1.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$∠ C=40°$，则$∠ AOB$的大小是。

$\boldsymbol{110°}$

【分析】
首先，看到$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，可知点$O$是$△ ABC$的内心，即三角形三个内角的角平分线的交点，因此$AO$平分$∠ BAC$、$BO$平分$∠ ABC$。已知$∠ C$的度数，可先通过三角形内角和求出$∠ BAC$与$∠ ABC$的和，再结合角平分线的性质求出$∠ OAB$与$∠ OBA$的和，最后再次利用三角形内角和即可求出$∠ AOB$的度数。
【解析】
解：$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，
$\therefore O$是$△ ABC$的内心，即$AO$平分$∠ BAC$，$BO$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ OAB = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ OBA = \frac{1}{2}∠ ABC$，
$\because$在$△ ABC$中，$∠ C=40°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ ABC = 180° - ∠ C = 180° - 40° = 140°$，
$\therefore ∠ OAB + ∠ OBA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2}×140° = 70°$，
$\because$在$△ AOB$中，$∠ AOB + ∠ OAB + ∠ OBA = 180°$，
$\therefore ∠ AOB = 180° - (∠ OAB + ∠ OBA) = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
三角形内心的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是明确三角形内切圆的圆心（内心）是内角角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可推导得出结果，也可直接记住结论“三角形中两个内角的角平分线的夹角等于$90°$加第三个内角度数的一半”快速作答。
【难度系数】
0.8

2. $△ ABC$ 的内切圆$\odot O$与$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，若$AD=2$，$△ ABC$的周长为14，则$BC$的长为。

$\boldsymbol{5}$

【分析】
本题可根据三角形内切圆的切线长定理解题。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。由此可将三角形的三边拆分为若干组相等的切线长，再结合已知的周长和AD的长度，建立关于BC的等式求解即可。
【解析】
根据切线长定理可得：
从点A引的两条切线：$AD=AF=2$，
从点B引的两条切线：$BD=BE$，
从点C引的两条切线：$CE=CF$。
$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC$，将各边拆分：
$AB=AD+BD$，$BC=BE+CE$，$AC=AF+CF$，
因此周长$C_{△ ABC}=AD+BD+BE+CE+CF+AF$，
代入相等的切线长替换得：
$C_{△ ABC}=2AD + 2BE + 2CE=2AD + 2(BE+CE)=2AD + 2BC$。
已知$C_{△ ABC}=14$，$AD=2$，代入得：
$14=2×2 + 2BC$，
解得$2BC=10$，即$BC=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质；三角形周长计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，核心考查切线长定理的应用，解题的关键是利用切线长相等的性质，将三角形周长转化为已知线段与待求线段的关系表达式，整体计算量小，掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3.如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，若$AB=4$，$BC=9$，$CA=7$，则$AB+CE$的值为。

$\boldsymbol{10}$

【分析】
本题考查三角形内切圆相关计算，解题关键是运用切线长定理。首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以设$AF=AE=x$，$BF=BD=y$，$CD=CE=z$，结合$△ ABC$三边的长度列出三个方程，再通过方程计算出$CE$的长度，最后代入$AB+CE$即可得到结果，也可以先计算三角形的半周长快速推导$CE$的长度。
【解析】
根据切线长定理：从三角形顶点引内切圆的两条切线长度相等，因此
设$AF=AE=x$，$BF=BD=y$，$CD=CE=z$，
由题意得：
$\begin{cases}x+y=AB=4 \quad ①\\y+z=BC=9 \quad ②\\x+z=AC=7 \quad ③\end{cases}$
将①+②+③得：$2(x+y+z)=4+9+7=20$，
解得$x+y+z=10$，
用该式减去①式可得：$z=10-(x+y)=10-4=6$，即$CE=6$，
因此$AB+CE=4+6=10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，核心是利用切线长相等的性质建立边长关系，通过设未知数列方程或者利用半周长公式都能快速求解，掌握切线长定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7

4.如图,在△ABC中,∠C=90°,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F.
(1)连接OA,OB,则∠AOB=;
(2)若BD=6,AD=4,求⊙O的半径r.

(1) $\boldsymbol{135°}$；(2) $\boldsymbol{r=2}$

【分析】
(1) 求解∠AOB：三角形内切圆的圆心是内角角平分线的交点，因此OA、OB分别平分∠CAB和∠CBA。结合△ABC中∠C=90°，先求出两个锐角和的一半，再利用三角形内角和即可计算∠AOB的度数。
(2) 求半径r：首先根据切线长定理得到各切线段的等量关系，再由内切圆的性质和∠C=90°证明四边形OECF是正方形，将△ABC的三边用含r的式子表示，最后在直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠CBA。
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-90°=90°，
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$(∠CAB+∠CBA)=45°，
∴∠AOB=180°-45°=135°。
(2) 根据切线长定理可得：BE=BD=6，AF=AD=4，EC=FC=r。
∵OE⊥BC，OF⊥AC，∠C=90°，且OE=OF=r，
∴四边形OECF是正方形，
∴BC=BE+EC=6+r，AC=AF+FC=4+r，AB=AD+BD=10。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$(4+r)^2+(6+r)^2=10^2$
展开整理得：$r^2+10r-24=0$
解得$r_1=2$，$r_2=-12$（半径为正，舍去）
∴⊙O的半径r为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{135°}$；(2) $\boldsymbol{r=2}$
【知识点】
三角形内切圆性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，解题核心是掌握内心的性质和切线长定理，结合勾股定理列方程求内切圆半径是这类题型的常用解法，掌握对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.7

5.如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOA＝130°，则∠BIA的度数为。第5题图 第6题图

$\boldsymbol{122.5°}$

【分析】
解题时先利用三角形外心的性质结合圆周角定理，由已知的圆心角∠BOA求出∠C的度数；再根据三角形内角和求出∠CAB与∠CBA的度数和；接着利用三角形内心是角平分线交点的性质，求出∠IAB与∠IBA的度数和；最后再用三角形内角和即可计算出∠BIA的度数。
【解析】
1. 求∠C的度数：
∵点O是△ABC的外心，∠BOA是弧AB对应的圆心角，∠C是弧AB对应的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ BOA=\frac{1}{2}×130°=65°$
2. 求∠CAB+∠CBA的度数：
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ CAB+∠ CBA=180°-∠ C=180°-65°=115°$
3. 求∠IAB+∠IBA的度数：
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA
∴$∠ IAB=\frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ IBA=\frac{1}{2}∠ CBA$
∴$∠ IAB+∠ IBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=\frac{1}{2}×115°=57.5°$
4. 求∠BIA的度数：
在△ABI中，由三角形内角和为180°得：
$∠ BIA=180°-(∠ IAB+∠ IBA)=180°-57.5°=122.5°$
【答案】
$\boldsymbol{122.5°}$
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形相关性质的基础综合题，解题核心是区分外心和内心的不同性质，结合角度计算的基本定理逐步推导即可，掌握相关的性质结论能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7

6.如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，点I为$△ ABC$的内心，若$∠ BIO=2∠ AIO$，$IO=1$，则AO的长是。

$\boldsymbol{\sqrt{5}}$

【分析】
解题思路如下：1. 先利用直径所对圆周角为直角，得∠ACB=90°；2. 结合三角形内心是角平分线交点的性质，计算出∠AIB的度数，再根据∠BIO=2∠AIO的条件，求出∠AIO=45°、∠BIO=90°；3. 通过角度推导得到三角形相似关系，求出BI的长度；4. 在直角△BIO中用勾股定理计算OB的长度，即得到AO的长度。
【解析】
解：
1.
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB + ∠CBA = 90°。
2.
∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，设∠CAI=∠BAI=α，∠CBI=∠ABI=β，
∴2α+2β=90°，即α+β=45°。
3. 在△AIB中，∠AIB=180°-(α+β)=135°，又
∵∠BIO=2∠AIO，且∠AIO+∠BIO=∠AIB=135°，解得∠AIO=45°，∠BIO=90°，即△BIO是直角三角形。
4. 通过角度推导可证△AIO∽△ABI（两角对应相等，三角形相似），得对应边成比例：$\frac{OI}{BI}=\frac{AO}{AB}=\frac{1}{2}$（AB=2AO），已知IO=1，
∴BI=2OI=2。
5. 在Rt△BIO中，由勾股定理得：$BO^2=BI^2 + IO^2=2^2+1^2=5$，
∴$BO=\sqrt{5}$，又
∵AO=BO，
∴$AO=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的性质、三角形内心的特点和勾股定理的应用，解题的关键是利用角度关系得到特殊角，结合相似和直角三角形性质求解，对角度推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.3