14. 计算:
(1)$|-5| × |-2|$；
(2)$\left|-3\dfrac{1}{3}\right| × \left|-\dfrac{3}{4}\right|$；
(3)$\left|-\dfrac{1}{2}\right| + |-5| - \left|+\dfrac{1}{2}\right|$.

14. 解:(1)原式＝5×2＝10；(2)原式＝$\frac{10}{3}×\frac{3}{4}＝\frac{5}{2}$；(3)原式＝$\frac{1}{2}＋5－\frac{1}{2}＝5$。

【分析】
本题是绝对值相关的运算题，解题核心思路为先根据绝对值的性质化简所有绝对值符号，再按照有理数的四则运算法则计算即可。具体思考步骤：①首先回忆绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；②对每道小题中的绝对值逐一化简，得到对应的正数值；③再根据式子中的运算符号，分别做乘法或加减运算，计算最终结果，可观察式子特点灵活调整运算顺序简化计算。
【解析】
(1) 先化简绝对值：$|-5|=5$，$|-2|=2$，再计算乘法：
原式$=5×2=10$
(2) 先化简绝对值：$\left|-3\dfrac{1}{3}\right|=3\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$，$\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}$，再计算分数乘法：
原式$=\dfrac{10}{3}×\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{2}$
(3) 先化简绝对值：$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，$|-5|=5$，$\left|+\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，再做加减运算，可简便计算：
原式$=\dfrac{1}{2}+5-\dfrac{1}{2}=5$
【答案】
(1)$10$；(2)$\dfrac{5}{2}$；(3)$5$
【知识点】
绝对值的性质、有理数乘法运算、有理数加减运算
【点评】
本题属于绝对值运算的基础题型，重点考查绝对值化简规则的掌握程度，运算时需注意先化简绝对值再进行四则运算，遇到带分数运算时可先转化为假分数再计算，加减运算中可以观察式子特点用简便方法降低计算错误率。
【难度系数】
0.9

15.(教材$\boldsymbol{P_{14}}$习题$\boldsymbol{T_{8}}$变式)某工厂生产一批螺帽,根据产品质量要求:螺帽内径可以有0.02 mm的误差.抽查5只螺帽,超过规定内径的毫米数记作正数,不足的记作负数,检查结果如下表(单位:mm):

(1)指出哪些产品是合乎要求的；
(2)指出合乎要求的产品中哪个质量好一些.

15. 解:(1)编号为1,2,3的产品是合乎要求的；(2)因为|＋0.019|＝0.019，|－0.017|＝0.017，|＋0.013|＝0.013，0.013＜0.017＜0.019，所以编号为3的产品的质量好一些。

【分析】
解题思路如下：1. 先明确题意：螺帽内径允许0.02mm的误差，意思是内径实际值和规定值的偏差大小不超过0.02即可，也就是检查结果的绝对值≤0.02的产品为合格产品，据此可解决第一问。2. 产品质量越好，说明内径和规定值的偏差越小，即检查结果的绝对值越小，质量越好，据此比较合格产品的绝对值大小即可解决第二问。
【解析】
(1) 判断产品是否合乎要求的标准为：检查结果的绝对值≤0.02。
分别计算各检查结果的绝对值：
|+0.019|=0.019≤0.02，|-0.017|=0.017≤0.02，|+0.013|=0.013≤0.02，其余两个检查结果的绝对值大于0.02，因此编号为1、2、3的产品合乎要求。
(2) 合格产品中，检查结果的绝对值越小，说明和标准内径的偏差越小，质量越好。
比较三个合格产品的绝对值：0.013＜0.017＜0.019，因此编号为3的产品偏差最小，质量更好。
【答案】
(1) 编号为1,2,3的产品是合乎要求的；(2) 编号为3的产品的质量好一些。
【知识点】
正负数的实际意义，绝对值的性质，绝对值大小比较
【点评】
本题结合生产质检的实际场景考查绝对值的应用，解题核心是理解绝对值可以表示数值与标准值的偏差大小，掌握绝对值的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

16.已知$a,b,c$为有理数,且它们在数轴上的位置如图所示.

(1)试判断$a,b,c$的正负性；
(2)在数轴上标出$a,b,c$的相反数的位置；
(3)根据数轴化简:
①$|a|=$;②$|b|=$;
③$|c|=$;④$|-a|=$;
⑤$|-b|=$;⑥$|-c|=$;
(4)若$|a|=5.5,|b|=2.5,|c|=6.5$,求$a,b,c$的值.

16. 解:(1)由数轴，得a是负数，b是正数，c是正数；(2)如图所示；(3)①$-a$ ②$b$ ③$c$ ④$-a$ ⑤$b$ ⑥$c$ (4)因为$|a|＝5.5$，$|b|＝2.5$，$|c|＝6.5$，$a＜0＜b＜c$，所以$a＝－5.5$，$b＝2.5$，$c＝6.5$。

【分析】
解题时先结合数轴的基本特征判断数的正负性：数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数；再根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数在原点两侧，到原点的距离相等，即可标出三个数相反数的位置；然后利用绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，完成绝对值的化简；最后结合数的正负性和已知的绝对值大小，就能确定a、b、c的具体数值。
【解析】
(1)观察数轴可知，a在原点左侧，b、c在原点右侧，因此a为负数，b、c为正数。
(2)根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数到原点的距离相等，分别在原点两侧：在原点右侧找到与a到原点距离相等的点即为-a，在原点左侧分别找到与b、c到原点距离相等的点，即为-b、-c，对应位置标注即可。
(3)根据绝对值的性质化简：
①a是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$\vert a\vert=-a$；
②b是正数，正数的绝对值是它本身，因此$\vert b\vert=b$；
③c是正数，正数的绝对值是它本身，因此$\vert c\vert=c$；
④-a是正数，正数的绝对值是它本身，因此$\vert -a\vert=-a$；
⑤-b是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$\vert -b\vert=b$；
⑥-c是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$\vert -c\vert=c$。
(4)已知$\vert a\vert=5.5$，且a为负数，因此$a=-5.5$；$\vert b\vert=2.5$，且b为正数，因此$b=2.5$；$\vert c\vert=6.5$，且c为正数，因此$c=6.5$。
【答案】
(1)a是负数，b是正数，c是正数；
(2)在原点右侧与a对称处标-a，原点左侧分别与b、c对称处标-b、-c；
(3)①$-a$ ②$b$ ③$c$ ④$-a$ ⑤$b$ ⑥$c$
(4)$a=-5.5$，$b=2.5$，$c=6.5$
【知识点】
数轴的认识，绝对值的性质，相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念综合题，考查数轴、相反数、绝对值的相关知识，解题核心是通过数轴判断数的正负性，再结合绝对值的性质完成化简和求值，熟练掌握基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8

1. 下列式子中，一定是正数的是（）

A.$+m$
B.$-m$
C.$|m|$
D.$|m|+1$

1.D

【分析】
要判断哪个式子一定是正数，首先明确正数是大于0的数，结合m可以取任意有理数（正数、负数、0）的特点，利用绝对值的非负性（任意数的绝对值都是非负数，即$|m|\ge0$），逐个分析每个选项的取值范围，排除不符合“一定是正数”的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 当$m\le0$时，$+m\le0$，不是正数，例如$m=-1$时，$+m=-1$是负数，$m=0$时，$+m=0$，均不符合要求，故A错误；
B. 当$m\ge0$时，$-m\le0$，不是正数，例如$m=2$时，$-m=-2$是负数，$m=0$时，$-m=0$，均不符合要求，故B错误；
C. 根据绝对值的性质，$|m|\ge0$，当$m=0$时，$|m|=0$，0不是正数，故C错误；
D. 由绝对值的非负性可知$|m|\ge0$，因此$|m|+1\ge0+1=1＞0$，无论m取何值，该式都大于0，一定是正数，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 绝对值的非负性 2. 正数的定义
【点评】
本题是基础题，核心考查对绝对值非负性的理解与应用，解题时注意不要忽略0的特殊性，通过举反例排除错误选项是常用的解题技巧。
【难度系数】
0.8

2.若$|a|+|b|=0$，则$a$与$b$的关系是 （$\quad\quad\quad\quad$）

A.$a=b=0$
B.$ab=1$
C.$a$与$b$异号
D.$a$与$b$不相等

2.A

【分析】
解题时首先回忆绝对值的性质：任何有理数的绝对值都是非负数，即大于等于0。两个非负数相加的结果为0，说明两个数都不能是正数，否则和一定大于0，因此只能两个绝对值都等于0，进而推出a、b的取值，再对应选项判断即可。
【解析】
根据绝对值的非负性可知：$\vert a\vert≥0$，$\vert b\vert≥0$。
因为两个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0，所以可得$\vert a\vert=0$，$\vert b\vert=0$，解得$a=0$，$b=0$，即$a=b=0$。
逐一核对选项：
A选项符合结论；B选项$ab=0×0=0≠1$，错误；C选项a和b都是0，不属于异号，错误；D选项a和b都等于0，二者相等，错误。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 非负数求和性质
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，核心考点是“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的结论，掌握该结论即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9

【变式1】若$|a-1|$与$|b-2|$互为相反数，则$a+b$的相反数是。

【变式1】-3

【分析】
解题时首先根据互为相反数的两个数和为0，得到两个绝对值的和为0；再结合绝对值的非负性（任何数的绝对值都大于等于0）可知，两个非负数相加得0时，只有这两个非负数同时为0才成立，据此可求出a、b的值；最后计算a+b的结果，再求出它的相反数即可。
【解析】
解：
∵$|a-1|$与$|b-2|$互为相反数
∴$|a-1| + |b-2| = 0$
又
∵绝对值具有非负性，即$|a-1|≥0$，$|b-2|≥0$
∴只有$|a-1|=0$且$|b-2|=0$时，等式成立
即$a-1=0$，$b-2=0$
解得$a=1$，$b=2$
∴$a+b=1+2=3$
∴$a+b$的相反数是$-3$
【答案】
-3
【知识点】
相反数的性质；绝对值的非负性；相反数的求法
【点评】
本题是绝对值非负性的基础应用题型，解题核心是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律，熟练运用相反数相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【变式2】若$|x-2| + 2|y+3| + 3|z-5| = 0$，则$|x| + |y| - |z| =$

【变式2】0

【分析】
本题可根据绝对值的非负性求解。首先明确绝对值的性质：任意数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。当几个非负数的和为0时，这几个非负数的值都为0，据此我们可以先分别求出x、y、z的取值，再代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
根据绝对值的非负性可知：
|x-2|≥0，2|y+3|≥0，3|z-5|≥0
∵ 三个非负数的和为0，即|x-2| + 2|y+3| + 3|z-5| = 0
∴ 每一项都为0，可得：
x - 2 = 0，解得x=2
y + 3 = 0，解得y=-3
z - 5 = 0，解得z=5
将x=2，y=-3，z=5代入|x| + |y| - |z|得：
|2| + |-3| - |5| = 2 + 3 - 5 = 0
【答案】
0
【知识点】
绝对值的非负性；非负数和为0的性质；代数式求值
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题，解题核心是掌握“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律，计算过程简单，只要准确求出字母取值、正确计算绝对值即可得分。
【难度系数】
0.85

3. (1)当$x=$时，$|x-2024|$有最小值，这个最小值是；
(2)当$x=$时，$2024-|x-1|$有最大值，这个最大值是。

3.(1)2 024 0 (2)1 2 024

【分析】
本题核心用到绝对值的非负性：任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，最小值为0。
(1) 要使|x-2024|取最小值，只需让绝对值取到最小的0，即绝对值内的表达式x-2024=0即可；
(2) 式子2024-|x-1|是一个常数减去一个非负数，要让整个式子的值最大，就要让减去的绝对值尽可能小，最小的绝对值是0，因此让|x-1|=0即可求解。
【解析】
(1) 由绝对值的非负性可知|x-2024|≥0，因此当x-2024=0时，|x-2024|取得最小值，
解方程x-2024=0，得x=2024，此时最小值为0。
(2) 由绝对值的非负性可知|x-1|≥0，因此要使2024-|x-1|最大，需让|x-1|取最小值0，
当|x-1|=0时，x-1=0，解得x=1，此时式子的最大值为2024-0=2024。
【答案】
(1)2024，0；(2)1，2024
【知识点】
绝对值的非负性、代数式最值求解
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题，解题的关键是牢牢掌握绝对值的非负性，明确当绝对值内的表达式为0时，绝对值取最小值0，结合式子结构即可快速求出最值。
【难度系数】
0.8