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24(12分)九天楼矗立于塔子山公园内,是成都市地标建筑之一.在一个阳光灿烂的午后,小明来到公园游玩,目睹了气势恢宏的九天楼(AB),其垂直于水平地面BD,他萌生了测量该建筑的高度的想法.他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡DC上(如图所示).他测得地面上的影长BD为86米,坡面上的影长DC为12米,已知该山坡与水平地面形成的锐角为$30°$.与此同时,身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米.
(1)求点C到水平地面的距离;
(2)求小明测得的九天楼的高度.(结果精确到1米,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)
(1)求点C到水平地面的距离;
(2)求小明测得的九天楼的高度.(结果精确到1米,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)
答案
24.解:(1)如图,过点 C 作 CH⊥BD 交 BD 的延长线于点 H.
在 Rt△CDH 中,∠CHD=90°,∠CDH=30°,
∴CH=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$(米).
答:点 C 到水平地面的距离为 6 米.
(2)如图,过点 H 作 HE//AC 交 AB 于 E.
∵AE⊥BD,CH⊥BD,
∴AE//CH,
∴AE=CH=6 米.
在 Rt△CDH 中,由勾股定理,
得 DH=$\sqrt{CD^2-CH^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$(米),
∴BH=BD+DH=86+6$\sqrt{3}$(米).
∵身高 1.6 米的小明在水平地面上的影长为 2.4 米,
∴$\frac{BE}{BH}=\frac{1.6}{2.4}=\frac{2}{3}$,即$\frac{BE}{86+6\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$,
∴BE=$\frac{2}{3}×(86+6\sqrt{3})≈64$(米),
∴AB=AE+BE≈6+64=70(米).
答:小明测得的九天楼的高度约为 70 米.
解析
【分析】
（1）求点C到水平地面的距离，可过C作CH垂直BD的延长线于H，构造含30°角的Rt△CDH，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可直接求出CH的长度。
（2）求九天楼高度时，需利用同一时刻太阳光线平行、物高与影长比值相等的规律：先过H作HE平行AC交AB于E，证明四边形AEHC为平行四边形，得AE=CH；再用勾股定理求出DH的长度，得到BE对应的水平影长BH；结合小明身高与影长的比例求出BE的长度，最后AB=AE+BE即可算出九天楼总高度。
【解析】
(1) 如图，过点C作CH⊥BD交BD的延长线于点H。
在Rt△CDH中，∠CHD=90°，∠CDH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$(米)。
答：点C到水平地面的距离为6米。
(2) 如图，过点H作HE//AC交AB于E。
∵AB⊥BD，CH⊥BD，
∴AE//CH，
∴四边形AEHC为平行四边形，AE=CH=6米。
在Rt△CDH中，由勾股定理得：
$DH=\sqrt{CD^2-CH^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$(米)，
∴BH=BD+DH=$86+6\sqrt{3}$(米)。
∵同一时刻物高与影长比值相等，身高1.6米的小明影长为2.4米，
∴$\frac{BE}{BH}=\frac{1.6}{2.4}=\frac{2}{3}$，即$\frac{BE}{86+6\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$，
解得$BE=\frac{2}{3}×(86+6\sqrt{3})≈64$(米)，
∴AB=AE+BE≈6+64=70(米)。
答：小明测得的九天楼的高度约为70米。
【答案】
(1) 点C到水平地面的距离为6米；
(2) 九天楼的高度约为70米。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 平行四边形性质
3. 物高影长比例
【点评】
本题结合生活中的测量场景，将几何知识与实际应用结合，考查学生构造辅助线、将实际问题转化为数学模型的能力，解题的核心是熟练运用直角三角形的性质和同一时刻物高与影长的比例规律，综合性适中。
【难度系数】
0.6
（1）求点C到水平地面的距离，可过C作CH垂直BD的延长线于H，构造含30°角的Rt△CDH，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可直接求出CH的长度。
（2）求九天楼高度时，需利用同一时刻太阳光线平行、物高与影长比值相等的规律：先过H作HE平行AC交AB于E，证明四边形AEHC为平行四边形，得AE=CH；再用勾股定理求出DH的长度，得到BE对应的水平影长BH；结合小明身高与影长的比例求出BE的长度，最后AB=AE+BE即可算出九天楼总高度。
【解析】
(1) 如图，过点C作CH⊥BD交BD的延长线于点H。
在Rt△CDH中，∠CHD=90°，∠CDH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×12=6$(米)。
答：点C到水平地面的距离为6米。
(2) 如图，过点H作HE//AC交AB于E。
∵AB⊥BD，CH⊥BD，
∴AE//CH，
∴四边形AEHC为平行四边形，AE=CH=6米。
在Rt△CDH中，由勾股定理得：
$DH=\sqrt{CD^2-CH^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$(米)，
∴BH=BD+DH=$86+6\sqrt{3}$(米)。
∵同一时刻物高与影长比值相等，身高1.6米的小明影长为2.4米，
∴$\frac{BE}{BH}=\frac{1.6}{2.4}=\frac{2}{3}$，即$\frac{BE}{86+6\sqrt{3}}=\frac{2}{3}$，
解得$BE=\frac{2}{3}×(86+6\sqrt{3})≈64$(米)，
∴AB=AE+BE≈6+64=70(米)。
答：小明测得的九天楼的高度约为70米。
【答案】
(1) 点C到水平地面的距离为6米；
(2) 九天楼的高度约为70米。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 平行四边形性质
3. 物高影长比例
【点评】
本题结合生活中的测量场景，将几何知识与实际应用结合，考查学生构造辅助线、将实际问题转化为数学模型的能力，解题的核心是熟练运用直角三角形的性质和同一时刻物高与影长的比例规律，综合性适中。
【难度系数】
0.6
25(14分)综合与实践.
【问题情境】在棱长为1的正方体右侧拼搭若干个棱长小于或等于1的其他正方体,使拼成的立体图形为一个长方体.如图1,是两个棱长为1的正方体搭成的长方体,图2是从上面看这个长方体得到的平面图形,它由两个正方形组成.
【操作探究】
(1)如图3是在棱长为1的正方体右侧拼搭了4个棱长小于1的正方体形成的长方体,请画出从上面看这个长方体得到的平面图形;
(2)已知一个长方体是按上述方式拼成的,组成它的正方体不超过10个,且从上面看这个长方体得到的平面图形由4个正方形组成.
请画出从上面看这个长方体得到的平面图形.(请画出所有可能的图形,并在所画图形的下方直接写出拼成该长方体所需的正方体的总个数)
【问题情境】在棱长为1的正方体右侧拼搭若干个棱长小于或等于1的其他正方体,使拼成的立体图形为一个长方体.如图1,是两个棱长为1的正方体搭成的长方体,图2是从上面看这个长方体得到的平面图形,它由两个正方形组成.
【操作探究】
(1)如图3是在棱长为1的正方体右侧拼搭了4个棱长小于1的正方体形成的长方体,请画出从上面看这个长方体得到的平面图形;
(2)已知一个长方体是按上述方式拼成的,组成它的正方体不超过10个,且从上面看这个长方体得到的平面图形由4个正方形组成.
请画出从上面看这个长方体得到的平面图形.(请画出所有可能的图形,并在所画图形的下方直接写出拼成该长方体所需的正方体的总个数)
答案
25.解:(1)由图3可得从上面看这个长方体得到的平面图形如下.
(2)由题可得从上面看这个长方体得到的平面图形为
解析
【分析】
（1）本题考查俯视图的绘制，首先明确俯视图是从立体图形正上方观察得到的平面图形。观察图3的立体结构：左侧是棱长为1的正方体，从上方看投影为边长1的正方形；右侧是4个棱长为0.5的小正方体，分2层、前后2排摆放，从上方看投影为2个上下排列、边长为0.5的正方形，将两部分投影拼接即可得到对应的俯视图。
（2）本题需要结合约束条件分类讨论：首先已知立体是在1个棱长为1的正方体右侧拼搭得到的长方体，因此整体的高度、前后宽度均为1，俯视图外轮廓为矩形，内部由4个正方形组成，且总正方体个数≤10。我们按俯视图中正方形的大小和排列方式分类：①所有正方形边长均为1：即4个棱长1的正方体横向排列，俯视图为4个等大正方形并排，总个数为4；②存在边长更小的小正方形：分类讨论小正方形的位置，分别得到总个数为6的两种排布、总个数为10的一种排布，均满足总个数≤10的要求。
【解析】
（1）根据俯视图的定义，结合图3的结构，从上方观察得到的平面图形如下：
（2）结合“俯视图含4个正方形、总正方体数≤10、拼搭后为长方体”的条件，所有可能的俯视图及对应总个数如下：
【答案】
(1)
(2)
【知识点】
三视图绘制，立体图形拼搭，分类讨论思想
【点评】
本题侧重考查空间想象能力和分类讨论能力，解题时首先要明确俯视图的观察角度，再结合“拼搭后为长方体”“总个数不超过10”等约束条件逐一排查可能的情况，避免漏解，是几何实践类的典型题型。
【难度系数】
0.6
（1）本题考查俯视图的绘制，首先明确俯视图是从立体图形正上方观察得到的平面图形。观察图3的立体结构：左侧是棱长为1的正方体，从上方看投影为边长1的正方形；右侧是4个棱长为0.5的小正方体，分2层、前后2排摆放，从上方看投影为2个上下排列、边长为0.5的正方形，将两部分投影拼接即可得到对应的俯视图。
（2）本题需要结合约束条件分类讨论：首先已知立体是在1个棱长为1的正方体右侧拼搭得到的长方体，因此整体的高度、前后宽度均为1，俯视图外轮廓为矩形，内部由4个正方形组成，且总正方体个数≤10。我们按俯视图中正方形的大小和排列方式分类：①所有正方形边长均为1：即4个棱长1的正方体横向排列，俯视图为4个等大正方形并排，总个数为4；②存在边长更小的小正方形：分类讨论小正方形的位置，分别得到总个数为6的两种排布、总个数为10的一种排布，均满足总个数≤10的要求。
【解析】
（1）根据俯视图的定义，结合图3的结构，从上方观察得到的平面图形如下：
（2）结合“俯视图含4个正方形、总正方体数≤10、拼搭后为长方体”的条件，所有可能的俯视图及对应总个数如下：
【答案】
(1)
(2)
【知识点】
三视图绘制，立体图形拼搭，分类讨论思想
【点评】
本题侧重考查空间想象能力和分类讨论能力，解题时首先要明确俯视图的观察角度，再结合“拼搭后为长方体”“总个数不超过10”等约束条件逐一排查可能的情况，避免漏解，是几何实践类的典型题型。
【难度系数】
0.6
