1. 小颖用计算器探索方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根$x=-3.4$，则方程的另一个近似根为(精确到0.1) ()


A.$x=4.4$
B.$x=3.4$
C.$x=2.4$
D.$x=1.4$

1. D 解析:
∵ 抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 x 轴的一个交点为(-3.4,0),且抛物线的对称轴为直线 x = -1,
∴ 抛物线与 x轴的另一个交点为(1.4,0),则方程的另一个近似根为 x=1.4,故选 D.

2.（2026·青岛期中）根据下列表格中的对应值：

由此可判断方程$ax^2+bx-14=0$必有一个解$x$满足
（）

A.$-1＜x＜1$
B.$1＜x＜1.1$
C.$1.1＜x＜1.2$
D.$-0.59＜x＜0.84$

2. B 解析: $ax^2 + bx - 14 = 0$,即 $ax^2 + bx - 15 + 1 = 0$,可得如下表格：
| x | -1 | 1 | 1.1 | 1.2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $ax^2+bx-15$ | -26 | -2 | -0.59 | 0.84 |
| $ax^2+bx-14$ | -25 | -1 | 0.41 | 1.84 |
∵ 当 x = 1 时,$ax^2+bx-14=-1＜0$;当 x = 1.1 时,$ax^2+bx-14=0.41＞0$,
∴ 方程 $ax^2+bx-14=0$ 必有一个解 x 满足 1＜x＜1.1。故选 B.

3. (2025·深圳二模)综合与实践
【问题情境】
求方程$x^2+12x-15=0$的解，就是求二次函数$y=x^2+12x-15$的图象与$x$轴交点的横坐标.
为了估计这个方程的解，小亮取了自变量$x$的4个值，再分别算出相应的$y$值，列表得：

小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为$x$，即$1＜x＜2$.
进一步取值，得到下表：

得出结论：$1.1＜x＜1.2$.
【操作判断】
(1)若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a＞0)$在实数范围内有两个解$x_1,x_2$(其中$x_1＜x_2$).根据下列表格：

你能得出的大致范围(填“$x_1$”或“$x_2$”)；请你写出这个解的取值范围：.
【实践探究】
已知二次函数$y=x^2-(3+n)x+3n+4$($n$为常数)的图象与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$左侧).
(2)若仅有一个交点的横坐标$x$满足$5＜x＜6$，求出$n$的取值范围.
(3)不论$n$为何值，二次函数$y=x^2-(3+n)x+3n+4$必过定点$E$.
①求$E$点坐标；
②连接$AE,BE$，若$∠ AEB=45°$，请求出$n$的值.

3. (1)$x_2$ $1.5＜x_2＜2$ 解析:
∵ a＞0,
∴ 图象开口向上,
∴ 根据表格数据能得出 $x_2$ 的大致范围,取值范围为 $1.5＜x_2＜2$.
(2)当 x = 5 时,y = -2n+14;当 x = 6 时,y = -3n+22.
∵ 仅有一个交点的横坐标 x 满足 5 ＜ x ＜ 6,
∴ $\begin{cases} -2n+14＜0, \\ -3n+22＞0 \end{cases}$ ① 或 $\begin{cases} -2n+14＞0, \\ -3n+22＜0 \end{cases}$ ②,解①得 $7＜n＜\frac{22}{3}$;解②得无解.综上,n 的取值范围为 $7＜n＜\frac{22}{3}$.
(3)①将函数变形为 $y=(3-x)n+x^2-3x+4$.当 x = 3 时,不论 n 取何值,y 恒等于 4,故 E 点的坐标为(3,4).
②如图,过点 A 作 AD⊥AE 交 BE 于点 D.由∠AEB=45°可得△AED 为等腰直角三角形,
∴ EA = AD.分别过点 E,点 D 向 x 轴作垂线,垂足分别为点 H,点 F,
∴ ∠EHA = ∠EAD = ∠AFD = 90°,
∴ ∠EAH = 90°-∠DAF = ∠ADF,
∴ △EHA≌△AFD(AAS).设 A(x₁,0),B(x₂,0),由题意可知,$x_1＜x_2$,$E(3,4)$,
∴ EH = AF = 4,HA = DF = x₁ - 3,BF = x₂ - x₁ - 4.
∵ ∠DBF = ∠EBH,∠DFB = ∠EHB,
∴ △BDF∽△BEH,
∴ $\frac{DF}{EH}=\frac{BF}{BH}$,即 $\frac{x_1-3}{4}=\frac{x_2-x_1-4}{x_2-3}$,整理得:$4(x_2-x_1)=x_1·x_2-3(x_1+x_2)+25$(★).对于函数 $y=x^2-(3+n)x+3n+4$,令 y=0,得到方程 $x^2-(3+n)x+3n+4=0$,方程的判别式 $\Delta=(n+3)^2-4(3n+4)=n^2-6n-7$,据题意,$\Delta＞0$.由求根公式,得 $x_1=\frac{n+3-\sqrt{n^2-6n-7}}{2}$,$x_2=\frac{n+3+\sqrt{n^2-6n-7}}{2}$,代入(★)式,得 $n^2-6n-32=0$,求得 $n=3±\sqrt{41}$,此时满足 $\Delta＞0$.故 $n=3±\sqrt{41}$.