相似比为$1:4$，则这两个三角形的对应高的比为（
A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:16$
D.$4:1$
B
）A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:16$
D.$4:1$
答案
1. B 解析:两个相似三角形的相似比为 1 : 4,则相似三角形的对应高的比为 1 : 4.故选 B.
解析
【分析】
遇到相似三角形对应线段比例的问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线等所有对应线段的比值都等于相似比。本题已经直接给出相似比，要求对应高的比，直接套用该性质即可，解题时注意不要和相似三角形的面积比（等于相似比的平方）混淆。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比。
已知两个相似三角形的相似比为$1:4$，因此这两个三角形的对应高的比也为$1:4$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，主要区分相似三角形对应线段比、面积比与相似比的关系，牢记对应性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
遇到相似三角形对应线段比例的问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线等所有对应线段的比值都等于相似比。本题已经直接给出相似比，要求对应高的比，直接套用该性质即可，解题时注意不要和相似三角形的面积比（等于相似比的平方）混淆。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比。
已知两个相似三角形的相似比为$1:4$，因此这两个三角形的对应高的比也为$1:4$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，主要区分相似三角形对应线段比、面积比与相似比的关系，牢记对应性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形对应中线的比是 (
A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:2$
D
)A.$1:\sqrt{3}$
B.$1:3$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:2$
答案
2. D 解析:因为顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形相似,相似比是 1 : 2,所以所得的三角形与原三角形对应中线的比是 1 : 2.故选 D.
解析
【分析】
解题时首先从题干条件“顺次连接三角形三边的中点”切入，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，由此可推得新得到的三角形与原三角形三边对应成比例，且比例为1:2，根据相似三角形的判定定理可确定两三角形相似，相似比为1:2；再结合相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，即可求出对应中线的比值。
【解析】
解：
∵顺次连接三角形三边中点所得的线段是三角形的中位线，
根据三角形中位线定理可知，中位线的长度等于对应第三边长度的$\frac{1}{2}$，
∴所得三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，且比例为$1:2$，
∴所得三角形与原三角形相似，相似比为$1:2$，
又
∵相似三角形对应中线的比等于相似比，
∴所得的三角形与原三角形对应中线的比是$1:2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，将三角形中位线定理与相似三角形的性质结合考查，解题关键是先通过中位线定理确定两三角形的相似比，再利用相似三角形对应线段的比等于相似比求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题干条件“顺次连接三角形三边的中点”切入，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，由此可推得新得到的三角形与原三角形三边对应成比例，且比例为1:2，根据相似三角形的判定定理可确定两三角形相似，相似比为1:2；再结合相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，即可求出对应中线的比值。
【解析】
解：
∵顺次连接三角形三边中点所得的线段是三角形的中位线，
根据三角形中位线定理可知，中位线的长度等于对应第三边长度的$\frac{1}{2}$，
∴所得三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，且比例为$1:2$，
∴所得三角形与原三角形相似，相似比为$1:2$，
又
∵相似三角形对应中线的比等于相似比，
∴所得的三角形与原三角形对应中线的比是$1:2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，将三角形中位线定理与相似三角形的性质结合考查，解题关键是先通过中位线定理确定两三角形的相似比，再利用相似三角形对应线段的比等于相似比求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$AD$，$BE$分别是$△ ABC$的高和角平分线，$A'D'$，$B'E'$分别是$△ A'B'C'$的高和角平分线，且$AD=4$，$A'D'=3$，$BE=6$，则$B'E'$的长为________。
答案
3. $\dfrac{9}{2}$ 解析:根据题意得$\dfrac{AD}{A'D'} = \dfrac{BE}{B'E'}$.
∵ $AD = 4$,$A'D' = 3$,$BE = 6$,
∴ $\dfrac{4}{3} = \dfrac{6}{B'E'}$,解得 $B'E' = \dfrac{9}{2}$.
∵ $AD = 4$,$A'D' = 3$,$BE = 6$,
∴ $\dfrac{4}{3} = \dfrac{6}{B'E'}$,解得 $B'E' = \dfrac{9}{2}$.
解析
【分析】
首先已知两个三角形相似，回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应高、对应角平分线的比都等于相似比，因此这两组对应线段的比值相等。我们可以先利用已知的对应高的长度得到两组线段的比值关系，再代入已知的BE的长度列比例式，求解即可得到B'E'的长度。
【解析】
解：
∵ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD和$A'D'$是两个三角形的对应高，BE和$B'E'$是两个三角形的对应角平分线，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比，可得：
$\dfrac{AD}{A'D'} = \dfrac{BE}{B'E'}$
将$AD=4$，$A'D'=3$，$BE=6$代入上式：
$\dfrac{4}{3} = \dfrac{6}{B'E'}$
交叉相乘得：$4B'E' = 3×6$
解得：$B'E' = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2}$
【答案】
$\boxed{\dfrac{9}{2}}$
【知识点】
相似三角形的性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是牢记相似三角形的对应高、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比，代入数值计算即可，计算时注意不要出现比例交叉相乘的错误。
【难度系数】
0.8
首先已知两个三角形相似，回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应高、对应角平分线的比都等于相似比，因此这两组对应线段的比值相等。我们可以先利用已知的对应高的长度得到两组线段的比值关系，再代入已知的BE的长度列比例式，求解即可得到B'E'的长度。
【解析】
解：
∵ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD和$A'D'$是两个三角形的对应高，BE和$B'E'$是两个三角形的对应角平分线，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比，可得：
$\dfrac{AD}{A'D'} = \dfrac{BE}{B'E'}$
将$AD=4$，$A'D'=3$，$BE=6$代入上式：
$\dfrac{4}{3} = \dfrac{6}{B'E'}$
交叉相乘得：$4B'E' = 3×6$
解得：$B'E' = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2}$
【答案】
$\boxed{\dfrac{9}{2}}$
【知识点】
相似三角形的性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是牢记相似三角形的对应高、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比，代入数值计算即可，计算时注意不要出现比例交叉相乘的错误。
【难度系数】
0.8
4. 如图，D，E分别是AC，AB上的点，且$∠ CDE+∠ B=180°$，F，G分别是DE，BC的中点.若$AD = 3$，$AB = 5$，$AG = 4$，则$AF$的值为
$\dfrac{12}{5}$
.答案
4. $\dfrac{12}{5}$ 解析:
∵ $∠ CDE+∠ B = 180°$, $∠ ADE+∠ CDE = 180°$,
∴ $∠ ADE = ∠ B$.
∵ $∠ EAD = ∠ CAB$,
∴ $△ EAD∽△ CAB$,
∴ $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AF}{AG}$,
∴ $\dfrac{3}{5} = \dfrac{AF}{4}$,
∴ $AF = \dfrac{12}{5}$.
∵ $∠ CDE+∠ B = 180°$, $∠ ADE+∠ CDE = 180°$,
∴ $∠ ADE = ∠ B$.
∵ $∠ EAD = ∠ CAB$,
∴ $△ EAD∽△ CAB$,
∴ $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AF}{AG}$,
∴ $\dfrac{3}{5} = \dfrac{AF}{4}$,
∴ $AF = \dfrac{12}{5}$.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的角互补的条件，结合邻补角的性质推导相等的角，再利用公共角证明两个三角形相似，最后结合相似三角形对应中线的比等于相似比的性质，代入已知线段长度计算AF的值即可。具体思考步骤：第一步，由∠CDE+∠B=180°和∠CDE+∠ADE=180°，可推出∠ADE=∠B；第二步，∠EAD和∠CAB是公共角，可得△EAD∽△CAB；第三步，F、G分别是DE、BC的中点，所以AF、AG分别是两个相似三角形的对应中线，相似比等于对应边AD与AB的比，也等于对应中线AF与AG的比，代入数值计算即可得到AF。
【解析】
∵ $∠ CDE+∠ B=180°$，$∠ ADE+∠ CDE=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ ADE=∠ B$（同角的补角相等），
又
∵ $∠ EAD=∠ CAB$（公共角相等），
∴ $△ EAD ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似），
∵ F是DE的中点，G是BC的中点，AF、AG分别是△EAD和△CAB对应边上的中线，
∴ 相似三角形对应中线的比等于相似比，即$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AF}{AG}$，
将$AD=3$，$AB=5$，$AG=4$代入得：$\dfrac{3}{5}=\dfrac{AF}{4}$，
解得：$AF=\dfrac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；补角的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题核心是通过角的等量代换证明三角形相似，再利用相似三角形对应线段成比例的性质求解，解题时要注意对应线段的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的角互补的条件，结合邻补角的性质推导相等的角，再利用公共角证明两个三角形相似，最后结合相似三角形对应中线的比等于相似比的性质，代入已知线段长度计算AF的值即可。具体思考步骤：第一步，由∠CDE+∠B=180°和∠CDE+∠ADE=180°，可推出∠ADE=∠B；第二步，∠EAD和∠CAB是公共角，可得△EAD∽△CAB；第三步，F、G分别是DE、BC的中点，所以AF、AG分别是两个相似三角形的对应中线，相似比等于对应边AD与AB的比，也等于对应中线AF与AG的比，代入数值计算即可得到AF。
【解析】
∵ $∠ CDE+∠ B=180°$，$∠ ADE+∠ CDE=180°$（邻补角的定义），
∴ $∠ ADE=∠ B$（同角的补角相等），
又
∵ $∠ EAD=∠ CAB$（公共角相等），
∴ $△ EAD ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似），
∵ F是DE的中点，G是BC的中点，AF、AG分别是△EAD和△CAB对应边上的中线，
∴ 相似三角形对应中线的比等于相似比，即$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AF}{AG}$，
将$AD=3$，$AB=5$，$AG=4$代入得：$\dfrac{3}{5}=\dfrac{AF}{4}$，
解得：$AF=\dfrac{12}{5}$。
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；补角的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题，解题核心是通过角的等量代换证明三角形相似，再利用相似三角形对应线段成比例的性质求解，解题时要注意对应线段的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
5. 已知两个三角形相似，它们的对应高之比为4:9，则它们的周长比为（
A.2:3
B.4:9
C.16:81
D.9:4
B
）A.2:3
B.4:9
C.16:81
D.9:4
答案
5. B 解析:
∵ 相似三角形的对应高之比为 4 : 9,
∴ 相似三角形的相似比为 4 : 9,
∴ 它们的周长比为 4 : 9.故选 B.
∵ 相似三角形的对应高之比为 4 : 9,
∴ 相似三角形的相似比为 4 : 9,
∴ 它们的周长比为 4 : 9.故选 B.
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的相关性质：首先相似三角形的对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线等）的比值等于相似比；其次相似三角形的周长比也等于相似比。已知对应高的比，我们可以先推出相似比，再由相似比直接得到周长比即可。
【解析】
∵ 两个三角形相似，且它们的对应高之比为4:9，
∴ 这两个相似三角形的相似比为4:9，
又
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ 它们的周长比为4:9。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形对应高比性质、相似三角形周长比性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似三角形的基础性质，解题时要注意区分相似比的对应关系，不要将周长比、对应线段比和面积比的规律混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相似三角形的相关性质：首先相似三角形的对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线等）的比值等于相似比；其次相似三角形的周长比也等于相似比。已知对应高的比，我们可以先推出相似比，再由相似比直接得到周长比即可。
【解析】
∵ 两个三角形相似，且它们的对应高之比为4:9，
∴ 这两个相似三角形的相似比为4:9，
又
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ 它们的周长比为4:9。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形对应高比性质、相似三角形周长比性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似三角形的基础性质，解题时要注意区分相似比的对应关系，不要将周长比、对应线段比和面积比的规律混淆。
【难度系数】
0.8
6. 两个相似三角形的相似比为2：3，它们的周长之差为15，则周长之和是
75
。答案
6. 75 解析:
∵ 两个相似三角形的相似比为 2 : 3,
∴ 这两个相似三角形的周长比为 2 : 3.
∵ 它们的周长之差为 15,
∴ 它们的周长之和为 $15÷ (\dfrac{3}{2+3}-\dfrac{2}{2+3}) =75$.故答案为 75.
∵ 两个相似三角形的相似比为 2 : 3,
∴ 这两个相似三角形的周长比为 2 : 3.
∵ 它们的周长之差为 15,
∴ 它们的周长之和为 $15÷ (\dfrac{3}{2+3}-\dfrac{2}{2+3}) =75$.故答案为 75.
解析
【分析】
解决本题首先需要联想到相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比。已知相似比为2:3，可直接得到两个三角形的周长比也为2:3。接下来可以通过两种思路推导：一是将两个周长分别看作2份和3份，周长差对应1份，结合已知的周长差15求出1份的数值，再计算总份数对应的总和；二是先计算两个周长分别占周长总和的分率，用周长差除以分率差直接得到周长总和。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的相似比为2:3，
∴根据相似三角形的性质，两个相似三角形的周长比为2:3。
∴较大三角形的周长占周长总和的$\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5}$，较小三角形的周长占周长总和的$\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$。
∵它们的周长之差为15，
∴周长之和为：$15÷(\frac{3}{5}-\frac{2}{5})=15÷\frac{1}{5}=75$。
【答案】
75
【知识点】
相似三角形的性质；比例运算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，核心考查相似三角形周长比与相似比的对应关系，牢记性质并结合简单的比例计算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要联想到相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比。已知相似比为2:3，可直接得到两个三角形的周长比也为2:3。接下来可以通过两种思路推导：一是将两个周长分别看作2份和3份，周长差对应1份，结合已知的周长差15求出1份的数值，再计算总份数对应的总和；二是先计算两个周长分别占周长总和的分率，用周长差除以分率差直接得到周长总和。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的相似比为2:3，
∴根据相似三角形的性质，两个相似三角形的周长比为2:3。
∴较大三角形的周长占周长总和的$\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5}$，较小三角形的周长占周长总和的$\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$。
∵它们的周长之差为15，
∴周长之和为：$15÷(\frac{3}{5}-\frac{2}{5})=15÷\frac{1}{5}=75$。
【答案】
75
【知识点】
相似三角形的性质；比例运算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，核心考查相似三角形周长比与相似比的对应关系，牢记性质并结合简单的比例计算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. (南通中考)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为$C_1$,△DEF的周长为$C_2$,则$\frac{C_1}{C_2}$的值等于
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
7. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 解析:
∵ $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{2}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$,$\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{\sqrt{2^2+2^2}}{2}=\sqrt{2}$,$\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{\sqrt{4^2+2^2}}{\sqrt{3^2+1^2}}=\sqrt{2}$,
∴ $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{DF}{AC} =\sqrt{2}$,
∴ $△ ABC∽△ DEF$,
∴ $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
∵ $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{2}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$,$\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{\sqrt{2^2+2^2}}{2}=\sqrt{2}$,$\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{\sqrt{4^2+2^2}}{\sqrt{3^2+1^2}}=\sqrt{2}$,
∴ $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{DF}{AC} =\sqrt{2}$,
∴ $△ ABC∽△ DEF$,
∴ $\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
要求两个三角形周长的比值，若直接计算两个三角形所有边长再求和作比，计算量较大。我们可以利用相似三角形的性质简化运算：相似三角形的周长比等于相似比。因此解题思路为：第一步，利用勾股定理分别计算△ABC和△DEF各边的长度；第二步，验证两个三角形的三边是否对应成比例，若成比例则两三角形相似；第三步，根据相似三角形周长比等于相似比，结合所求比值的前后顺序求出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，
先计算△ABC各边的长度：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=2$，
$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
再计算△DEF各边的长度：
$DE=2$，
$EF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$DF=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
计算对应边的比值：
$\frac{DE}{AB}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{EF}{BC}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\frac{DF}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\sqrt{2}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
$\therefore \frac{C_1}{C_2}=\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合网格图形考查相似三角形的相关知识，解题核心是先通过勾股定理计算各边长度，用三边成比例判定三角形相似，再利用相似三角形周长比等于相似比求解，避免了直接计算周长的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
要求两个三角形周长的比值，若直接计算两个三角形所有边长再求和作比，计算量较大。我们可以利用相似三角形的性质简化运算：相似三角形的周长比等于相似比。因此解题思路为：第一步，利用勾股定理分别计算△ABC和△DEF各边的长度；第二步，验证两个三角形的三边是否对应成比例，若成比例则两三角形相似；第三步，根据相似三角形周长比等于相似比，结合所求比值的前后顺序求出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，
先计算△ABC各边的长度：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=2$，
$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
再计算△DEF各边的长度：
$DE=2$，
$EF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$DF=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
计算对应边的比值：
$\frac{DE}{AB}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{EF}{BC}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\frac{DF}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\sqrt{2}$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
$\therefore \frac{C_1}{C_2}=\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合网格图形考查相似三角形的相关知识，解题核心是先通过勾股定理计算各边长度，用三边成比例判定三角形相似，再利用相似三角形周长比等于相似比求解，避免了直接计算周长的繁琐运算。
【难度系数】
0.7
8. △ABC 和△DEF 是两个等边三角形，AB=2，DE=6，则△ABC与△DEF的面积比是（
A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:9$
D.$1:16$
C
）A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:9$
D.$1:16$
答案
8. C 解析:
∵ $△ ABC$ 和$△ DEF$ 是两个等边三角形,
∴ $△ ABC∽△ DEF$.
∵ $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{2}{6} =\dfrac{1}{3}$,
∴ 相似比为 1 : 3.又
∵ 两个相似三角形的面积比等于其相似比的平方,
∴ $△ ABC$与$△ DEF$的面积比是 1 : 9.故选 C.
∵ $△ ABC$ 和$△ DEF$ 是两个等边三角形,
∴ $△ ABC∽△ DEF$.
∵ $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{2}{6} =\dfrac{1}{3}$,
∴ 相似比为 1 : 3.又
∵ 两个相似三角形的面积比等于其相似比的平方,
∴ $△ ABC$与$△ DEF$的面积比是 1 : 9.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先从等边三角形的特征出发，所有等边三角形的三个内角都是60°，且三边对应成比例，因此所有等边三角形都相似。接下来先求出两个三角形的相似比，即对应边的比值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方这一核心性质，就能计算出两个三角形的面积比。
【解析】
∵ △ABC和△DEF是两个等边三角形，
∴ △ABC和△DEF的三个内角均为60°，且各自三边相等，
∴ △ABC∽△DEF。
∵ AB=2，DE=6，
∴ 两个三角形的相似比为$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$，
又
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ △ABC与△DEF的面积比为$(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}=1:9$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形面积比性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查相似三角形的性质应用，解题关键是明确所有等边三角形都相似，同时注意区分相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，避免记混关系导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先从等边三角形的特征出发，所有等边三角形的三个内角都是60°，且三边对应成比例，因此所有等边三角形都相似。接下来先求出两个三角形的相似比，即对应边的比值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方这一核心性质，就能计算出两个三角形的面积比。
【解析】
∵ △ABC和△DEF是两个等边三角形，
∴ △ABC和△DEF的三个内角均为60°，且各自三边相等，
∴ △ABC∽△DEF。
∵ AB=2，DE=6，
∴ 两个三角形的相似比为$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$，
又
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ △ABC与△DEF的面积比为$(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}=1:9$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形面积比性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查相似三角形的性质应用，解题关键是明确所有等边三角形都相似，同时注意区分相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，避免记混关系导致出错。
【难度系数】
0.8
9. ★★ 若$△ ABC$与$△ DEF$相似，且面积比为$25:16$，则$△ ABC$与$△ DEF$的周长比为
$5:4$
。答案
9. $5:4$ 解析:
∵ 两个相似三角形的面积比是 25 : 16,
∴ 其相似比是 5 : 4,
∴ 其周长比是 5 : 4.
∵ 两个相似三角形的面积比是 25 : 16,
∴ 其相似比是 5 : 4,
∴ 其周长比是 5 : 4.
解析
【分析】
本题已知两个三角形相似，给出面积比求周长比，解题思路分两步：第一步，回忆相似三角形的面积比等于相似比的平方，由已知面积比可求出两三角形的相似比；第二步，回忆相似三角形的周长比等于相似比，代入求出的相似比即可得到周长比。
【解析】
解：
∵ △ABC与△DEF相似，且面积比为25:16，
又
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ 两个三角形的相似比为$\sqrt{25}:\sqrt{16}=5:4$，
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ △ABC与△DEF的周长比为5:4。
【答案】
$5:4$
【知识点】
相似三角形面积比性质、相似三角形周长比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题关键是明确相似比与面积比、周长比的对应关系，注意不要混淆面积比是相似比的平方这一规则。
【难度系数】
0.8
本题已知两个三角形相似，给出面积比求周长比，解题思路分两步：第一步，回忆相似三角形的面积比等于相似比的平方，由已知面积比可求出两三角形的相似比；第二步，回忆相似三角形的周长比等于相似比，代入求出的相似比即可得到周长比。
【解析】
解：
∵ △ABC与△DEF相似，且面积比为25:16，
又
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ 两个三角形的相似比为$\sqrt{25}:\sqrt{16}=5:4$，
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，
∴ △ABC与△DEF的周长比为5:4。
【答案】
$5:4$
【知识点】
相似三角形面积比性质、相似三角形周长比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题关键是明确相似比与面积比、周长比的对应关系，注意不要混淆面积比是相似比的平方这一规则。
【难度系数】
0.8
10. 如图，$△ ABC ∽ △ ADE$，$S_{△ ABC}:S_{四边形BDEC}=4:5$，其中$CB=2$，则$DE=$
3
。答案
10. 3 解析:
∵ $S_{△ ABC}:S_{四边形BDEC}=4:5$,
∴ $S_{△ ABC}:S_{△ ADE}=4:9$.
∵ $△ ABC∽△ ADE$,
∴ $\dfrac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}} = (\dfrac{BC}{DE})^2 = \dfrac{4}{9}$,
∴ $\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{2}{3}$.
∵ $CB=2$,
∴ $DE=3$.故答案为 3.
∵ $S_{△ ABC}:S_{四边形BDEC}=4:5$,
∴ $S_{△ ABC}:S_{△ ADE}=4:9$.
∵ $△ ABC∽△ ADE$,
∴ $\dfrac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}} = (\dfrac{BC}{DE})^2 = \dfrac{4}{9}$,
∴ $\dfrac{BC}{DE} = \dfrac{2}{3}$.
∵ $CB=2$,
∴ $DE=3$.故答案为 3.
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：△ABC和△ADE相似，且给出了小三角形△ABC与四边形BDEC的面积比，要求对应边DE的长度。首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此我们需要先推导出两个相似三角形的面积比。因为△ADE的面积等于△ABC的面积加四边形BDEC的面积，结合已知的面积比4:5，可先算出△ABC与△ADE的面积比，再根据面积比和相似比的关系求出对应边的比值，最后代入已知的BC长度就能算出DE的长。
【解析】
解：
∵ $S_{△ ABC}:S_{四边形BDEC}=4:5$，
∴ $S_{△ ABC}:S_{△ ADE}=4:(4+5)=4:9$，
∵ $△ ABC∽△ ADE$，根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\dfrac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}} = (\dfrac{BC}{DE})^2 = \dfrac{4}{9}$，
∵ 边长为正数，因此相似比取正值，即$\dfrac{BC}{DE}=\dfrac{2}{3}$，
已知$CB=2$，代入得$\dfrac{2}{DE}=\dfrac{2}{3}$，解得$DE=3$。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形性质，面积比与相似比关系，比例运算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础常考题，解题的关键点是正确推导两个相似三角形的面积比，不要误将小三角形和四边形的面积比直接当作两个相似三角形的面积比，同时要注意面积比是相似比的平方，不要混淆二者关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：△ABC和△ADE相似，且给出了小三角形△ABC与四边形BDEC的面积比，要求对应边DE的长度。首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此我们需要先推导出两个相似三角形的面积比。因为△ADE的面积等于△ABC的面积加四边形BDEC的面积，结合已知的面积比4:5，可先算出△ABC与△ADE的面积比，再根据面积比和相似比的关系求出对应边的比值，最后代入已知的BC长度就能算出DE的长。
【解析】
解：
∵ $S_{△ ABC}:S_{四边形BDEC}=4:5$，
∴ $S_{△ ABC}:S_{△ ADE}=4:(4+5)=4:9$，
∵ $△ ABC∽△ ADE$，根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\dfrac{S_{△ ABC}}{S_{△ ADE}} = (\dfrac{BC}{DE})^2 = \dfrac{4}{9}$，
∵ 边长为正数，因此相似比取正值，即$\dfrac{BC}{DE}=\dfrac{2}{3}$，
已知$CB=2$，代入得$\dfrac{2}{DE}=\dfrac{2}{3}$，解得$DE=3$。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形性质，面积比与相似比关系，比例运算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础常考题，解题的关键点是正确推导两个相似三角形的面积比，不要误将小三角形和四边形的面积比直接当作两个相似三角形的面积比，同时要注意面积比是相似比的平方，不要混淆二者关系。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在$△ ABC$中,$DE// BC$,$EF// AB$,已知$△ ADE$与$△ EFC$的面积分别为$4\ \mathrm{cm}^2$和$9\ \mathrm{cm}^2$,求$△ ABC$的面积. 
答案
11.
∵ $DE // BC$, $EF // AB$,
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$,
∴ $∠ ADE = ∠ ABC = ∠ EFC$, $∠ AED = ∠ C$,
∴ $△ ADE ∽ △ EFC$,
∴ $\dfrac{AE}{EC} = \sqrt{\dfrac{4}{9}} =\dfrac{2}{3}$,
∴ $\dfrac{AE}{AC} =\dfrac{2}{5}$.又
∵ $△ ADE∽△ ABC$,
∴ $(\dfrac{AE}{AC})^2 =\dfrac{4}{25}$,
∴ $S_{△ ABC} = \dfrac{25}{4}S_{△ ADE} =25\ \mathrm{cm}^2$.
∵ $DE // BC$, $EF // AB$,
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$,
∴ $∠ ADE = ∠ ABC = ∠ EFC$, $∠ AED = ∠ C$,
∴ $△ ADE ∽ △ EFC$,
∴ $\dfrac{AE}{EC} = \sqrt{\dfrac{4}{9}} =\dfrac{2}{3}$,
∴ $\dfrac{AE}{AC} =\dfrac{2}{5}$.又
∵ $△ ADE∽△ ABC$,
∴ $(\dfrac{AE}{AC})^2 =\dfrac{4}{25}$,
∴ $S_{△ ABC} = \dfrac{25}{4}S_{△ ADE} =25\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
解题时首先根据题中给出的两组平行条件，结合相似三角形的判定定理，先证明△ADE与△EFC相似；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两个小三角形的相似比，即AE与EC的比值；接着推导△ADE与△ABC的相似比（即AE与AC的比值）；最后再次利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合△ADE的面积即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵ $DE // BC$，$EF // AB$，
∴ $∠ ADE = ∠ ABC = ∠ EFC$，$∠ AED = ∠ C$，
∴ $△ ADE ∽ △ EFC$，
∴ 两三角形的相似比为$\dfrac{AE}{EC}=\sqrt{\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ EFC}}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$，
设$AE=2k$，$EC=3k$，则$AC=AE+EC=5k$，故$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{2k}{5k}=\dfrac{2}{5}$，
又
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\dfrac{AE}{AC})^2=(\dfrac{2}{5})^2=\dfrac{4}{25}$，
∴ $S_{△ ABC}=\dfrac{25}{4}× S_{△ ADE}=\dfrac{25}{4}×4=25\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$25\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形面积比性质
3.平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形性质应用的典型习题，核心是通过平行线找到三角形的相似关系，灵活运用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质逐步推导，解题时要注意区分不同相似三角形对应的相似比，避免混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题中给出的两组平行条件，结合相似三角形的判定定理，先证明△ADE与△EFC相似；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两个小三角形的相似比，即AE与EC的比值；接着推导△ADE与△ABC的相似比（即AE与AC的比值）；最后再次利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合△ADE的面积即可求出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵ $DE // BC$，$EF // AB$，
∴ $∠ ADE = ∠ ABC = ∠ EFC$，$∠ AED = ∠ C$，
∴ $△ ADE ∽ △ EFC$，
∴ 两三角形的相似比为$\dfrac{AE}{EC}=\sqrt{\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ EFC}}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$，
设$AE=2k$，$EC=3k$，则$AC=AE+EC=5k$，故$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{2k}{5k}=\dfrac{2}{5}$，
又
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\dfrac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\dfrac{AE}{AC})^2=(\dfrac{2}{5})^2=\dfrac{4}{25}$，
∴ $S_{△ ABC}=\dfrac{25}{4}× S_{△ ADE}=\dfrac{25}{4}×4=25\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$25\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形面积比性质
3.平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形性质应用的典型习题，核心是通过平行线找到三角形的相似关系，灵活运用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质逐步推导，解题时要注意区分不同相似三角形对应的相似比，避免混淆对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
