第五单元探究性作业 格点多边形的面积 ➔答案p.111
同学们,本单元我们学习了多边形面积的有关知识,让我们进一步探究和解决以下问题:
奥地利数学家皮克将多边形放到格点中研究,发现多边形面积与多边形内部格点数、边上格点数之间的规律,并进行了证明。这个规律被誉为“有史以来最重要的100个数学定理”之一。
把平面图形放到边长1 cm的点子图上,如何通过数平面图形内部和边上“点”的个数来计算面积呢？让我们一起来探究一下。
【问题探究】
分别计算下面两个图形的面积。(每相邻两点之间的距离都是1 cm)

【分析探究】
1.如果多边形内有1个格点,多边形的面积与它边上的格点数有什么关系呢？根据下图填一填,想一想。(每相邻两点之间的距离都是1 cm)

(1)先数一数、算一算,再将结果填入表中。
| 图形(序号) | ① | ② | ③ | ④ |
|------------------|-------|-------|-------|-------|
| 多边形内的格点数 | 1个 | 1个 | 1个 | 1个 |
| 多边形边上的格点数 | 4个 | 5个 | ()个 | ()个 |
| 多边形的面积 | $2\ \mathrm{cm}^2$ | $2.5\ \mathrm{cm}^2$ | $(\ )\mathrm{cm}^2$ | $(\ )\mathrm{cm}^2$ |
(2)由上表可知,多边形的面积=多边形边上的格点数÷()。若用S表示多边形的面积,用b表示多边形边上的格点数,则多边形内的格点数为1时,多边形的面积S与边上的格点数b之间存在什么数量关系呢？

1.(1)(从左往右)6 3 7 3.5
1.(2)2 当多边形内的格点数为1时,多边形的面积S与边上的格点数b之间的数量关系是S=b÷2。