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11. 宜兴紫砂陶制作技艺是国家级非物质文化遗产，它以独特的紫砂泥为原料，经手工制坯、高温烧制等工序制成陶制品。小明想用所学知识测量某紫砂茶壶所用紫砂材料的体积和茶壶的容积，于是他进行了如下实验：①用天平测出茶壶盖的质量为50 g；②将茶壶盖浸没在装满水的溢水杯中，溢出水的质量为20 g；③用天平测出空茶壶（不含茶壶盖）的质量为180 g，将茶壶装满水后盖上茶壶盖，测得总质量为420 g。已知$\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$。
(1)求该茶壶所用紫砂材料的总体积。
(2)求该茶壶的容积。
(1)求该茶壶所用紫砂材料的总体积。
(2)求该茶壶的容积。
答案
(1)$92\ \mathrm{cm}^3$
(2)$190\ \mathrm{cm}^3$
【解析】(1)茶壶盖浸没在装满水的溢水杯中,其体积等于溢出水的体积,即$V_盖=V_{溢水}=\frac{m_{溢水}}{\rho_水}=\frac{20\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$,该茶壶所用紫砂材料的密度$\rho_{紫砂}=\frac{m_盖}{V_盖}=\frac{50\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=2.5\ \mathrm{g/cm}^3$,茶壶所用紫砂材料的总质量$m_{材料}=m_盖+m_{壶身}=50\ \mathrm{g}+180\ \mathrm{g}=230\ \mathrm{g}$,该茶壶所用紫砂材料的总体积$V_{材料}=\frac{m_{材料}}{\rho_{紫砂}}=\frac{230\ \mathrm{g}}{2.5\ \mathrm{g/cm}^3}=92\ \mathrm{cm}^3$;
(2)茶壶内水的质量$m_水=m_总-m_{壶身}-m_盖=420\ \mathrm{g}-180\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}=190\ \mathrm{g}$,茶壶的容积等于其装满水时水的体积,则$V_{壶}=V_水=\frac{m_水}{\rho_水}=\frac{190\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=190\ \mathrm{cm}^3$。
(2)$190\ \mathrm{cm}^3$
【解析】(1)茶壶盖浸没在装满水的溢水杯中,其体积等于溢出水的体积,即$V_盖=V_{溢水}=\frac{m_{溢水}}{\rho_水}=\frac{20\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$,该茶壶所用紫砂材料的密度$\rho_{紫砂}=\frac{m_盖}{V_盖}=\frac{50\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3}=2.5\ \mathrm{g/cm}^3$,茶壶所用紫砂材料的总质量$m_{材料}=m_盖+m_{壶身}=50\ \mathrm{g}+180\ \mathrm{g}=230\ \mathrm{g}$,该茶壶所用紫砂材料的总体积$V_{材料}=\frac{m_{材料}}{\rho_{紫砂}}=\frac{230\ \mathrm{g}}{2.5\ \mathrm{g/cm}^3}=92\ \mathrm{cm}^3$;
(2)茶壶内水的质量$m_水=m_总-m_{壶身}-m_盖=420\ \mathrm{g}-180\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}=190\ \mathrm{g}$,茶壶的容积等于其装满水时水的体积,则$V_{壶}=V_水=\frac{m_水}{\rho_水}=\frac{190\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3}=190\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
要解决该问题，需利用密度公式及其变形，结合浸没时物体体积等于排开液体体积的特点，分两步计算：先通过茶壶盖的质量和溢出水的体积求出紫砂材料的密度，再计算紫砂材料的总体积；再通过总质量减去壶身和壶盖的质量得到水的质量，进而求出茶壶的容积。
【解析】
(1) 茶壶盖浸没在装满水的溢水杯中，根据浸没时物体体积等于排开液体体积，可得茶壶盖的体积：
$V_盖 = V_{溢水} = \frac{m_{溢水}}{\rho_{水}} = \frac{20\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 20\ \mathrm{cm}^3$
紫砂材料的密度：
$\rho_{紫砂} = \frac{m_盖}{V_盖} = \frac{50\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3} = 2.5\ \mathrm{g/cm}^3$
茶壶所用紫砂材料的总质量：
$m_{材料} = m_盖 + m_{壶身} = 50\ \mathrm{g} + 180\ \mathrm{g} = 230\ \mathrm{g}$
则紫砂材料的总体积：
$V_{材料} = \frac{m_{材料}}{\rho_{紫砂}} = \frac{230\ \mathrm{g}}{2.5\ \mathrm{g/cm}^3} = 92\ \mathrm{cm}^3$
(2) 茶壶装满水后，水的质量为总质量减去壶身和壶盖的质量：
$m_{水} = m_{总} - m_{壶身} - m_{盖} = 420\ \mathrm{g} - 180\ \mathrm{g} - 50\ \mathrm{g} = 190\ \mathrm{g}$
茶壶的容积等于装满水时水的体积，根据密度公式变形：
$V_{壶} = V_{水} = \frac{m_{水}}{\rho_{水}} = \frac{190\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 190\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) $92\ \mathrm{cm}^3$；(2) $190\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
密度公式应用、体积计算
【点评】
本题是密度知识的实际应用，利用等效替代法（溢出水的体积等于物体体积）和质量拆分计算，考查学生对密度公式的灵活运用，解题关键是理清各部分质量、体积的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需利用密度公式及其变形，结合浸没时物体体积等于排开液体体积的特点，分两步计算：先通过茶壶盖的质量和溢出水的体积求出紫砂材料的密度，再计算紫砂材料的总体积；再通过总质量减去壶身和壶盖的质量得到水的质量，进而求出茶壶的容积。
【解析】
(1) 茶壶盖浸没在装满水的溢水杯中，根据浸没时物体体积等于排开液体体积，可得茶壶盖的体积：
$V_盖 = V_{溢水} = \frac{m_{溢水}}{\rho_{水}} = \frac{20\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 20\ \mathrm{cm}^3$
紫砂材料的密度：
$\rho_{紫砂} = \frac{m_盖}{V_盖} = \frac{50\ \mathrm{g}}{20\ \mathrm{cm}^3} = 2.5\ \mathrm{g/cm}^3$
茶壶所用紫砂材料的总质量：
$m_{材料} = m_盖 + m_{壶身} = 50\ \mathrm{g} + 180\ \mathrm{g} = 230\ \mathrm{g}$
则紫砂材料的总体积：
$V_{材料} = \frac{m_{材料}}{\rho_{紫砂}} = \frac{230\ \mathrm{g}}{2.5\ \mathrm{g/cm}^3} = 92\ \mathrm{cm}^3$
(2) 茶壶装满水后，水的质量为总质量减去壶身和壶盖的质量：
$m_{水} = m_{总} - m_{壶身} - m_{盖} = 420\ \mathrm{g} - 180\ \mathrm{g} - 50\ \mathrm{g} = 190\ \mathrm{g}$
茶壶的容积等于装满水时水的体积，根据密度公式变形：
$V_{壶} = V_{水} = \frac{m_{水}}{\rho_{水}} = \frac{190\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 190\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) $92\ \mathrm{cm}^3$；(2) $190\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
密度公式应用、体积计算
【点评】
本题是密度知识的实际应用，利用等效替代法（溢出水的体积等于物体体积）和质量拆分计算，考查学生对密度公式的灵活运用，解题关键是理清各部分质量、体积的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
12.造纸术是我国古代四大发明之一。它的发明引起了书写材料的一场革命，纸张至今仍是信息传递和保存的重要载体。某品牌打印纸封面标识如图所示，70 g/m² 的意思是一张面积为1 m² 的打印纸的质量是70 g，经测量该品牌打印纸每包总厚度为5 cm(外包装厚度不计)，则该品牌打印纸一张纸的厚度为
0.01
cm，该品牌打印纸的密度为0.7
g/cm³。答案
0.01 0.7
【解析】一张纸的厚度 $h=\frac{d}{n}=\frac{5\ \mathrm{cm}}{500}=0.01\ \mathrm{cm}$;$1\ \mathrm{m}^2$ 纸的体积 $V=Sh=1×10^4\ \mathrm{cm}^2×0.01\ \mathrm{cm}=100\ \mathrm{cm}^3$;由 $70\ \mathrm{g/m}^2$ 可知,$1\ \mathrm{m}^2$ 纸的质量 $m=70\ \mathrm{g}$,该品牌打印纸的密度 $\rho=\frac{m}{V}=\frac{70\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=0.7\ \mathrm{g/cm}^3$。
【解析】一张纸的厚度 $h=\frac{d}{n}=\frac{5\ \mathrm{cm}}{500}=0.01\ \mathrm{cm}$;$1\ \mathrm{m}^2$ 纸的体积 $V=Sh=1×10^4\ \mathrm{cm}^2×0.01\ \mathrm{cm}=100\ \mathrm{cm}^3$;由 $70\ \mathrm{g/m}^2$ 可知,$1\ \mathrm{m}^2$ 纸的质量 $m=70\ \mathrm{g}$,该品牌打印纸的密度 $\rho=\frac{m}{V}=\frac{70\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3}=0.7\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
要解决本题，需分两步：第一步利用累积法计算单张纸的厚度，即总厚度除以总张数；第二步根据密度公式计算纸的密度，需先完成面积单位换算，再结合单张纸厚度算出1m²纸的体积，最后用质量除以体积得到密度。
【解析】
1. 计算一张纸的厚度：已知500张纸总厚度为5cm，因此一张纸的厚度 $ h = \frac{\mathrm{总厚度}}{\mathrm{总张数}} = \frac{5\ \mathrm{cm}}{500} = 0.01\ \mathrm{cm} $。
2. 计算纸的密度：先换算面积单位，$ 1\ \mathrm{m}^2 = 10000\ \mathrm{cm}^2 $；1m²纸的体积 $ V = S × h = 10000\ \mathrm{cm}^2 × 0.01\ \mathrm{cm} = 100\ \mathrm{cm}^3 $；由题意知1m²纸的质量 $ m = 70\ \mathrm{g} $，根据密度公式 $ \rho = \frac{m}{V} $，可得密度 $ \rho = \frac{70\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3} = 0.7\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】
0.01；0.7
【知识点】
密度计算、长度测量（累积法）
【点评】
本题结合打印纸的实际参数，考查累积法测厚度和密度的计算，需注意单位换算，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需分两步：第一步利用累积法计算单张纸的厚度，即总厚度除以总张数；第二步根据密度公式计算纸的密度，需先完成面积单位换算，再结合单张纸厚度算出1m²纸的体积，最后用质量除以体积得到密度。
【解析】
1. 计算一张纸的厚度：已知500张纸总厚度为5cm，因此一张纸的厚度 $ h = \frac{\mathrm{总厚度}}{\mathrm{总张数}} = \frac{5\ \mathrm{cm}}{500} = 0.01\ \mathrm{cm} $。
2. 计算纸的密度：先换算面积单位，$ 1\ \mathrm{m}^2 = 10000\ \mathrm{cm}^2 $；1m²纸的体积 $ V = S × h = 10000\ \mathrm{cm}^2 × 0.01\ \mathrm{cm} = 100\ \mathrm{cm}^3 $；由题意知1m²纸的质量 $ m = 70\ \mathrm{g} $，根据密度公式 $ \rho = \frac{m}{V} $，可得密度 $ \rho = \frac{70\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3} = 0.7\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】
0.01；0.7
【知识点】
密度计算、长度测量（累积法）
【点评】
本题结合打印纸的实际参数，考查累积法测厚度和密度的计算，需注意单位换算，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
