2. 已知正方形$ABCD$，$△ ADF$旋转一定角度后得到$△ ABE$，如图所示，如果$AF＝4$，$AB＝7$.

（1）旋转中心是点________，旋转了________度，$DE$的长度是________；
（2）$BE$与$DF$的位置关系如何？请说明理由.

解：
（1）$A$；$90$；$3$
（2）$BE$与$DF$互相垂直，理由如下：
延长$BE$，交$DF$于点$G$。
由旋转的性质可知，$△ ABE ≌ △ ADF$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ ADF$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠ DAF = ∠ BAD = 90°$，
$\therefore ∠ ADF + ∠ F = 90°$，
$\therefore ∠ ABE + ∠ F = 90°$，
$\therefore ∠ BGF = 90°$，
即$BE ⊥ DF$。

【分析】
（1）解决旋转类问题首先确定旋转三要素：旋转前后图形的公共顶点即为旋转中心，对应边的夹角即为旋转角。△ADF和△ABE的公共顶点是A，故旋转中心为A；正方形ABCD中∠DAB=90°，AD旋转后对应边为AB，因此旋转角为90°。求DE长度时，根据旋转的性质，对应边相等可得AE=AF=4，AD=AB=7，DE为AD与AE的差，计算即可得到结果。
（2）判断两条线段的位置关系，通常考虑垂直或平行，本题结合旋转的全等性质，可得对应角∠ABE=∠ADF，再利用正方形的直角性质，通过角度推导得到BE与DF的夹角为90°，即可判断二者垂直。
【解析】
（1）
∵△ADF旋转一定角度后得到△ABE，两三角形的公共顶点为A，
∴旋转中心是点A；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD旋转后与AB重合，因此旋转角度为90°；
由旋转的性质可知，AE=AF=4，AD=AB=7，
∴DE=AD-AE=7-4=3。
（2）BE与DF互相垂直，理由如下：
延长BE，交DF于点G。
由旋转的性质可知，△ABE≌△ADF，
∴∠ABE=∠ADF。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF=∠BAD=90°，
∴在Rt△ADF中，∠ADF+∠F=90°，
∴∠ABE+∠F=90°，
在△BGF中，∠BGF=180°-(∠ABE+∠F)=90°，
即BE⊥DF。
【答案】
（1）$A$；$90$；$3$
（2）$BE$与$DF$互相垂直
【知识点】
旋转的性质；正方形的性质；垂直的判定
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握旋转前后图形全等、对应边对应角相等的性质，结合正方形的性质进行边长计算和角度推导即可解决问题。
【难度系数】
0.7

1.如图，$△ ABC$与$△ BDE$都是等腰直角三角形，$BC=BE$，$∠ ACB$与$∠ E$都是直角，将$△ ABC$绕点按逆时针旋转度可与$△ DBE$重合。
第1题图 第2题图

B；90

【分析】
要确定旋转中心和旋转角度，首先回忆旋转的相关概念：旋转中心是旋转过程中保持固定不动的点，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角。首先观察两个待重合的三角形△ABC和△DBE，公共顶点为B，可初步判断旋转中心为B；接下来找对应边，由题可知BC=BE，二者都是等腰直角三角形的直角边，是一组对应边，计算这组对应边与旋转中心连线的夹角即可得到旋转角。
【解析】
1. 确定旋转中心：旋转过程中位置不发生改变的点为旋转中心，△ABC绕某点旋转后与△DBE重合，只有点B是两个三角形的公共顶点，位置不变，因此旋转中心是点B。
2. 确定旋转角度：已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠E=90°，BC=BE，因此点C和点E是一组对应点，点A和点D是一组对应点。对应边BC、BE与旋转中心B的夹角∠CBE即为旋转角，结合图形和等腰直角三角形的性质可得∠CBE=90°，且题目要求逆时针旋转，故旋转角度为90度。
【答案】
B；90
【知识点】
1. 旋转的相关概念
2. 等腰直角三角形的性质
3. 旋转角的确定
【点评】
本题是图形旋转的基础题，解题的核心是准确找到旋转过程中的不动点（旋转中心）以及对应点，通过对应点与旋转中心的夹角确定旋转角，掌握旋转的基本性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8

2.如图，$△ ABC$是等边三角形，D为$△ ABC$内一点，$△ ABD$经过旋转后到达$△ ACP$的位置，则旋转中心是点，旋转角的度数为.

A；60°

【分析】
解题时先明确旋转相关概念：旋转过程中位置固定不变的点是旋转中心，对应点与旋转中心连线的夹角为旋转角。首先观察图形，△ABD旋转得到△ACP的过程中，只有点A的位置没有发生变化，可确定旋转中心；再找到AB的对应边是AC，结合等边三角形内角的性质即可计算出旋转角的度数。
【解析】
1. 确定旋转中心：
图形旋转时位置保持不变的点为旋转中心。△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，点A是两个三角形的公共顶点，旋转过程中位置未改变，因此旋转中心是点A。
2. 计算旋转角度数：
旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，AB的对应边为AC，因为△ABC是等边三角形，其每个内角均为60°，因此∠BAC=60°，即旋转角的度数为60°。
【答案】
A；60°
【知识点】
旋转的相关概念；等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对旋转基本概念的掌握，解题关键是找准旋转过程中的不动点、对应边的夹角，结合等边三角形性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ BAC=90°,AB=2.$ 将 $△ ABC$ 绕点 A 按顺时针方向旋转至 $△ AB_1C_1$ 的位置,点 $B_1$ 恰好落在边 BC 的中点处,则 $CC_1$ 的长为 .

$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$

【分析】
解题时先结合已知条件调用相关性质推导：首先利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合旋转前后对应边相等的性质，证明△ABB₁是等边三角形，得到旋转角为60°；再在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的长度；最后根据旋转的性质得到AC=AC₁，结合旋转角相等推出△ACC₁为等边三角形，即可得出CC₁的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$B_1$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得：$AB_1=BB_1=\frac{1}{2}BC$。
2. 由旋转的性质可知：$AB=AB_1=2$，$∠ BAB_1=∠ CAC_1$，$AC=AC_1$。
3. 因此$AB=AB_1=BB_1=2$，$△ ABB_1$为等边三角形，故$∠ BAB_1=60°$，可得$∠ CAC_1=60°$。
4. 由$BC=2BB_1=4$，在$Rt△ ABC$中根据勾股定理计算$AC$：$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
5. 因为$AC=AC_1$且$∠ CAC_1=60°$，所以$△ ACC_1$是等边三角形，因此$CC_1=AC=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是图形旋转性质应用的典型题型，将旋转性质、直角三角形特殊性质、等边三角形判定结合考查，解题核心是抓住旋转前后对应边相等、旋转角相等的特点，结合特殊三角形的性质推导边长关系，对知识点综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

4.如图,线段AB绕点O顺时针旋转,下列说法中正确的有()
①$OA=OA',OB=OB'$;②$AB=A'B'$;
③$∠ AOA'=∠ BOB'$;④$∠ AOB=∠ A'OB$.

A.3个
B.2个
C.1个
D.0个

A

【分析】
本题考查图形旋转的性质，解题时先明确旋转的核心性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等、对应线段相等、对应角相等、所有旋转角相等，再依次对4个结论逐一验证即可。
【解析】
根据旋转的性质逐一判断：
1. 旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，点A和A'、点B和B'是对应点，因此$OA=OA'$，$OB=OB'$，故①正确；
2. 旋转前后对应线段长度相等，AB和$A'B'$是对应线段，因此$AB=A'B'$，故②正确；
3. 旋转中所有旋转角相等，$∠ AOA'$和$∠ BOB'$都是本次旋转的旋转角，因此$∠ AOA'=∠ BOB'$，故③正确；
4. 旋转前后对应角相等，正确的对应关系是$∠ AOB=∠ A'OB'$，而非$∠ AOB=∠ A'OB$，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质、对应线段相等、旋转角相等
【点评】
本题属于基础题，主要考查对旋转性质的掌握，解题时需注意对应角、对应线段的对应关系，避免混淆非对应量导致判断错误。
【难度系数】
0.8