1. 一题多变（教材尝试·思考改编）已知线段AB，延长AB至点C，使$BC=\frac{1}{3}AB$，D是线段AC的中点，若DC=2，则AB的长为（）

A.4
B.3
C.2
D.1

1. B 【解析】如解图,因为 D 为线段 AC 的中点，DC=2,所以 AC=2DC=4. 因为 $BC=\frac{1}{3}AB$,所以 $AC=AB+BC=\frac{4}{3}AB$,所以 $AB=\frac{3}{4}AC=\frac{3}{4}×4=3$.
第1题解图

(2025河南郑州枫杨外国语期末改编)已知点A,B,C在同一条直线上,D是AC的中点,已知AB=5,BC=3,则线段AD的长是.

变式1 1或4 【解析】如解图①,若点 C 在线段AB 的延长线上,则 $AC=AB+BC=5+3=8$,因为D 是 AC 的中点,所以 $AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$;如解图②,若点 C 在线段 AB 上,则 $AC=AB-BC=5-3=2$,因为 D 是 AC 的中点,所以 $AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2=1$.
综上,线段 AD 的长是 1 或 4.
变式1题解图

已知线段AB,延长AB至点C,D,E分别是线段AB,BC的中点,若AC=12,则线段DE的长为.

变式2 6 【解析】如解图,因为 D,E 分别是线段AB,BC 的中点,所以 $BD=\frac{1}{2}AB$,$BE=\frac{1}{2}BC$. 又因为AC=12,所以 $DE=BD+BE=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}AC=6$.
变式2题解图

2. 如图,已知A,B,C分别为数轴上的点,点A对应的数为-30,点B对应的数为50,线段BC=40.
(1)点C对应的数为;
(2)M,N是数轴上的动点,动点M从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿A→C→A路径向终点A运动;动点N从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿C→B路径运动(点M运动到终点时,M,N两点停止运动),设点M,N同时出发,点M的运动时间为t s.
①当t=5时,线段MN的长为;
②在整个运动过程中,当MC=NC时,求出t的值.

2. 解:(1)10;
(2)①25;
【解法提示】当 t=5 时,点 M 对应的数是 $-30+4×5=-10$,点 N 对应的数是 $10+1×5=15$,所以 $MN=|15-(-10)|=25$. 即当 t=5 时,线段 MN 的长为 25.
②当 $0≤ t≤ 10$ 时,点 M 对应的数是 $-30+4t$,则 $MC=10-(-30+4t)$,
点 N 对应的数是 $10+t$,
则 $NC=10+t-10$,
根据题意,得 $10-(-30+4t)=10+t-10$,
解得 $t=8$;
当 $10＜ t≤ 20$ 时,点 M 对应的数是 $10-4(t-10)=50-4t$,
则 $MC=10-(50-4t)$,
点 N 对应的数是 $10+t$,则 $NC=10+t-10$,
根据题意,得 $10-(50-4t)=10+t-10$,
解得 $t=\frac{40}{3}$.
综上,当 $MC=NC$ 时,t 的值为 8 或 $\frac{40}{3}$.

3. (教材复习题改编)如图,将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起.
(1)如图①,∠ACB与∠DCE的数量关系为;
(2)如图②,若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A重合在一起,则∠DAB与∠CAE的数量关系为.

图①
图②

3. (1) $∠ ACB = 180° - ∠ DCE$; 【解析】由题图可得$∠ ACD=90°$,$∠ BCD=90°-∠ DCE$,所以 $∠ ACB = ∠ ACD+∠ BCD=90°+90°-∠ DCE=180°-∠ DCE$.
(2) $∠ DAB = 120° - ∠ CAE$. 【解析】由题图可得$∠ DAC=60°$,$∠ BAC=∠ BAE-∠ CAE=60°-∠ CAE$,所以 $∠ DAB = ∠ DAC+∠ BAC=60°+60°-∠ CAE=120°-∠ CAE$.

4. (2025 陕西西安曲江一中期中)如图,将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE,BF折叠,使边AB,CB均落在BD上,得到折痕BE,BF,则∠EBF的度数为.

4. $45°$ 【解析】由折叠性质,得 $∠ DBF=\frac{1}{2}∠ CBD$,$∠ DBE = \frac{1}{2}∠ ABD$, 所以 $∠ EBF = \frac{1}{2}∠ CBD + \frac{1}{2}∠ ABD=\frac{1}{2}(∠ CBD+∠ ABD)=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×90°=45°$.

5. (教材随堂练习改编)将∠AOB和∠COD的顶点重合,已知∠AOB=2∠COD,OE平分∠AOD.
(1)如图①,OC平分∠BOE,若∠BOD=20°,∠AOD=80°,求∠BOC的度数;
(2)如图①,猜想∠BOD和∠COE的数量关系,并说明理由;
(3)将图①中∠COD绕点O旋转至图②所示位置,其他条件不变,(2)中的关系是否还成立?若成立,请说明理由;若不成立,写出你的猜想.

5. 解:(1)因为 $∠ BOD=20°$,$∠ AOD=80°$,
所以 $∠ AOB = ∠ AOD-∠ BOD=60°$.
因为 $∠ AOB=2∠ COD$,
所以 $∠ COD=30°$,
所以 $∠ BOC=∠ COD-∠ BOD=10°$;
(2) $∠ BOD=2∠ COE$. 理由如下:
因为 $∠ BOD = ∠ AOD-∠ AOB = ∠ AOD-2∠ COD$,
$∠ COD=∠ EOD-∠ COE$,
所以 $∠ BOD=∠ AOD-2(∠ EOD-∠ COE)$.
因为 OE 平分 $∠ AOD$,
所以 $2∠ EOD=∠ AOD$,
所以 $∠ BOD=2∠ COE$;
(3)(2)中关系不一定成立,猜想: $∠ BOD = 360°-2∠ COE$.
因为 $∠ AOD = 360° - ∠ AOB - ∠ BOD$, OE 平分 $∠ AOD$,
所以 $2∠ DOE=∠ AOD$,
所以 $2∠ DOE=360°-∠ AOB-∠ BOD$,
所以 $2(∠ COE-∠ COD)=360°-∠ AOB-∠ BOD$,
所以 $2∠ COE-2∠ COD=360°-∠ AOB-∠ BOD$,
因为 $∠ AOB=2∠ COD$,
所以 $2∠ COE-2∠ COD=360°-2∠ COD-∠ BOD$,
整理,得 $∠ BOD=360°-2∠ COE$,
当 $2∠ COE=180°$ 时, $∠ BOD=2∠ COE$ 成立,
所以(2)中的关系不一定成立.