1. (2026·郑州期中)如图,矩形ABCD中,点P,Q分别从点A,C出发,沿AB,CD以每秒1个单位长度的速度向点B,D运动,两点到达B,D两点时停止运动,已知AD=12,AB=18.设运动时间为t秒.
(1)当四边形DAPQ为矩形时,t=秒;
当四边形DPBQ为菱形时,t=秒;
(2)当以PQ为对角线的正方形面积是矩形ABCD的面积的一半时,直接写出此时t的值.

1.(1)9 5 解析:根据题意得CQ=AP=t,
∵四边形ABCD是矩形,AD=12,AB=18,
∴AD=BC=12,AB=CD=18,
∴DQ=18-t,当DQ=AP时,四边形DAPQ为矩形,
∴18-t=t,解得t=9;
∵四边形DPBQ为菱形,
∴DQ=BQ=18-t,
∵BC²+CQ²=BQ²,
∴12²+t²=(18-t)²,解得t=5.
(2)t=9-3√2或t=9+3√2. 解析:过点Q作QM⊥AB,所示,可得四边形CBMQ为矩形,
∴QM=CB=12,QC=MB=t,
∴PM=AB-AP-BM=18-2t.
∵PQ²=PM²+QM²,
∴PQ²=(18-2t)²+12².
∵以PQ为对角线的正方形面积是矩形ABCD的面积的一半,
∴1/2 PQ²=1/2 ×12×18,即12×18=(18-2t)²+12²,解得t₁=9-3√2,t₂=9+3√2.

2. 如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD=16,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.

(1)对角线AC的长是,菱形ABCD的面积是.
(2)如图①,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否会发生变化?请说明理由.
(3)如图②,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否会发生变化?若不变,请说明理由;若变化,请探究OE,OF之间的数量关系,并说明理由.

2.(1)12 96 解析:,连接AC,AC与BD相交于点G.在菱形ABCD中,AC⊥BD,BG=1/2 BD=1/2 ×16=8,由勾股定理得AG=√(10²-8²)=6,
∴AC=2AG=2×6=12,菱形ABCD的面积=1/2 AC·BD=1/2 ×12×16=96.
(2)不会发生变化.理由如下:①,连接AO,则S△ABD = S△ABO+S△ADO,
∴1/2 BD·AG=1/2 AB·OE+1/2 AD·OF,即1/2 ×16×6=1/2 ×10·OE+1/2 ×10·OF,解得OE+OF=9.6,是定值,不会发生变化.
(3)OE+OF的值会发生变化.理由如下:②,连接AO,AC,AC与BD相交于点G,S△ABD = S△ABO - S△ADO,
∴1/2 BD·AG=1/2 AB·OE - 1/2 AD·OF,即1/2 ×16×6=1/2 ×10·OE - 1/2 ×10·OF,解得OE-OF=9.6,是定值,不变,
∴OE+OF的值会发生变化,
∴OE,OF之间的数量关系为OE-OF=9.6.

3. 如图,在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.

(1)如图①,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF之间的关系,并说明理由.
(2)如图②,当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请直接作答,不需证明)
(3)如图③,当点E自C向D,点F自B向C,分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

3.(1)AE=DF,AE⊥DF.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.
∵动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动,
∴DE=CF.在△ADE和△DCF中,
∵AD=DC,∠ADC=∠C,DE=CF,
∴△ADE≌△DCF,
∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.
∵∠CDF+∠ADF=90°,
∴∠DAE+∠ADF=90°,
∴∠APD=90°,
∴AE⊥DF.
(2)成立. 解析:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADC=∠DCF=90°.
∵动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动,
∴DE=CF.在△ADE和△DCF中,
∵AD=DC,∠ADC=∠DCF,DE=CF,
∴△ADE≌△DCF,
∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.
∵∠CDF+∠ADF=90°,
∴∠DAE+∠ADF=90°,
∴AE⊥DF.
(3)成立.理由如下:同(1)得AE=DF,∠DAE=∠CDF,延长FD交AE于点G,所示,则∠CDF+∠ADG=90°,
∴∠ADG+∠DAE=90°,
∴∠AGD=90°,
∴AE⊥DF.