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21.(10分)如图是一个由若干个棱长相等的正方体构成的几何体的三视图.
(1)请写出构成这个几何体的正方体个数；
(2)请根据图中所标的尺寸,计算这个几何体的表面积.
(1)请写出构成这个几何体的正方体个数；
(2)请根据图中所标的尺寸,计算这个几何体的表面积.
答案
21.解:(1)5个.(2)$S_表=5×6a^2-10a^2=20a^2$.
解析
【分析】
（1）求构成几何体的正方体个数时，可遵循“俯视图定底层，主视图定高度，左视图定行列”的思路：先通过俯视图确定最底层正方体的数量，再结合主视图、左视图判断上层正方体的数量，相加即可得到总个数。
（2）计算组合几何体的表面积时，可先计算所有独立小正方体的表面积总和，再减去重叠部分的面积：每两个正方体相互贴合的位置，会减少2个正方形面的面积，数出贴合处总数即可算出减少的总面积，用总表面积减去减少的面积就是组合体的实际表面积。
【解析】
(1) 观察三视图：由俯视图可知，几何体底层共有4个正方体；结合主视图和左视图可知，第二层仅有1个正方体，因此总正方体个数为 $ 4+1=5 $ 个。
(2) 设每个小正方体的棱长为 $ a $，单个正方形面的面积为 $ a^2 $。
5个独立小正方体的总表面积为 $ 5 × 6a^2 = 30a^2 $；
组合体共有5处两两贴合的位置，总共减少的面积为 $ 10a^2 $；
因此该几何体的表面积 $ S_{\mathrm{表}} = 30a^2 - 10a^2 = 20a^2 $。
【答案】
(1) 5个；(2) $ 20a^2 $
【知识点】
三视图判断几何体、组合体表面积计算
【点评】
本题是空间几何的基础常考题，重点考查三视图的应用能力和空间想象能力，解题核心是准确根据三视图还原几何体的结构，计算表面积时注意不要漏扣重叠部分的面积。
【难度系数】
0.7
（1）求构成几何体的正方体个数时，可遵循“俯视图定底层，主视图定高度，左视图定行列”的思路：先通过俯视图确定最底层正方体的数量，再结合主视图、左视图判断上层正方体的数量，相加即可得到总个数。
（2）计算组合几何体的表面积时，可先计算所有独立小正方体的表面积总和，再减去重叠部分的面积：每两个正方体相互贴合的位置，会减少2个正方形面的面积，数出贴合处总数即可算出减少的总面积，用总表面积减去减少的面积就是组合体的实际表面积。
【解析】
(1) 观察三视图：由俯视图可知，几何体底层共有4个正方体；结合主视图和左视图可知，第二层仅有1个正方体，因此总正方体个数为 $ 4+1=5 $ 个。
(2) 设每个小正方体的棱长为 $ a $，单个正方形面的面积为 $ a^2 $。
5个独立小正方体的总表面积为 $ 5 × 6a^2 = 30a^2 $；
组合体共有5处两两贴合的位置，总共减少的面积为 $ 10a^2 $；
因此该几何体的表面积 $ S_{\mathrm{表}} = 30a^2 - 10a^2 = 20a^2 $。
【答案】
(1) 5个；(2) $ 20a^2 $
【知识点】
三视图判断几何体、组合体表面积计算
【点评】
本题是空间几何的基础常考题，重点考查三视图的应用能力和空间想象能力，解题核心是准确根据三视图还原几何体的结构，计算表面积时注意不要漏扣重叠部分的面积。
【难度系数】
0.7
22.(10分)如图是一个正六棱柱，图1、图2分别是它的两种视图。
(1)图1是
(2)根据这两种视图中的尺寸，计算这个正六棱柱的体积。
(1)图1是
主视图
；图2是左视图
(填“主视图”“左视图”或“俯视图”)；(2)根据这两种视图中的尺寸，计算这个正六棱柱的体积。
答案
22.解:(1)主视图 左视图
(2)如图,过正六边形的中心点 O 作OC⊥AB于点 C,
由题意可知△OAB 为等边三角形,
AB=OA=OB=2.
又 OC⊥AB,
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=1.
在 Rt△OBC 中,OC=$\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
∴$S_{△OAB}=\frac{1}{2}AB·OC=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$,
∴$V_{正六棱柱}=6×\sqrt{3}×1=6\sqrt{3}$,
即这个正六棱柱的体积为 $6\sqrt{3}$.
解析
【分析】
第(1)问解题思路：先明确正六棱柱三类视图的特征，主视图可观察到三个相邻的矩形面，左视图可观察到两个相邻的矩形面，俯视图为正六边形，结合给出的视图特征即可对应判断。
第(2)问解题思路：正六棱柱体积计算公式为“底面积×高”，底面为正六边形，可将其分割为6个全等的等边三角形，先利用勾股定理求出单个等边三角形的面积，乘6得到正六边形底面积，再乘正六棱柱的高即可得到体积。
【解析】
(1) 根据正六棱柱三视图的特征，观察视图形状可得，图1是主视图，图2是左视图。
(2) 计算体积步骤如下：
过正六边形的中心点O作OC⊥AB于点C，
由正六边形的性质可知，其边长等于外接圆半径，因此△OAB为等边三角形，AB=OA=OB=2。
∵OC⊥AB，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=1。
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
单个等边三角形的面积为：
$S_{△OAB}=\frac{1}{2}AB·OC=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
正六边形的底面积为6个等边三角形面积之和，结合正六棱柱的高为1，可得体积：
$V_{正六棱柱}=6×\sqrt{3}×1=6\sqrt{3}$。
【答案】
(1)主视图；左视图
(2)这个正六棱柱的体积为$6\sqrt{3}$。
【知识点】
三视图判断；正六边形的性质；棱柱体积计算
【点评】
本题结合三视图考查正六棱柱体积的计算，核心是掌握正六边形可拆分为6个全等等边三角形的性质，再结合勾股定理、体积公式求解，是几何部分的基础综合题型。
【难度系数】
0.7
第(1)问解题思路：先明确正六棱柱三类视图的特征，主视图可观察到三个相邻的矩形面，左视图可观察到两个相邻的矩形面，俯视图为正六边形，结合给出的视图特征即可对应判断。
第(2)问解题思路：正六棱柱体积计算公式为“底面积×高”，底面为正六边形，可将其分割为6个全等的等边三角形，先利用勾股定理求出单个等边三角形的面积，乘6得到正六边形底面积，再乘正六棱柱的高即可得到体积。
【解析】
(1) 根据正六棱柱三视图的特征，观察视图形状可得，图1是主视图，图2是左视图。
(2) 计算体积步骤如下：
过正六边形的中心点O作OC⊥AB于点C，
由正六边形的性质可知，其边长等于外接圆半径，因此△OAB为等边三角形，AB=OA=OB=2。
∵OC⊥AB，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=1。
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
单个等边三角形的面积为：
$S_{△OAB}=\frac{1}{2}AB·OC=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
正六边形的底面积为6个等边三角形面积之和，结合正六棱柱的高为1，可得体积：
$V_{正六棱柱}=6×\sqrt{3}×1=6\sqrt{3}$。
【答案】
(1)主视图；左视图
(2)这个正六棱柱的体积为$6\sqrt{3}$。
【知识点】
三视图判断；正六边形的性质；棱柱体积计算
【点评】
本题结合三视图考查正六棱柱体积的计算，核心是掌握正六边形可拆分为6个全等等边三角形的性质，再结合勾股定理、体积公式求解，是几何部分的基础综合题型。
【难度系数】
0.7
23.(12分)如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD=0.8 m，窗高CD=1.2 m，并测得OE=0.8 m，OF=3 m，求围墙AB的高度。
答案
23.解:延长 OD 至 C,如图.
∵DO⊥BF,
∴∠DOE=90°.
∵OD=0.8 m,OE=0.8 m,
∴∠DEB=45°.
∵AB⊥BF,
∴∠BAE=45°,
∴AB=BE.
设 AB=EB=x m,
∵AB⊥BF,CO⊥BF,
∴AB//CO,
∴△ABF∽△COF,
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{CO}{OF}$,
即$\frac{x}{x+(3-0.8)}=\frac{1.2+0.8}{3}$,解得 x=4.4.
经检验,x=4.4 是原方程的解.
答:围墙 AB 的高度是 4.4 m.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的OD、OE长度及垂直关系，判断△DOE为等腰直角三角形，得到∠DEB=45°，再结合AB⊥BF，可推出AB=BE，得到AB与BE的等量关系；接下来观察到AB与CO均垂直于地面BF，可得AB//CO，进而证明△ABF∽△COF，利用相似三角形对应边成比例的性质，设AB的高度为未知数，代入对应边长列分式方程求解，最后检验方程的解即可得到结果。
【解析】
延长OD至C，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=0.8 m，OE=0.8 m，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=∠DEB=45°，
∴AB=BE。
设AB=EB=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB//CO，
∴△ABF∽△COF，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{CO}{OF}$。
其中BF = $x + (3 - 0.8)$，CO = $1.2 + 0.8 = 2\ \mathrm{m}$，OF=$3\ \mathrm{m}$，
代入得$\frac{x}{x+(3-0.8)}=\frac{1.2+0.8}{3}$，
解得x=4.4。
经检验，x=4.4是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
答：围墙AB的高度是4.4 m。
【知识点】
等腰直角三角形性质，相似三角形判定，相似三角形应用
【点评】
本题是相似三角形结合等腰直角三角形的实际应用问题，解题的突破口是先通过等腰直角三角形得到AB与BE的等量关系，再构造相似三角形列方程求解，有效考查了学生建立几何模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知的OD、OE长度及垂直关系，判断△DOE为等腰直角三角形，得到∠DEB=45°，再结合AB⊥BF，可推出AB=BE，得到AB与BE的等量关系；接下来观察到AB与CO均垂直于地面BF，可得AB//CO，进而证明△ABF∽△COF，利用相似三角形对应边成比例的性质，设AB的高度为未知数，代入对应边长列分式方程求解，最后检验方程的解即可得到结果。
【解析】
延长OD至C，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=0.8 m，OE=0.8 m，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=∠DEB=45°，
∴AB=BE。
设AB=EB=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB//CO，
∴△ABF∽△COF，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{CO}{OF}$。
其中BF = $x + (3 - 0.8)$，CO = $1.2 + 0.8 = 2\ \mathrm{m}$，OF=$3\ \mathrm{m}$，
代入得$\frac{x}{x+(3-0.8)}=\frac{1.2+0.8}{3}$，
解得x=4.4。
经检验，x=4.4是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
答：围墙AB的高度是4.4 m。
【知识点】
等腰直角三角形性质，相似三角形判定，相似三角形应用
【点评】
本题是相似三角形结合等腰直角三角形的实际应用问题，解题的突破口是先通过等腰直角三角形得到AB与BE的等量关系，再构造相似三角形列方程求解，有效考查了学生建立几何模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
