3.「★☆」综合与实践
在一次数学活动课上,同学们研究菱形的旋转问题.将菱形ABCD绕点A顺时针旋转,得到菱形AEFG.
【观察思考】
(1)如图1,若FG与BC交于点H,则线段BH与线段GH的数量关系为.
【探究证明】
(2)如图2,当点G在菱形ABCD内部时,∠DAG的平分线与射线BG交于点P,连接PD.
①判断线段PD与PG的数量关系,并说明理由.
②若∠BAD=α,请求出∠APB的度数.(用含α的式子表示)

(1)如图,连接BG,

∵ 将菱形ABCD绕点A顺时针旋转,得到菱形AEFG,
∴ AB=AD=AG,∠AGF=∠D=∠ABC,
∴ ∠AGB=∠ABG,
∴ ∠HGB=∠HBG,
∴ BH=GH,故答案为BH=GH.
(2)①PD=PG.理由如下:
∵ AP平分∠DAG,
∴ ∠DAP=∠GAP,
∵ 将菱形ABCD绕点A顺时针旋转,得到菱形AEFG,
∴ AD=AG,
在△DAP和△GAP中,$\begin{cases} AP=AP, \\ ∠DAP=∠GAP, \\ AD=AG, \end{cases}$
∴ △DAP≌△GAP(SAS),
∴ PD=PG.
②设∠BAG=β,
∵ ∠BAD=α,
∴ ∠DAG=α-β,
∵ AP平分∠DAG,
∴ ∠PAG=$\frac{α-β}{2}$,
∵ AB=AG,
∴ ∠ABG=∠AGB=$\frac{180°-∠BAG}{2}$=$\frac{180°-β}{2}$,
∴ ∠APB=∠AGB-∠PAG=$\frac{180°-β}{2}$-$\frac{α-β}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$.