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7. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3,4及x，那么x的值为（
A.$\sqrt{7}$
B.5
C.$\sqrt{7}$或5
D.无数个
C
）A.$\sqrt{7}$
B.5
C.$\sqrt{7}$或5
D.无数个
答案
7. C 解析:若3,4是直角边,则 $x=\sqrt{3^2+4^2}=5$,若4是斜边,则 $x=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$,所以 $x$ 的值为$\sqrt{7}$或5.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先要注意题干未明确直角三角形的已知边长是直角边还是斜边，因此需要分情况讨论。两个直角三角形相似则对应边成比例，我们针对边长为3和4的直角三角形分两种情况分析：一是3和4均为直角边，二是较长边4为斜边、3为直角边，结合勾股定理分别计算x的值，再验证两种情况是否满足相似条件即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若3和4是小直角三角形的两条直角边，根据勾股定理可得斜边：
$x=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
此时小三角形三边为3、4、5，大直角三角形若两条直角边为6、8，斜边为10，三边比为$6:8:10=3:4:5$，两三角形对应边成比例，相似，符合题意。
2. 若4是小直角三角形的斜边，3是其中一条直角边，根据勾股定理可得另一条直角边：
$x=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
此时小三角形三边为3、$\sqrt{7}$、4，大直角三角形若斜边为8，一条直角边为6，另一条直角边为$\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，三边比为$6:2\sqrt{7}:8=3:\sqrt{7}:4$，两三角形对应边成比例，相似，符合题意。
综上，x的值为$\sqrt{7}$或5，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是留意未明确属性的直角三角形边长，结合斜边是直角三角形最长边的特点分类讨论，避免因默认已知边都是直角边导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意题干未明确直角三角形的已知边长是直角边还是斜边，因此需要分情况讨论。两个直角三角形相似则对应边成比例，我们针对边长为3和4的直角三角形分两种情况分析：一是3和4均为直角边，二是较长边4为斜边、3为直角边，结合勾股定理分别计算x的值，再验证两种情况是否满足相似条件即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若3和4是小直角三角形的两条直角边，根据勾股定理可得斜边：
$x=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
此时小三角形三边为3、4、5，大直角三角形若两条直角边为6、8，斜边为10，三边比为$6:8:10=3:4:5$，两三角形对应边成比例，相似，符合题意。
2. 若4是小直角三角形的斜边，3是其中一条直角边，根据勾股定理可得另一条直角边：
$x=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
此时小三角形三边为3、$\sqrt{7}$、4，大直角三角形若斜边为8，一条直角边为6，另一条直角边为$\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，三边比为$6:2\sqrt{7}:8=3:\sqrt{7}:4$，两三角形对应边成比例，相似，符合题意。
综上，x的值为$\sqrt{7}$或5，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是留意未明确属性的直角三角形边长，结合斜边是直角三角形最长边的特点分类讨论，避免因默认已知边都是直角边导致漏解。
【难度系数】
0.6
8. ★★★ 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$,放置边长分别为3,4,x的三个正方形,则x的值为 (
A.5
B.6
C.7
D.12
C
)A.5
B.6
C.7
D.12
答案
8. C 解析:如图,
∵ 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中, $∠ C=90°$,放置边长分别为3,4,x的三个正方形,
∴ $△CEF∽△OME∽△PFN$,
∴ $OE:PN=OM:PF$.
∵ $EF=x,MO=3,PN=4$,
∴ $OE=x-3,PF=x-4$,
∴ $(x-3):4=3:(x-4)$,
∴ $(x-3)(x-4)=12$,即 $x^2-4x-3x+12=12$,
∴ $x_1=0$(不符合题意,舍去),$x_2=7$.故选 C.
解析
【分析】
解决本题的核心是利用“平行于三角形一边的直线截三角形，所得的新三角形与原三角形相似”，得到图中三个直角小三角形相似；再结合正方形的边长相等，写出相似三角形对应边的表达式，根据相似三角形对应边成比例列方程，最后求解方程并舍去不符合实际的解即可。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，放置边长分别为3,4,x的三个正方形，
∴ $△CEF∽△OME∽△PFN$，
∴ 相似三角形对应边成比例，即$OE:PN=OM:PF$。
∵ 三个正方形边长分别为3、4、x，即$EF=x,MO=3,PN=4$，
∴ $OE=x-3,PF=x-4$，
将边长代入比例式得：$(x-3):4=3:(x-4)$，
交叉相乘得：$(x-3)(x-4)=12$，
展开整理得：$x^2-7x+12=12$，即$x^2-7x=0$，
解得$x_1=0$（正方形边长不能为0，不符合题意，舍去），$x_2=7$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，正方形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题将相似三角形、正方形性质与方程结合考查，解题的关键是准确找到相似三角形的对应边，建立比例关系，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，是几何综合应用的基础题型。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是利用“平行于三角形一边的直线截三角形，所得的新三角形与原三角形相似”，得到图中三个直角小三角形相似；再结合正方形的边长相等，写出相似三角形对应边的表达式，根据相似三角形对应边成比例列方程，最后求解方程并舍去不符合实际的解即可。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，放置边长分别为3,4,x的三个正方形，
∴ $△CEF∽△OME∽△PFN$，
∴ 相似三角形对应边成比例，即$OE:PN=OM:PF$。
∵ 三个正方形边长分别为3、4、x，即$EF=x,MO=3,PN=4$，
∴ $OE=x-3,PF=x-4$，
将边长代入比例式得：$(x-3):4=3:(x-4)$，
交叉相乘得：$(x-3)(x-4)=12$，
展开整理得：$x^2-7x+12=12$，即$x^2-7x=0$，
解得$x_1=0$（正方形边长不能为0，不符合题意，舍去），$x_2=7$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，正方形的性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题将相似三角形、正方形性质与方程结合考查，解题的关键是准确找到相似三角形的对应边，建立比例关系，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍，是几何综合应用的基础题型。
【难度系数】
0.6
9. |分类讨论思想 如图,在 Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=9,BC=12,D是AB边的中点,P是BC边上一动点(点P不与点B,C重合),若以D,C,P为顶点的三角形与△ABC相似,则线段PC=
6或$\frac{75}{8}$
.答案
9. 6或$\frac{75}{8}$ 解析:在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中, $∠ACB=90°,AC=9,BC=12$,
∴ $AB=15$.
∵ $D$ 是 $AB$ 边的中点,
∴ $CD=BD=\frac{1}{2}AB=7.5$.
∵ 以 $D,C,P$ 为顶点的三角形与 $△ABC$ 相似,
∴ $∠DPC=90°$ 或 $∠CDP=90°$.①若 $∠DPC=90°$,则 $DP // AC$,
∴ $\frac{BD}{AB}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴ $BP=\frac{1}{2}BC=6$,
∴ $PC=6$.②若 $∠CDP=90°$,则 $△CDP∽△BCA$,
∴ $\frac{CD}{BC}=\frac{PC}{AB}$,即 $\frac{7.5}{12}=\frac{PC}{15}$,
∴ $PC=\frac{75}{8}$.综上所述, $PC=6$ 或 $\frac{75}{8}$.
∴ $AB=15$.
∵ $D$ 是 $AB$ 边的中点,
∴ $CD=BD=\frac{1}{2}AB=7.5$.
∵ 以 $D,C,P$ 为顶点的三角形与 $△ABC$ 相似,
∴ $∠DPC=90°$ 或 $∠CDP=90°$.①若 $∠DPC=90°$,则 $DP // AC$,
∴ $\frac{BD}{AB}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴ $BP=\frac{1}{2}BC=6$,
∴ $PC=6$.②若 $∠CDP=90°$,则 $△CDP∽△BCA$,
∴ $\frac{CD}{BC}=\frac{PC}{AB}$,即 $\frac{7.5}{12}=\frac{PC}{15}$,
∴ $PC=\frac{75}{8}$.综上所述, $PC=6$ 或 $\frac{75}{8}$.
解析
【分析】
本题是直角三角形背景下的相似三角形存在性问题，解题思路如下：首先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边长度，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质得到CD的长度；其次，由于△ABC是直角三角形，因此与它相似的△DCP也为直角三角形，而∠DCP=∠B≠90°，因此需分两种情况讨论：①∠DPC为直角，②∠CDP为直角；最后针对每种情况利用相似三角形的性质列比例式计算PC的长度即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$。
∵D是AB边的中点，
∴$CD=BD=\frac{1}{2}AB=7.5$。
∵以D,C,P为顶点的三角形与△ABC相似，且∠DCP=∠B≠90°，因此分两种情况讨论：
① 若∠DPC=90°，则$DP// AC$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$BP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
∴$PC=BC-BP=12-6=6$。
② 若∠CDP=90°，则$△CDP∽△BCA$，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{PC}{AB}$，代入得$\frac{7.5}{12}=\frac{PC}{15}$，
解得$PC=\frac{7.5×15}{12}=\frac{75}{8}$。
综上，PC的长度为6或$\frac{75}{8}$。
【答案】
6或$\frac{75}{8}$
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；相似三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于相似三角形的常见综合题，解题的关键是根据相似三角形直角顶点的不确定性进行分类讨论，避免漏解，计算时可结合直角三角形的相关性质简化运算过程。
【难度系数】
0.6
本题是直角三角形背景下的相似三角形存在性问题，解题思路如下：首先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边长度，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质得到CD的长度；其次，由于△ABC是直角三角形，因此与它相似的△DCP也为直角三角形，而∠DCP=∠B≠90°，因此需分两种情况讨论：①∠DPC为直角，②∠CDP为直角；最后针对每种情况利用相似三角形的性质列比例式计算PC的长度即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$。
∵D是AB边的中点，
∴$CD=BD=\frac{1}{2}AB=7.5$。
∵以D,C,P为顶点的三角形与△ABC相似，且∠DCP=∠B≠90°，因此分两种情况讨论：
① 若∠DPC=90°，则$DP// AC$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$BP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
∴$PC=BC-BP=12-6=6$。
② 若∠CDP=90°，则$△CDP∽△BCA$，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{PC}{AB}$，代入得$\frac{7.5}{12}=\frac{PC}{15}$，
解得$PC=\frac{7.5×15}{12}=\frac{75}{8}$。
综上，PC的长度为6或$\frac{75}{8}$。
【答案】
6或$\frac{75}{8}$
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；相似三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于相似三角形的常见综合题，解题的关键是根据相似三角形直角顶点的不确定性进行分类讨论，避免漏解，计算时可结合直角三角形的相关性质简化运算过程。
【难度系数】
0.6
10. ★★★如图,点A,B分别在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$和$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,且满足$OA⊥OB,∠ABO=30°$,则$k=$
-3
.答案
10. -3 解析:过点 $A$ 作 $AC ⊥ y$ 轴,过点 $B$ 作 $BD ⊥ y$ 轴,可得 $∠ACO=∠BDO=90°$,
∴ $∠AOC+∠OAC=90°$.
∵ $OA ⊥ OB$,
∴ $∠AOC+∠BOD=90°$,
∴ $∠OAC=∠BOD$,
∴ $△AOC∽△OBD$,
∴ $\frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{OA}$. 在 $\mathrm{Rt}△AOB$ 中, $∠ABO=30°$,
∴ $AB=2OA,OB=\sqrt{3}OA$,设 $A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)$,
∴ $AC=x_A$,$OC=y_A,BD=x_B,OD=-y_B$,
∴ $\frac{x_B}{y_A}=\frac{-y_B}{x_A}=\sqrt{3}$,
∴ $x_B=\sqrt{3}y_A$,$y_B=-\sqrt{3}x_A$,
∴ $x_By_B=-\sqrt{3}x_A · \sqrt{3}y_A=-3x_Ay_A$.
∵ 点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象上,
∴ $x_Ay_A=1$,
∴ $x_By_B=-3$.
∵ 点 $B$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上,
∴ $k=x_By_B=-3$.故答案为-3.
∴ $∠AOC+∠OAC=90°$.
∵ $OA ⊥ OB$,
∴ $∠AOC+∠BOD=90°$,
∴ $∠OAC=∠BOD$,
∴ $△AOC∽△OBD$,
∴ $\frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{OA}$. 在 $\mathrm{Rt}△AOB$ 中, $∠ABO=30°$,
∴ $AB=2OA,OB=\sqrt{3}OA$,设 $A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)$,
∴ $AC=x_A$,$OC=y_A,BD=x_B,OD=-y_B$,
∴ $\frac{x_B}{y_A}=\frac{-y_B}{x_A}=\sqrt{3}$,
∴ $x_B=\sqrt{3}y_A$,$y_B=-\sqrt{3}x_A$,
∴ $x_By_B=-\sqrt{3}x_A · \sqrt{3}y_A=-3x_Ay_A$.
∵ 点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象上,
∴ $x_Ay_A=1$,
∴ $x_By_B=-3$.
∵ 点 $B$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上,
∴ $k=x_By_B=-3$.故答案为-3.
解析
【分析】
遇到反比例函数与几何结合的题目，首先可利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质解题。本题存在OA⊥OB和30°特殊角，解题思路如下：1. 过A、B两点向y轴作垂线，构造直角三角形；2. 利用同角的余角相等证明两个直角三角形相似；3. 结合含30°角的直角三角形的边长关系得到相似比；4. 将相似比转化为两点坐标的关系，结合A点在已知反比例函数上的条件，计算B点横纵坐标的乘积，即可得到k的值。
【解析】
过点 $A$ 作 $AC ⊥ y$ 轴，过点 $B$ 作 $BD ⊥ y$ 轴，可得 $∠ACO=∠BDO=90°$，
∴ $∠AOC+∠OAC=90°$。
∵ $OA ⊥ OB$，
∴ $∠AOC+∠BOD=90°$，
∴ $∠OAC=∠BOD$，
∴ $△AOC∽△OBD$，
∴ $\frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{OA}$。
在 $\mathrm{Rt}△AOB$ 中， $∠ABO=30°$，
∴ $OB=\sqrt{3}OA$，即$\frac{OB}{OA}=\sqrt{3}$。
设 $A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)$，
∴ $AC=x_A$，$OC=y_A$，$BD=x_B$，$OD=-y_B$，
∴ $\frac{x_B}{y_A}=\frac{-y_B}{x_A}=\sqrt{3}$，
∴ $x_B=\sqrt{3}y_A$，$y_B=-\sqrt{3}x_A$，
∴ $x_By_B=-\sqrt{3}x_A · \sqrt{3}y_A=-3x_Ay_A$。
∵ 点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象上，
∴ $x_Ay_A=1$，
∴ $x_By_B=-3×1=-3$。
∵ 点 $B$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上，
∴ $k=x_By_B=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合常见题型，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形，将特殊角的边长关系转化为点坐标的数量关系，再结合反比例函数k的代数意义求解，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到反比例函数与几何结合的题目，首先可利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质解题。本题存在OA⊥OB和30°特殊角，解题思路如下：1. 过A、B两点向y轴作垂线，构造直角三角形；2. 利用同角的余角相等证明两个直角三角形相似；3. 结合含30°角的直角三角形的边长关系得到相似比；4. 将相似比转化为两点坐标的关系，结合A点在已知反比例函数上的条件，计算B点横纵坐标的乘积，即可得到k的值。
【解析】
过点 $A$ 作 $AC ⊥ y$ 轴，过点 $B$ 作 $BD ⊥ y$ 轴，可得 $∠ACO=∠BDO=90°$，
∴ $∠AOC+∠OAC=90°$。
∵ $OA ⊥ OB$，
∴ $∠AOC+∠BOD=90°$，
∴ $∠OAC=∠BOD$，
∴ $△AOC∽△OBD$，
∴ $\frac{BD}{OC}=\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{OA}$。
在 $\mathrm{Rt}△AOB$ 中， $∠ABO=30°$，
∴ $OB=\sqrt{3}OA$，即$\frac{OB}{OA}=\sqrt{3}$。
设 $A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)$，
∴ $AC=x_A$，$OC=y_A$，$BD=x_B$，$OD=-y_B$，
∴ $\frac{x_B}{y_A}=\frac{-y_B}{x_A}=\sqrt{3}$，
∴ $x_B=\sqrt{3}y_A$，$y_B=-\sqrt{3}x_A$，
∴ $x_By_B=-\sqrt{3}x_A · \sqrt{3}y_A=-3x_Ay_A$。
∵ 点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象上，
∴ $x_Ay_A=1$，
∴ $x_By_B=-3×1=-3$。
∵ 点 $B$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上，
∴ $k=x_By_B=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合常见题型，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形，将特殊角的边长关系转化为点坐标的数量关系，再结合反比例函数k的代数意义求解，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
11. ★★★ 如图, 在$△ ABC$中, $∠ B = 90°$, $AB = 4$, $BC = 2$, 以 $AC$ 为边作 $△ ACE$, $∠ ACE = 90°$, $AC = CE$, 延长 $BC$ 至点 $D$, 使 $CD = 5$, 连接 $DE$. 求证: $△ ABC ∽ △ CED$. 
答案
11.
∵ $∠ B = 90°, AB = 4, BC = 2$,
∴ $AC = \sqrt{2^2+4^2} = 2\sqrt{5}$.
∵ $CE = AC$,
∴ $CE=2\sqrt{5}$.
∵ $CD=5$,$\frac{AB}{CE}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,$\frac{AC}{CD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴ $\frac{AB}{CE}=\frac{AC}{CD}$.
∵ $∠ B = 90°$, $∠ ACE = 90°$,
∴ $∠ BAC + ∠ BCA = 90°$, $∠BCA+∠DCE=90°$,
∴ $∠BAC=∠ECD$,
∴ $△ABC∽△CED$.
∵ $∠ B = 90°, AB = 4, BC = 2$,
∴ $AC = \sqrt{2^2+4^2} = 2\sqrt{5}$.
∵ $CE = AC$,
∴ $CE=2\sqrt{5}$.
∵ $CD=5$,$\frac{AB}{CE}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,$\frac{AC}{CD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴ $\frac{AB}{CE}=\frac{AC}{CD}$.
∵ $∠ B = 90°$, $∠ ACE = 90°$,
∴ $∠ BAC + ∠ BCA = 90°$, $∠BCA+∠DCE=90°$,
∴ $∠BAC=∠ECD$,
∴ $△ABC∽△CED$.
解析
【分析】
要证明△ABC∽△CED，可采用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，结合AC=CE得到CE的长度；接着计算AB与CE、AC与CD的比值，验证两组对应边成比例；再利用直角三角形两锐角互余的性质，通过同角的余角相等证明∠BAC=∠ECD，即两组对应边的夹角相等；最后结合边成比例、夹角相等的条件即可证明两个三角形相似。
【解析】
∵ ∠B = 90°, AB = 4, BC = 2，
∴ $AC = \sqrt{2^2+4^2} = 2\sqrt{5}$。
∵ CE = AC，
∴ $CE=2\sqrt{5}$。
∵ CD=5，$\frac{AB}{CE}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{AC}{CD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴ $\frac{AB}{CE}=\frac{AC}{CD}$。
∵ ∠B = 90°，∠ACE = 90°，
∴ ∠BAC + ∠BCA = 90°，∠BCA+∠DCE=90°，
∴ ∠BAC=∠ECD，
∴ △ABC∽△CED。
【答案】
△ABC∽△CED
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，余角的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用题，解题的核心是找准对应边的比例关系和相等的对应夹角，推导角相等时可利用同角的余角相等的性质，解题过程中要注意不要混淆对应边和对应角。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC∽△CED，可采用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，结合AC=CE得到CE的长度；接着计算AB与CE、AC与CD的比值，验证两组对应边成比例；再利用直角三角形两锐角互余的性质，通过同角的余角相等证明∠BAC=∠ECD，即两组对应边的夹角相等；最后结合边成比例、夹角相等的条件即可证明两个三角形相似。
【解析】
∵ ∠B = 90°, AB = 4, BC = 2，
∴ $AC = \sqrt{2^2+4^2} = 2\sqrt{5}$。
∵ CE = AC，
∴ $CE=2\sqrt{5}$。
∵ CD=5，$\frac{AB}{CE}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{AC}{CD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴ $\frac{AB}{CE}=\frac{AC}{CD}$。
∵ ∠B = 90°，∠ACE = 90°，
∴ ∠BAC + ∠BCA = 90°，∠BCA+∠DCE=90°，
∴ ∠BAC=∠ECD，
∴ △ABC∽△CED。
【答案】
△ABC∽△CED
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定，余角的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用题，解题的核心是找准对应边的比例关系和相等的对应夹角，推导角相等时可利用同角的余角相等的性质，解题过程中要注意不要混淆对应边和对应角。
【难度系数】
0.7
12. 如图所示,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于点F,连接FC(AB＞AE).
(1)△AEF与△EFC是否相似?若相似,请证明;若不相似,请说明理由.
(2)当$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时,△AEF与△BCF相似吗?试说明理由.
(1)△AEF与△EFC是否相似?若相似,请证明;若不相似,请说明理由.
(2)当$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时,△AEF与△BCF相似吗?试说明理由.
答案
12. (1) $△AEF∽△ECF$.证明如下:
∵ $CE ⊥ EF$, $∠ D = 90°$,
∴ $∠CEF=∠D=90°$,
∴ $∠AEF + ∠DEC = 90°$, $∠DEC + ∠DCE = 90°$,
∴ $∠AEF = ∠DCE$. 又
∵ $∠ A = ∠ D = 90°$,
∴ $△AEF∽△DCE$,
∴ $\frac{EF}{CE}=\frac{AE}{DC}$. 又
∵ $AE = DE$,
∴ $\frac{EF}{CE}=\frac{DE}{DC}$,
∴ $\frac{EF}{DE}=\frac{CE}{DC}$.
∵ $∠CEF=∠D=90°$,
∴ $△CEF ∽ △CDE$,
∴ $△AEF∽△ECF$.
(2)当$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时, $△AEF∽△BCF$.理由如下:
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $DE=\frac{1}{2}BC$,
∴ $\frac{DC}{DE}=\sqrt{3}$. 设 $DE=k$, 则 $DC=\sqrt{3}k, EC=2k$.
∴ $\frac{ED}{EC}=\frac{1}{2}$,则 $∠ECD=30°$,
∴ $∠ECD=∠FCE=∠FEA=30°$,
∴ $∠BCF=∠AEF=30°$.
∵ $∠ A = ∠ B = 90°$,
∴ $△AEF∽△BCF$.
∵ $CE ⊥ EF$, $∠ D = 90°$,
∴ $∠CEF=∠D=90°$,
∴ $∠AEF + ∠DEC = 90°$, $∠DEC + ∠DCE = 90°$,
∴ $∠AEF = ∠DCE$. 又
∵ $∠ A = ∠ D = 90°$,
∴ $△AEF∽△DCE$,
∴ $\frac{EF}{CE}=\frac{AE}{DC}$. 又
∵ $AE = DE$,
∴ $\frac{EF}{CE}=\frac{DE}{DC}$,
∴ $\frac{EF}{DE}=\frac{CE}{DC}$.
∵ $∠CEF=∠D=90°$,
∴ $△CEF ∽ △CDE$,
∴ $△AEF∽△ECF$.
(2)当$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时, $△AEF∽△BCF$.理由如下:
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $DE=\frac{1}{2}BC$,
∴ $\frac{DC}{DE}=\sqrt{3}$. 设 $DE=k$, 则 $DC=\sqrt{3}k, EC=2k$.
∴ $\frac{ED}{EC}=\frac{1}{2}$,则 $∠ECD=30°$,
∴ $∠ECD=∠FCE=∠FEA=30°$,
∴ $∠BCF=∠AEF=30°$.
∵ $∠ A = ∠ B = 90°$,
∴ $△AEF∽△BCF$.
解析
【分析】
(1) 判断两个三角形是否相似，可先观察角的特征：两个三角形都含直角，只需再找一组角相等或夹直角的边成比例即可。首先由EF⊥EC结合矩形的直角，利用同角的余角相等得到∠AEF=∠DCE，先证△AEF∽△DCE得到边的比例关系，再结合E是AD中点转换比例，进一步推导△CEF与△CDE相似，通过相似的传递性即可得证。
(2) 给定边长比例判断相似，两个三角形均含直角，只需再验证一组锐角相等即可。结合已知的边长比设参数表示各边长度，利用直角三角形边角关系求出对应角的度数，验证角相等即可证明相似。
【解析】
(1) $△ AEF ∽ △ ECF$，证明如下：
∵ $CE ⊥ EF$，矩形$ABCD$中$∠ D = 90°$，
∴ $∠ CEF = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ AEF + ∠ DEC = 90°$，$∠ DEC + ∠ DCE = 90°$，
∴ $∠ AEF = ∠ DCE$，
又
∵ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $△ AEF ∽ △ DCE$，
∴ $\frac{EF}{CE}=\frac{AE}{DC}$，
∵ $E$为$AD$中点，
∴ $AE=DE$，
∴ $\frac{EF}{CE}=\frac{DE}{DC}$，即$\frac{EF}{DE}=\frac{CE}{DC}$，
又
∵ $∠ CEF = ∠ D = 90°$，
∴ $△ CEF ∽ △ CDE$，
∴ $△ AEF ∽ △ ECF$。
(2) 当$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$△ AEF ∽ △ BCF$，理由如下：
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，矩形中$AB=DC$，$BC=AD$，$E$为$AD$中点，故$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴ $\frac{DC}{DE}=\frac{AB}{\frac{1}{2}BC}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
设$DE=k$，则$DC=\sqrt{3}k$，在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得$EC=\sqrt{DE^2+DC^2}=\sqrt{k^2+3k^2}=2k$，
∴ $\frac{ED}{EC}=\frac{1}{2}$，
∴ $∠ ECD=30°$，
由(1)的相似关系可得$∠ ECD=∠ FCE=∠ FEA=30°$，
∴ $∠ BCF=90°-∠ ECD-∠ FCE=30°$，即$∠ BCF=∠ AEF=30°$，
又
∵ $∠ A=∠ B=90°$，
∴ $△ AEF ∽ △ BCF$。
【答案】
(1) $△ AEF ∽ △ ECF$，证明见解析；
(2) 当$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$△ AEF ∽ △ BCF$，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定；矩形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题以矩形为背景考查相似三角形的判定，解题时需灵活运用余角的性质转化角的关系，结合边的比例推导相似关系，第二问通过设参数计算角度是解决比值类相似问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
(1) 判断两个三角形是否相似，可先观察角的特征：两个三角形都含直角，只需再找一组角相等或夹直角的边成比例即可。首先由EF⊥EC结合矩形的直角，利用同角的余角相等得到∠AEF=∠DCE，先证△AEF∽△DCE得到边的比例关系，再结合E是AD中点转换比例，进一步推导△CEF与△CDE相似，通过相似的传递性即可得证。
(2) 给定边长比例判断相似，两个三角形均含直角，只需再验证一组锐角相等即可。结合已知的边长比设参数表示各边长度，利用直角三角形边角关系求出对应角的度数，验证角相等即可证明相似。
【解析】
(1) $△ AEF ∽ △ ECF$，证明如下：
∵ $CE ⊥ EF$，矩形$ABCD$中$∠ D = 90°$，
∴ $∠ CEF = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ AEF + ∠ DEC = 90°$，$∠ DEC + ∠ DCE = 90°$，
∴ $∠ AEF = ∠ DCE$，
又
∵ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $△ AEF ∽ △ DCE$，
∴ $\frac{EF}{CE}=\frac{AE}{DC}$，
∵ $E$为$AD$中点，
∴ $AE=DE$，
∴ $\frac{EF}{CE}=\frac{DE}{DC}$，即$\frac{EF}{DE}=\frac{CE}{DC}$，
又
∵ $∠ CEF = ∠ D = 90°$，
∴ $△ CEF ∽ △ CDE$，
∴ $△ AEF ∽ △ ECF$。
(2) 当$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$△ AEF ∽ △ BCF$，理由如下：
∵ $\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，矩形中$AB=DC$，$BC=AD$，$E$为$AD$中点，故$DE=\frac{1}{2}BC$，
∴ $\frac{DC}{DE}=\frac{AB}{\frac{1}{2}BC}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
设$DE=k$，则$DC=\sqrt{3}k$，在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得$EC=\sqrt{DE^2+DC^2}=\sqrt{k^2+3k^2}=2k$，
∴ $\frac{ED}{EC}=\frac{1}{2}$，
∴ $∠ ECD=30°$，
由(1)的相似关系可得$∠ ECD=∠ FCE=∠ FEA=30°$，
∴ $∠ BCF=90°-∠ ECD-∠ FCE=30°$，即$∠ BCF=∠ AEF=30°$，
又
∵ $∠ A=∠ B=90°$，
∴ $△ AEF ∽ △ BCF$。
【答案】
(1) $△ AEF ∽ △ ECF$，证明见解析；
(2) 当$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$△ AEF ∽ △ BCF$，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定；矩形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题以矩形为背景考查相似三角形的判定，解题时需灵活运用余角的性质转化角的关系，结合边的比例推导相似关系，第二问通过设参数计算角度是解决比值类相似问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
13. 如图, 在 $△ ABC$ 与 $△ ADE$ 中, $∠ ACB = ∠ AED = 90°$, 连接 $BD, CE, ∠ EAC = ∠ DAB$.
(1) 求证: $△ ABC ∽ △ ADE$;
(2) 求证: $△ BAD ∽ △ CAE$;
(3) 已知 $BC=4, AC=3, AE=\dfrac{3}{2}$, 将 $△ AED$ 绕点 $A$ 旋转, 当点 $E$ 落在线段 $CD$ 上时, 求 $BD$ 的长.
(1) 求证: $△ ABC ∽ △ ADE$;
(2) 求证: $△ BAD ∽ △ CAE$;
(3) 已知 $BC=4, AC=3, AE=\dfrac{3}{2}$, 将 $△ AED$ 绕点 $A$ 旋转, 当点 $E$ 落在线段 $CD$ 上时, 求 $BD$ 的长.
答案
13. (1)
∵ $∠EAC = ∠DAB$,
∴ $∠CAB = ∠EAD$.
∵ $∠ACB = ∠AED=90°$,
∴ $△ABC∽△ADE$.
(2) 由 (1) 知 $△ABC∽△ADE$,
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$.
∵ $∠EAC = ∠DAB$,
∴ $△BAD∽△CAE$.
(3)
∵ $∠ACB=90°, BC=4, AC=3$,
∴ $AB = \sqrt{BC^2+AC^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5$.
∵ $△ABC∽△ADE$,
∴ $\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$,
∴ $AD=\frac{AB·AE}{AC}=\frac{5×\frac{3}{2}}{3}=\frac{5}{2}$.如图,将 $△AED$ 绕点 $A$ 旋转,当点 $E$ 落在线段 $CD$ 上时, $∠AEC = ∠ADB = 90°$,
∴ $BD = \sqrt{AB^2-AD^2} = \sqrt{5^2-(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证△ABC∽△ADE，已知两个三角形均为直角三角形，已有一组直角相等，只需再证一组锐角相等即可。由已知∠EAC=∠DAB，两角同时加∠EAB可得∠CAB=∠EAD，结合直角相等，用两角分别相等的判定定理即可证明。
(2) 要证△BAD∽△CAE，先由(1)的相似结论得到对应边成比例，变形得到两边对应成比例的关系，再结合已知的公共夹角相等，用两边成比例且夹角相等的判定定理即可证明。
(3) 先在Rt△ABC中用勾股定理求出AB的长度，再由△ABC∽△ADE的相似比求出AD的长度；当E落在线段CD上时，由△BAD∽△CAE可得∠ADB=∠AEC=90°，最后在Rt△ADB中用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠EAC = ∠DAB$，
∴ $∠EAC + ∠EAB = ∠DAB + ∠EAB$，即$∠CAB = ∠EAD$。
又
∵ $∠ACB = ∠AED=90°$，
∴ $△ABC∽△ADE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 证明：
由(1)知$△ABC∽△ADE$，
∴ $\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$，变形得$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$。
∵ $∠EAC = ∠DAB$，
∴ $△BAD∽△CAE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(3) 解：
在Rt△ABC中，$∠ACB=90°, BC=4, AC=3$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{BC^2+AC^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5$。
∵ $△ABC∽△ADE$，
∴ $\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$，
代入数值得：$AD=\frac{AB·AE}{AC}=\frac{5×\frac{3}{2}}{3}=\frac{5}{2}$。
将$△AED$绕点$A$旋转，当点$E$落在线段$CD$上时，由$△BAD∽△CAE$得$∠ADB=∠AEC$，
∵ $∠AED=90°$，点E在CD上，
∴ $∠AEC=180°-∠AED=90°$，即$∠ADB=90°$，
在Rt△ADB中，$BD = \sqrt{AB^2-AD^2} = \sqrt{5^2-(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) 证明成立；
(3) $BD=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合类题型，将相似三角形的判定、性质与旋转、勾股定理相结合，考查学生的逻辑推导能力。解题的核心是利用已知角的关系推导相似所需的等角条件，再通过相似的边比例关系转化求解，是相似三角形章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.65
(1) 要证△ABC∽△ADE，已知两个三角形均为直角三角形，已有一组直角相等，只需再证一组锐角相等即可。由已知∠EAC=∠DAB，两角同时加∠EAB可得∠CAB=∠EAD，结合直角相等，用两角分别相等的判定定理即可证明。
(2) 要证△BAD∽△CAE，先由(1)的相似结论得到对应边成比例，变形得到两边对应成比例的关系，再结合已知的公共夹角相等，用两边成比例且夹角相等的判定定理即可证明。
(3) 先在Rt△ABC中用勾股定理求出AB的长度，再由△ABC∽△ADE的相似比求出AD的长度；当E落在线段CD上时，由△BAD∽△CAE可得∠ADB=∠AEC=90°，最后在Rt△ADB中用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠EAC = ∠DAB$，
∴ $∠EAC + ∠EAB = ∠DAB + ∠EAB$，即$∠CAB = ∠EAD$。
又
∵ $∠ACB = ∠AED=90°$，
∴ $△ABC∽△ADE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 证明：
由(1)知$△ABC∽△ADE$，
∴ $\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$，变形得$\frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}$。
∵ $∠EAC = ∠DAB$，
∴ $△BAD∽△CAE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(3) 解：
在Rt△ABC中，$∠ACB=90°, BC=4, AC=3$，
由勾股定理得：$AB = \sqrt{BC^2+AC^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5$。
∵ $△ABC∽△ADE$，
∴ $\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$，
代入数值得：$AD=\frac{AB·AE}{AC}=\frac{5×\frac{3}{2}}{3}=\frac{5}{2}$。
将$△AED$绕点$A$旋转，当点$E$落在线段$CD$上时，由$△BAD∽△CAE$得$∠ADB=∠AEC$，
∵ $∠AED=90°$，点E在CD上，
∴ $∠AEC=180°-∠AED=90°$，即$∠ADB=90°$，
在Rt△ADB中，$BD = \sqrt{AB^2-AD^2} = \sqrt{5^2-(\frac{5}{2})^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) 证明成立；
(3) $BD=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合类题型，将相似三角形的判定、性质与旋转、勾股定理相结合，考查学生的逻辑推导能力。解题的核心是利用已知角的关系推导相似所需的等角条件，再通过相似的边比例关系转化求解，是相似三角形章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.65
