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7.如图,在$6×6$的正方形网格中,有部分网格线被擦去.点$A$,$B$,$C$在格点(正方形网格的交点)上.
(1)请用无刻度的直尺在图1中找到三角形$ABC$的外心$P$;
(2)请用无刻度的直尺在图2中找到三角形$ABC$的内心$Q$.
(1)请用无刻度的直尺在图1中找到三角形$ABC$的外心$P$;
(2)请用无刻度的直尺在图2中找到三角形$ABC$的内心$Q$.
答案
解：
(1) 利用网格特征，作线段AB的垂直平分线，再作线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的△ABC的外心P。
(2) 由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，△ABC的内切圆半径$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$，利用网格特征作出△ABC的两条内角平分线，两条内角平分线的交点即为所求的△ABC的内心Q。
(1) 利用网格特征，作线段AB的垂直平分线，再作线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的△ABC的外心P。
(2) 由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，△ABC的内切圆半径$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$，利用网格特征作出△ABC的两条内角平分线，两条内角平分线的交点即为所求的△ABC的内心Q。
解析
【分析】
(1) 三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。解题时先利用网格的横竖特征，分别作出AB、BC两条边的垂直平分线，两条线的交点就是外心P。
(2) 三角形内心是三角形内角平分线的交点，到三边距离相等。首先判断△ABC是直角三角形，先用勾股定理求出斜边AC的长度，再计算出直角三角形内切圆半径，明确内心到各边的距离，最后结合网格特征作出两条内角平分线，交点就是内心Q。
【解析】
(1) ① AB是水平线段，长度为3，取AB中点，过中点作竖直直线，即为AB的垂直平分线；
② BC是竖直线段，长度为4，取BC中点，过中点作水平直线，即为BC的垂直平分线；
③ 两条垂直平分线的交点就是△ABC的外心P。
(2) ① 由图可知∠B=90°，根据勾股定理计算斜边AC：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
② 直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{直角边和-斜边}{2}$，代入数据得$r=\frac{3+4-5}{2}=1$，即内心到△ABC三边的距离均为1；
③ 作出∠B的角平分线，再作出∠A（或∠C）的角平分线，两条角平分线的交点就是△ABC的内心Q。
【答案】
(1) 利用网格特征，作线段AB的垂直平分线，再作线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的△ABC的外心P。
(2) 由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，△ABC的内切圆半径$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$，利用网格特征作出△ABC的两条内角平分线，两条内角平分线的交点即为所求的△ABC的内心Q。
【知识点】
外心的定义；内心的定义；勾股定理
【点评】
本题结合网格考查三角形外心、内心的作图，需要熟练掌握外心、内心的基本性质，结合直角三角形的特殊性质辅助求解，能够很好地检验对几何基础概念的理解和动手作图能力。
【难度系数】
0.6
(1) 三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。解题时先利用网格的横竖特征，分别作出AB、BC两条边的垂直平分线，两条线的交点就是外心P。
(2) 三角形内心是三角形内角平分线的交点，到三边距离相等。首先判断△ABC是直角三角形，先用勾股定理求出斜边AC的长度，再计算出直角三角形内切圆半径，明确内心到各边的距离，最后结合网格特征作出两条内角平分线，交点就是内心Q。
【解析】
(1) ① AB是水平线段，长度为3，取AB中点，过中点作竖直直线，即为AB的垂直平分线；
② BC是竖直线段，长度为4，取BC中点，过中点作水平直线，即为BC的垂直平分线；
③ 两条垂直平分线的交点就是△ABC的外心P。
(2) ① 由图可知∠B=90°，根据勾股定理计算斜边AC：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
② 直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{直角边和-斜边}{2}$，代入数据得$r=\frac{3+4-5}{2}=1$，即内心到△ABC三边的距离均为1；
③ 作出∠B的角平分线，再作出∠A（或∠C）的角平分线，两条角平分线的交点就是△ABC的内心Q。
【答案】
(1) 利用网格特征，作线段AB的垂直平分线，再作线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的△ABC的外心P。
(2) 由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，△ABC的内切圆半径$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$，利用网格特征作出△ABC的两条内角平分线，两条内角平分线的交点即为所求的△ABC的内心Q。
【知识点】
外心的定义；内心的定义；勾股定理
【点评】
本题结合网格考查三角形外心、内心的作图，需要熟练掌握外心、内心的基本性质，结合直角三角形的特殊性质辅助求解，能够很好地检验对几何基础概念的理解和动手作图能力。
【难度系数】
0.6
8.圆O是△ABC的内切圆，其中AB=7，BC=5，AC=8，则其内切圆的半径为.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
解析
【分析】
要求三角形内切圆半径，我们可以采用面积法求解：三角形的面积等于$\frac{1}{2}$乘以三角形周长乘以内切圆半径$r$，因此只需先求出$△ ABC$的面积和周长，代入公式即可算出$r$。已知三角形三边长度，我们可以通过作高，利用勾股定理求出高的长度，进而计算出三角形面积。
【解析】
1. 计算$△ ABC$的周长：$C=AB+BC+AC=7+5+8=20$
2. 过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，设$BD=x$，则$DC=BC-BD=5-x$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD^2=AB^2-BD^2=7^2-x^2$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2=AC^2-DC^2=8^2-(5-x)^2$
联立等式得：$49-x^2=64-(25-10x+x^2)$
化简解得：$x=1$
因此高$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{7^2-1^2}=4\sqrt{3}$
3. 计算$△ ABC$的面积：$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×5×4\sqrt{3}=10\sqrt{3}$
4. 根据内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}Cr$，代入数据：
$10\sqrt{3}=\frac{1}{2}×20× r$，解得$r=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
三角形内切圆半径公式；勾股定理的应用；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础典型题，解题核心是掌握面积法求内切圆半径的思路，结合勾股定理求出三角形面积后代入公式即可求解，是该考点的常规考法。
【难度系数】
0.7
要求三角形内切圆半径，我们可以采用面积法求解：三角形的面积等于$\frac{1}{2}$乘以三角形周长乘以内切圆半径$r$，因此只需先求出$△ ABC$的面积和周长，代入公式即可算出$r$。已知三角形三边长度，我们可以通过作高，利用勾股定理求出高的长度，进而计算出三角形面积。
【解析】
1. 计算$△ ABC$的周长：$C=AB+BC+AC=7+5+8=20$
2. 过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，设$BD=x$，则$DC=BC-BD=5-x$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD^2=AB^2-BD^2=7^2-x^2$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD^2=AC^2-DC^2=8^2-(5-x)^2$
联立等式得：$49-x^2=64-(25-10x+x^2)$
化简解得：$x=1$
因此高$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{7^2-1^2}=4\sqrt{3}$
3. 计算$△ ABC$的面积：$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×5×4\sqrt{3}=10\sqrt{3}$
4. 根据内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}Cr$，代入数据：
$10\sqrt{3}=\frac{1}{2}×20× r$，解得$r=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
三角形内切圆半径公式；勾股定理的应用；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础典型题，解题核心是掌握面积法求内切圆半径的思路，结合勾股定理求出三角形面积后代入公式即可求解，是该考点的常规考法。
【难度系数】
0.7
9. 如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA,OI.若∠CAI=37°,则∠OBC的度数为.
答案
$\boldsymbol{16°}$
解析
【分析】
解题时先从已知的角和内心性质入手：①点I是△ABC的内心，说明AI是∠BAC的角平分线，可由∠CAI的度数求出∠BAC的度数；②点O是△ABC的外接圆圆心，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出∠BOC的度数；③OB和OC都是外接圆半径，△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：
1. 因为点I是△ABC的内心，内心为三角形内角平分线的交点，所以AI平分∠BAC，因此$∠ BAC=2∠ CAI=2×37°=74°$。
2. 因为点O是△ABC外接圆的圆心，根据圆周角定理，同弧$BC$所对的圆心角$∠ BOC$是圆周角$∠ BAC$的2倍，所以$∠ BOC=2∠ BAC=2×74°=148°$。
3. 因为$OB=OC$（都是外接圆的半径），所以$△ OBC$是等腰三角形，$∠ OBC=∠ OCB$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-148°}{2}=16°$
【答案】
$\boldsymbol{16°}$
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题，解题关键是熟练掌握三角形内心、外心的相关性质，结合圆周角定理和等腰三角形的性质逐步推导即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的角和内心性质入手：①点I是△ABC的内心，说明AI是∠BAC的角平分线，可由∠CAI的度数求出∠BAC的度数；②点O是△ABC的外接圆圆心，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出∠BOC的度数；③OB和OC都是外接圆半径，△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：
1. 因为点I是△ABC的内心，内心为三角形内角平分线的交点，所以AI平分∠BAC，因此$∠ BAC=2∠ CAI=2×37°=74°$。
2. 因为点O是△ABC外接圆的圆心，根据圆周角定理，同弧$BC$所对的圆心角$∠ BOC$是圆周角$∠ BAC$的2倍，所以$∠ BOC=2∠ BAC=2×74°=148°$。
3. 因为$OB=OC$（都是外接圆的半径），所以$△ OBC$是等腰三角形，$∠ OBC=∠ OCB$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OBC=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-148°}{2}=16°$
【答案】
$\boldsymbol{16°}$
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题，解题关键是熟练掌握三角形内心、外心的相关性质，结合圆周角定理和等腰三角形的性质逐步推导即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$CD$是边$AB$上的高，$\odot E$，$\odot F$分别是$△ ACD$，$△ BCD$的内切圆，连接$EF$，则$EF$的长是________。
答案
$\boldsymbol{\sqrt{2}}$
解析
【分析】
解题时先从已知的Rt△ABC入手，先利用勾股定理求斜边AB的长度，再用面积法求出斜边上的高CD，接着计算出AD、BD的长度。由于△ACD和△BCD都是直角三角形，可利用直角三角形内切圆半径公式分别算出两个内切圆的半径r₁、r₂。为了求EF的长度，我们可以建立平面直角坐标系，将点D作为原点，AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，根据内切圆圆心到直角边的距离等于半径，写出两个圆心E、F的坐标，最后利用两点间距离公式计算EF的长度即可。
【解析】
1. 计算Rt△ABC的相关边长
∵ ∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2+4^2}=5$
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} AC· BC = \frac{1}{2} AB· CD$，代入得：
$3×4 = 5· CD$，解得 $CD = \frac{12}{5}$
由勾股定理，在Rt△ACD中$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$，则$BD=AB-AD=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$。
2. 计算两个内切圆的半径
直角三角形内切圆半径公式为 $r = \frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边）：
对于Rt△ACD，$r_1 = \frac{AD + CD - AC}{2} = \frac{\frac{9}{5} + \frac{12}{5} - 3}{2} = \frac{3}{5}$
对于Rt△BCD，$r_2 = \frac{BD + CD - BC}{2} = \frac{\frac{16}{5} + \frac{12}{5} - 4}{2} = \frac{4}{5}$
3. 求EF的长度
以D为原点，AB为x轴，CD为y轴建立坐标系：
⊙E的圆心E到x轴、y轴距离均为$r_1$，在第二象限，故$E(-\frac{3}{5},\frac{3}{5})$；
⊙F的圆心F到x轴、y轴距离均为$r_2$，在第一象限，故$F(\frac{4}{5},\frac{4}{5})$。
由两点间距离公式：
$EF = \sqrt{(\frac{4}{5}-(-\frac{3}{5}))^2 + (\frac{4}{5}-\frac{3}{5})^2} = \sqrt{(\frac{7}{5})^2 + (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{50}{25}} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 直角三角形内切圆性质；2. 勾股定理；3. 两点间距离公式
【点评】
本题综合考查了直角三角形和三角形内切圆的相关性质，通过建立坐标系将几何问题转化为代数计算，思路清晰直观，解题关键是正确求出两个内切圆的半径、确定圆心的坐标。
【难度系数】
0.4
解题时先从已知的Rt△ABC入手，先利用勾股定理求斜边AB的长度，再用面积法求出斜边上的高CD，接着计算出AD、BD的长度。由于△ACD和△BCD都是直角三角形，可利用直角三角形内切圆半径公式分别算出两个内切圆的半径r₁、r₂。为了求EF的长度，我们可以建立平面直角坐标系，将点D作为原点，AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，根据内切圆圆心到直角边的距离等于半径，写出两个圆心E、F的坐标，最后利用两点间距离公式计算EF的长度即可。
【解析】
1. 计算Rt△ABC的相关边长
∵ ∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2+4^2}=5$
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} AC· BC = \frac{1}{2} AB· CD$，代入得：
$3×4 = 5· CD$，解得 $CD = \frac{12}{5}$
由勾股定理，在Rt△ACD中$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$，则$BD=AB-AD=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$。
2. 计算两个内切圆的半径
直角三角形内切圆半径公式为 $r = \frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边）：
对于Rt△ACD，$r_1 = \frac{AD + CD - AC}{2} = \frac{\frac{9}{5} + \frac{12}{5} - 3}{2} = \frac{3}{5}$
对于Rt△BCD，$r_2 = \frac{BD + CD - BC}{2} = \frac{\frac{16}{5} + \frac{12}{5} - 4}{2} = \frac{4}{5}$
3. 求EF的长度
以D为原点，AB为x轴，CD为y轴建立坐标系：
⊙E的圆心E到x轴、y轴距离均为$r_1$，在第二象限，故$E(-\frac{3}{5},\frac{3}{5})$；
⊙F的圆心F到x轴、y轴距离均为$r_2$，在第一象限，故$F(\frac{4}{5},\frac{4}{5})$。
由两点间距离公式：
$EF = \sqrt{(\frac{4}{5}-(-\frac{3}{5}))^2 + (\frac{4}{5}-\frac{3}{5})^2} = \sqrt{(\frac{7}{5})^2 + (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{50}{25}} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 直角三角形内切圆性质；2. 勾股定理；3. 两点间距离公式
【点评】
本题综合考查了直角三角形和三角形内切圆的相关性质，通过建立坐标系将几何问题转化为代数计算，思路清晰直观，解题关键是正确求出两个内切圆的半径、确定圆心的坐标。
【难度系数】
0.4
11.如图，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$BC=4$，$I$是$△ ABC$的内心，连接$BI$，$CI$并延长分别交$AC$，$AB$于点$D$，$E$，设$CD=x$，$BE=y$，则$y$与$x$之间的关系式为________.
答案
$\boldsymbol{y=4-x}$
解析
【分析】
首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此BI平分∠ABC，CI平分∠ACB。已知∠A=60°，可先计算出∠BIC的度数，得到∠BIE=∠CID=60°。接下来采用截长补短法，在BC上截取BF=BE=y，先证明△BEI和△BFI全等，得到∠BIF=60°，进而推出∠FIC=60°，再证明△CFI和△CDI全等，得到CF=CD=x，最后结合BC=BF+CF=4即可推出y与x的关系式。
【解析】
解：
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即∠EBI=∠FBI，∠DCI=∠FCI。
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=120°，
∴∠BIE=∠CID=180°-∠BIC=60°。
在BC边上截取BF=BE=y，连接IF，
在△BEI和△BFI中：
$\{\begin{array}{l} BE=BF\\ ∠ EBI=∠ FBI\\ BI=BI\end{array} $
∴△BEI≌△BFI（SAS），
∴∠BIF=∠BIE=60°，
∴∠FIC=∠BIC-∠BIF=120°-60°=60°，即∠FIC=∠CID=60°。
在△CFI和△CDI中：
$\{\begin{array}{l} ∠ FIC=∠ DIC\\ CI=CI\\ ∠ FCI=∠ DCI\end{array} $
∴△CFI≌△CDI（ASA），
∴CF=CD=x。
∵BC=BF+CF=4，
∴x+y=4，整理得y=4-x。
【答案】
$\boldsymbol{y=4-x}$
【知识点】
三角形内心的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是利用三角形内心得到角平分线，通过截长补短法构造全等三角形，将已知的线段BC、CD、BE建立等量关系，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此BI平分∠ABC，CI平分∠ACB。已知∠A=60°，可先计算出∠BIC的度数，得到∠BIE=∠CID=60°。接下来采用截长补短法，在BC上截取BF=BE=y，先证明△BEI和△BFI全等，得到∠BIF=60°，进而推出∠FIC=60°，再证明△CFI和△CDI全等，得到CF=CD=x，最后结合BC=BF+CF=4即可推出y与x的关系式。
【解析】
解：
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即∠EBI=∠FBI，∠DCI=∠FCI。
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=60°，
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=120°，
∴∠BIE=∠CID=180°-∠BIC=60°。
在BC边上截取BF=BE=y，连接IF，
在△BEI和△BFI中：
$\{\begin{array}{l} BE=BF\\ ∠ EBI=∠ FBI\\ BI=BI\end{array} $
∴△BEI≌△BFI（SAS），
∴∠BIF=∠BIE=60°，
∴∠FIC=∠BIC-∠BIF=120°-60°=60°，即∠FIC=∠CID=60°。
在△CFI和△CDI中：
$\{\begin{array}{l} ∠ FIC=∠ DIC\\ CI=CI\\ ∠ FCI=∠ DCI\end{array} $
∴△CFI≌△CDI（ASA），
∴CF=CD=x。
∵BC=BF+CF=4，
∴x+y=4，整理得y=4-x。
【答案】
$\boldsymbol{y=4-x}$
【知识点】
三角形内心的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是利用三角形内心得到角平分线，通过截长补短法构造全等三角形，将已知的线段BC、CD、BE建立等量关系，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
12.如图，$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$.
（1）请作出$△ ABC$的内切圆圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）设（1）中作出的$\odot O$与边$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，$BC=8$，$AC=6$，则$∠ AOB=\_\_\_\_\_\_°$，$BD=\_\_\_\_\_\_$.
（1）请作出$△ ABC$的内切圆圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）设（1）中作出的$\odot O$与边$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，$BC=8$，$AC=6$，则$∠ AOB=\_\_\_\_\_\_°$，$BD=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$∠ AOB=\boldsymbol{135}°$，$BD=\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
（1）三角形内切圆的圆心是三角形三个内角角平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为所求的内切圆圆心O。
（2）求∠AOB时，先利用内心的性质：内心是三角形角平分线的交点，可得OA、OB分别平分∠CAB、∠CBA，结合∠C=90°可推出∠OAB+∠OBA的度数，再利用三角形内角和即可求出∠AOB；求BD时，先用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据切线长定理，设未知数建立方程组求解即可得到BD的长度。
【解析】
（1）作图：分别作∠BAC和∠ABC的角平分线，两条角平分线的交点即为△ABC的内切圆圆心O，保留作图痕迹即可。
（2）①求∠AOB的度数：
∵点O是△ABC的内切圆圆心，
∴OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∴∠OAB=½∠CAB，∠OBA=½∠CBA，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-90°=90°，
∴∠OAB+∠OBA=½(∠CAB+∠CBA)=½×90°=45°，
在△AOB中，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-45°=135°。
②求BD的长度：
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$，
∵⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，根据切线长定理可得：
$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$，
设$BD=x$，$AD=y$，$CE=z$，可列方程组：
$\begin{cases} x+y=AB=10 \\ x+z=BC=8 \\ y+z=AC=6 \end{cases}$
将三个方程相加得：$2(x+y+z)=24$，即$x+y+z=12$，
则$x=12-(y+z)=12-6=6$，即$BD=6$。
【答案】
135；6
【知识点】
三角形的内心与内切圆；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形内切圆的相关性质，解题的关键是掌握内心的定义和切线长定理的应用，属于基础常考题型，计算难度不大，需要熟练掌握相关性质快速解题。
【难度系数】
0.7
（1）三角形内切圆的圆心是三角形三个内角角平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两个内角的角平分线，两条角平分线的交点即为所求的内切圆圆心O。
（2）求∠AOB时，先利用内心的性质：内心是三角形角平分线的交点，可得OA、OB分别平分∠CAB、∠CBA，结合∠C=90°可推出∠OAB+∠OBA的度数，再利用三角形内角和即可求出∠AOB；求BD时，先用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据切线长定理，设未知数建立方程组求解即可得到BD的长度。
【解析】
（1）作图：分别作∠BAC和∠ABC的角平分线，两条角平分线的交点即为△ABC的内切圆圆心O，保留作图痕迹即可。
（2）①求∠AOB的度数：
∵点O是△ABC的内切圆圆心，
∴OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∴∠OAB=½∠CAB，∠OBA=½∠CBA，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=180°-90°=90°，
∴∠OAB+∠OBA=½(∠CAB+∠CBA)=½×90°=45°，
在△AOB中，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-45°=135°。
②求BD的长度：
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$，
∵⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，根据切线长定理可得：
$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$，
设$BD=x$，$AD=y$，$CE=z$，可列方程组：
$\begin{cases} x+y=AB=10 \\ x+z=BC=8 \\ y+z=AC=6 \end{cases}$
将三个方程相加得：$2(x+y+z)=24$，即$x+y+z=12$，
则$x=12-(y+z)=12-6=6$，即$BD=6$。
【答案】
135；6
【知识点】
三角形的内心与内切圆；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形内切圆的相关性质，解题的关键是掌握内心的定义和切线长定理的应用，属于基础常考题型，计算难度不大，需要熟练掌握相关性质快速解题。
【难度系数】
0.7
