4. 如图，P是∠AOB的边OB上一点.
（1）过点P分别画边OA和OB的垂线.
（2）发现：过点P画边OA的垂线，有条；过点P画边OB的垂线，有条；结论的依据是.

解：
（1）作图方法：将三角板的一条直角边与边OA重合，平移三角板使三角板的另一条直角边经过点P，沿该直角边画出直线，即为过点P垂直于OA的垂线；将三角板的一条直角边与边OB重合，使三角板的直角顶点与点P重合，沿三角板的另一条直角边画出直线，即为过点P垂直于OB的垂线，所作两条垂线均标注直角符号。
（2）1；1；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

5. 如图，点O在直线AB上，$∠ BOC=100°$，OM平分$∠ AOC$.
(1) 求$∠ AOM$的度数；
(2) 若$ON⊥ OM$，垂足为O，求$∠ BON$的度数.

解：
(1) 因为点O在直线AB上，所以∠AOB=180°，即∠AOC + ∠BOC = 180°。
已知∠BOC=100°，则∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 100° = 80°。
因为OM平分∠AOC，所以∠AOM = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}×80° = 40°$。
(2) 因为ON⊥OM，所以∠MON=90°。
可得∠AOM + ∠BON = 180° - ∠MON = 90°。
由(1)知∠AOM=40°，所以∠BON = 90° - ∠AOM = 90° - 40° = 50°。

6. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分$∠ BOD$.
（1）当$∠ AOC=54°$时，求$∠ BOE$的度数；
（2）过点O作$OF⊥ OE$，若$∠ DOF=4∠ DOE$，求$∠ AOF$的度数.

解：
(1) 因为直线AB与CD相交于点O，
所以∠BOD = ∠AOC = 54°（对顶角相等）。
因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2} × 54° = 27°$。
(2) 因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE = ∠DOE。
设∠DOE = $x$，则∠BOE = $x$，∠DOF = $4∠DOE = 4x$。
因为$OF ⊥ OE$，所以∠EOF = 90°，
由∠DOF = ∠DOE + ∠EOF，得$4x = x + 90°$，
解得$x = 30°$，
所以∠BOE = 30°，
所以∠BOF = ∠EOF - ∠BOE = $90° - 30° = 60°$。
因为点O在直线AB上，∠AOF + ∠BOF = 180°，
所以∠AOF = $180° - 60° = 120°$。
答：(1) ∠BOE的度数为$27°$；(2) ∠AOF的度数为$120°$。

7. 直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB.
(1) 如图①，若∠AOC＝30°，求∠AOE的度数；
(2) 如图②，若OF⊥CD，垂足为O，射线OF在∠BOE的内部，并且∠EOF与∠BOF度数之比为1：2时，求∠EOF的度数.

解：
(1) ∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴ ∠AOC + ∠COB = 180°，
∵ ∠AOC = 30°，
∴ ∠COB = 180° - 30° = 150°，
∵ OE平分∠COB，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠COB = 75°，
∴ ∠AOE = ∠AOC + ∠COE = 30° + 75° = 105°。
(2) 设∠EOF = x，
∵ ∠EOF与∠BOF度数之比为1:2，
∴ ∠BOF = 2x，
∴ ∠BOE = ∠EOF + ∠BOF = 3x，
∵ OE平分∠COB，
∴ ∠COE = ∠BOE = 3x，
∵ OF⊥CD，垂足为O，
∴ ∠COF = 90°，
又∵ ∠COF = ∠COE + ∠EOF，
∴ 3x + x = 90°，
解得x = 22.5°，
即∠EOF = 22.5°。