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4. 如图①，半圆形广场的直径AB为12 m，圆心O的正上方有一盏路灯，小明站在A处，此时他的影长AC为2 m。
（1）若小明沿着圆弧从A走到B，则他的影子扫过的面积是。
A. $2π \ \mathrm{m}^2$
B. $14π \ \mathrm{m}^2$
C. $18π \ \mathrm{m}^2$
D. $28π \ \mathrm{m}^2$
（2）若小明沿着直径从A走到B，在图②中画出他的影长与行走路程之间的关系的图象。
（1）若小明沿着圆弧从A走到B，则他的影子扫过的面积是。
A. $2π \ \mathrm{m}^2$
B. $14π \ \mathrm{m}^2$
C. $18π \ \mathrm{m}^2$
D. $28π \ \mathrm{m}^2$
（2）若小明沿着直径从A走到B，在图②中画出他的影长与行走路程之间的关系的图象。
答案
解：
(1) 设路灯位置为点P，$PO ⊥ AB$于点O，小明身高为$a$，路灯高度$PO=h$。
由题意得$OA=OB=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$，小明站在A处时，身高与PO平行，由相似三角形性质得：
$\frac{a}{h}=\frac{AC}{OC}=\frac{AC}{OA+AC}=\frac{2}{6+2}=\frac{1}{4}$
小明沿圆弧运动时，到圆心O的距离恒为6 m，设任意时刻小明的位置为M，对应影长为$l$，同理可得：
$\frac{a}{h}=\frac{l}{l+OM}$
代入$OM=6$，$\frac{a}{h}=\frac{1}{4}$，解得$l=2\ \mathrm{m}$。
因此影子端点到O点的距离恒为$6+2=8\ \mathrm{m}$，影子扫过的图形为半圆环，外半径8 m，内半径6 m，其面积为：
$S=\frac{1}{2}×π×(8^2-6^2)=14π\ \mathrm{m}^2$
故选B。
(2) 设小明行走的路程为$x\ \mathrm{m}$，影长为$y\ \mathrm{m}$：
当$0≤ x≤6$时，小明距离点O的距离为$(6-x)\ \mathrm{m}$，代入相似关系得$\frac{1}{4}=\frac{y}{y+6-x}$，解得$y=-\frac{1}{3}x+2$；
当$6＜x≤12$时，小明距离点O的距离为$(x-6)\ \mathrm{m}$，代入相似关系得$\frac{1}{4}=\frac{y}{y+x-6}$，解得$y=\frac{1}{3}x-2$。
在坐标系中依次连接点$(0,2)$、$(6,0)$、$(12,2)$，得到两条线段，即为影长与行走路程的关系图象。
(图象绘制说明：第一段从横坐标0纵坐标2的点直线下降到横坐标6纵坐标0的点，第二段从横坐标6纵坐标0的点直线上升到横坐标12纵坐标2的点)
(1) 设路灯位置为点P，$PO ⊥ AB$于点O，小明身高为$a$，路灯高度$PO=h$。
由题意得$OA=OB=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$，小明站在A处时，身高与PO平行，由相似三角形性质得：
$\frac{a}{h}=\frac{AC}{OC}=\frac{AC}{OA+AC}=\frac{2}{6+2}=\frac{1}{4}$
小明沿圆弧运动时，到圆心O的距离恒为6 m，设任意时刻小明的位置为M，对应影长为$l$，同理可得：
$\frac{a}{h}=\frac{l}{l+OM}$
代入$OM=6$，$\frac{a}{h}=\frac{1}{4}$，解得$l=2\ \mathrm{m}$。
因此影子端点到O点的距离恒为$6+2=8\ \mathrm{m}$，影子扫过的图形为半圆环，外半径8 m，内半径6 m，其面积为：
$S=\frac{1}{2}×π×(8^2-6^2)=14π\ \mathrm{m}^2$
故选B。
(2) 设小明行走的路程为$x\ \mathrm{m}$，影长为$y\ \mathrm{m}$：
当$0≤ x≤6$时，小明距离点O的距离为$(6-x)\ \mathrm{m}$，代入相似关系得$\frac{1}{4}=\frac{y}{y+6-x}$，解得$y=-\frac{1}{3}x+2$；
当$6＜x≤12$时，小明距离点O的距离为$(x-6)\ \mathrm{m}$，代入相似关系得$\frac{1}{4}=\frac{y}{y+x-6}$，解得$y=\frac{1}{3}x-2$。
在坐标系中依次连接点$(0,2)$、$(6,0)$、$(12,2)$，得到两条线段，即为影长与行走路程的关系图象。
(图象绘制说明：第一段从横坐标0纵坐标2的点直线下降到横坐标6纵坐标0的点，第二段从横坐标6纵坐标0的点直线上升到横坐标12纵坐标2的点)
解析
【分析】
（1）解决第一问首先利用相似三角形的性质，由小明在A点的影长求出小明身高与路灯高度的比值；再分析小明沿圆弧行走时，到圆心O的距离始终等于半圆半径6m，再次利用相似三角形得出此时影长为定值，判断出影子扫过的图形是半圆环，最后用半圆环面积公式计算即可。
（2）解决第二问需要分两段讨论：①小明从A走到O的过程（路程$0≤x≤6$），②小明从O走到B的过程（路程$6＜x≤12$），分别设出行走路程x和影长y，结合相似三角形的比例关系推导出y与x的函数关系式，再根据一次函数的性质绘制对应图象即可。
【解析】
(1) 设路灯位置为点P，$PO ⊥ AB$于点O，小明身高为$a$，路灯高度$PO=h$。
由题意得半圆半径$OA=OB=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$，小明身高与PO平行，由相似三角形性质得：
$\frac{a}{h}=\frac{AC}{OC}=\frac{AC}{OA+AC}=\frac{2}{6+2}=\frac{1}{4}$
当小明沿圆弧运动时，任意位置M到圆心O的距离恒为$OM=6\ \mathrm{m}$，设此时影长为$l$，同理可得相似关系$\frac{a}{h}=\frac{l}{l+OM}$，代入$\frac{a}{h}=\frac{1}{4}$、$OM=6$，解得$l=2\ \mathrm{m}$。
因此影子端点到O点的距离恒为$6+2=8\ \mathrm{m}$，影子扫过的图形为外半径8m、内半径6m的半圆环，面积为：
$S=\frac{1}{2}×π×(8^2-6^2)=14π\ \mathrm{m}^2$
故选B。
(2) 设小明行走的路程为$x\ \mathrm{m}$，影长为$y\ \mathrm{m}$：
①当$0≤ x≤6$时，小明距离O点的距离为$(6-x)\ \mathrm{m}$，代入相似比例$\frac{1}{4}=\frac{y}{y+6-x}$，解得$y=-\frac{1}{3}x+2$；
②当$6＜x≤12$时，小明距离O点的距离为$(x-6)\ \mathrm{m}$，代入相似比例$\frac{1}{4}=\frac{y}{y+x-6}$，解得$y=\frac{1}{3}x-2$。
根据函数解析式，在坐标系中依次连接点$(0,2)$、$(6,0)$、$(12,2)$，得到的两条线段即为所求图象。
【答案】
(1) $\boxed{B}$
(2) 图象为依次连接$(0,2)$、$(6,0)$、$(12,2)$的两条线段：第一段从$(0,2)$直线下降到$(6,0)$，第二段从$(6,0)$直线上升到$(12,2)$。
【知识点】
相似三角形应用，一次函数应用，圆环面积计算
【点评】
本题将几何相似、函数关系与实际生活中的影子问题结合，需要学生结合运动过程分情况分析，能有效考察将实际问题转化为数学模型的能力，同时注重对分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.6
（1）解决第一问首先利用相似三角形的性质，由小明在A点的影长求出小明身高与路灯高度的比值；再分析小明沿圆弧行走时，到圆心O的距离始终等于半圆半径6m，再次利用相似三角形得出此时影长为定值，判断出影子扫过的图形是半圆环，最后用半圆环面积公式计算即可。
（2）解决第二问需要分两段讨论：①小明从A走到O的过程（路程$0≤x≤6$），②小明从O走到B的过程（路程$6＜x≤12$），分别设出行走路程x和影长y，结合相似三角形的比例关系推导出y与x的函数关系式，再根据一次函数的性质绘制对应图象即可。
【解析】
(1) 设路灯位置为点P，$PO ⊥ AB$于点O，小明身高为$a$，路灯高度$PO=h$。
由题意得半圆半径$OA=OB=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$，小明身高与PO平行，由相似三角形性质得：
$\frac{a}{h}=\frac{AC}{OC}=\frac{AC}{OA+AC}=\frac{2}{6+2}=\frac{1}{4}$
当小明沿圆弧运动时，任意位置M到圆心O的距离恒为$OM=6\ \mathrm{m}$，设此时影长为$l$，同理可得相似关系$\frac{a}{h}=\frac{l}{l+OM}$，代入$\frac{a}{h}=\frac{1}{4}$、$OM=6$，解得$l=2\ \mathrm{m}$。
因此影子端点到O点的距离恒为$6+2=8\ \mathrm{m}$，影子扫过的图形为外半径8m、内半径6m的半圆环，面积为：
$S=\frac{1}{2}×π×(8^2-6^2)=14π\ \mathrm{m}^2$
故选B。
(2) 设小明行走的路程为$x\ \mathrm{m}$，影长为$y\ \mathrm{m}$：
①当$0≤ x≤6$时，小明距离O点的距离为$(6-x)\ \mathrm{m}$，代入相似比例$\frac{1}{4}=\frac{y}{y+6-x}$，解得$y=-\frac{1}{3}x+2$；
②当$6＜x≤12$时，小明距离O点的距离为$(x-6)\ \mathrm{m}$，代入相似比例$\frac{1}{4}=\frac{y}{y+x-6}$，解得$y=\frac{1}{3}x-2$。
根据函数解析式，在坐标系中依次连接点$(0,2)$、$(6,0)$、$(12,2)$，得到的两条线段即为所求图象。
【答案】
(1) $\boxed{B}$
(2) 图象为依次连接$(0,2)$、$(6,0)$、$(12,2)$的两条线段：第一段从$(0,2)$直线下降到$(6,0)$，第二段从$(6,0)$直线上升到$(12,2)$。
【知识点】
相似三角形应用，一次函数应用，圆环面积计算
【点评】
本题将几何相似、函数关系与实际生活中的影子问题结合，需要学生结合运动过程分情况分析，能有效考察将实际问题转化为数学模型的能力，同时注重对分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.6
5. 用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根,显示器显示的输入结果随输入数的变化而变化.设输入数为$x$,输入结果为$y$,程序如图所示.
(1) 写出$y$关于$x$的函数表达式,指出自变量的取值范围.
(2) 根据函数表达式,填写下表.
(3) 利用这些数值尝试画出这个函数的图象.
(1) 写出$y$关于$x$的函数表达式,指出自变量的取值范围.
(2) 根据函数表达式,填写下表.
(3) 利用这些数值尝试画出这个函数的图象.
答案
解：
(1) $y$关于$x$的函数表达式为$\boldsymbol{y=\sqrt{x}}$，
自变量的取值范围是$\boldsymbol{x≥0}$。
(2) 将对应$x$值代入函数表达式计算，表格中$y$行从左到右依次填写：$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{4}$。
(3) 在平面直角坐标系中，描出点$(0,0)$、$(1,1)$、$(4,2)$、$(9,3)$、$(16,4)$，用平滑的曲线顺次连接这些点，得到从原点出发、在第一象限内逐渐上升的曲线，即为该函数的图象。
(1) $y$关于$x$的函数表达式为$\boldsymbol{y=\sqrt{x}}$，
自变量的取值范围是$\boldsymbol{x≥0}$。
(2) 将对应$x$值代入函数表达式计算，表格中$y$行从左到右依次填写：$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{4}$。
(3) 在平面直角坐标系中，描出点$(0,0)$、$(1,1)$、$(4,2)$、$(9,3)$、$(16,4)$，用平滑的曲线顺次连接这些点，得到从原点出发、在第一象限内逐渐上升的曲线，即为该函数的图象。
解析
【分析】
1. 针对第(1)问：根据题目给出的程序规则，输出结果是输入数的算术平方根，结合算术平方根的定义即可写出函数表达式；再根据算术平方根有意义的条件，被开方数不能为负数，即可确定自变量的取值范围。
2. 针对第(2)问：函数的列表法需要对应自变量的取值求函数值，只需将表格中给出的x值依次代入第(1)问得到的函数表达式，计算出对应的y值即可完成填写。
3. 针对第(3)问：画函数图象遵循“列表、描点、连线”的基本步骤，先将第(2)问得到的(x,y)作为坐标在平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线顺次连接所有点，注意自变量x≥0，图象仅在第一象限及原点处存在。
【解析】
(1) 由程序规则可知，y是x的算术平方根，因此y关于x的函数表达式为$y=\sqrt{x}$；因为负数没有算术平方根，所以自变量x的取值范围是$x≥0$。
(2) 将各x值代入$y=\sqrt{x}$计算：
当x=0时，$y=\sqrt{0}=0$；当x=1时，$y=\sqrt{1}=1$；当x=4时，$y=\sqrt{4}=2$；当x=9时，$y=\sqrt{9}=3$；当x=16时，$y=\sqrt{16}=4$。
因此表格中y行从左到右依次填写：0，1，2，3，4。
(3) 先建立平面直角坐标系，描出点$(0,0)$、$(1,1)$、$(4,2)$、$(9,3)$、$(16,4)$，再用平滑的曲线顺次连接这些点，得到的从原点出发、在第一象限内逐渐上升的曲线即为该函数的图象。
【答案】
(1) 函数表达式为$\boldsymbol{y=\sqrt{x}}$，自变量取值范围是$\boldsymbol{x≥0}$；
(2) 表格y行从左到右依次为$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{4}$；
(3) 描出点$(0,0)$、$(1,1)$、$(4,2)$、$(9,3)$、$(16,4)$，用平滑曲线顺次连接得到从原点出发、第一象限内逐渐上升的曲线。
【知识点】
算术平方根概念，函数表达式书写，函数图象画法
【点评】
本题结合算术平方根的基础知识点，考察了函数表达式的推导、自变量取值范围的确定、函数的列表法与图象法表示，侧重对基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.8
1. 针对第(1)问：根据题目给出的程序规则，输出结果是输入数的算术平方根，结合算术平方根的定义即可写出函数表达式；再根据算术平方根有意义的条件，被开方数不能为负数，即可确定自变量的取值范围。
2. 针对第(2)问：函数的列表法需要对应自变量的取值求函数值，只需将表格中给出的x值依次代入第(1)问得到的函数表达式，计算出对应的y值即可完成填写。
3. 针对第(3)问：画函数图象遵循“列表、描点、连线”的基本步骤，先将第(2)问得到的(x,y)作为坐标在平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线顺次连接所有点，注意自变量x≥0，图象仅在第一象限及原点处存在。
【解析】
(1) 由程序规则可知，y是x的算术平方根，因此y关于x的函数表达式为$y=\sqrt{x}$；因为负数没有算术平方根，所以自变量x的取值范围是$x≥0$。
(2) 将各x值代入$y=\sqrt{x}$计算：
当x=0时，$y=\sqrt{0}=0$；当x=1时，$y=\sqrt{1}=1$；当x=4时，$y=\sqrt{4}=2$；当x=9时，$y=\sqrt{9}=3$；当x=16时，$y=\sqrt{16}=4$。
因此表格中y行从左到右依次填写：0，1，2，3，4。
(3) 先建立平面直角坐标系，描出点$(0,0)$、$(1,1)$、$(4,2)$、$(9,3)$、$(16,4)$，再用平滑的曲线顺次连接这些点，得到的从原点出发、在第一象限内逐渐上升的曲线即为该函数的图象。
【答案】
(1) 函数表达式为$\boldsymbol{y=\sqrt{x}}$，自变量取值范围是$\boldsymbol{x≥0}$；
(2) 表格y行从左到右依次为$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{4}$；
(3) 描出点$(0,0)$、$(1,1)$、$(4,2)$、$(9,3)$、$(16,4)$，用平滑曲线顺次连接得到从原点出发、第一象限内逐渐上升的曲线。
【知识点】
算术平方根概念，函数表达式书写，函数图象画法
【点评】
本题结合算术平方根的基础知识点，考察了函数表达式的推导、自变量取值范围的确定、函数的列表法与图象法表示，侧重对基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.8
