11.若$(2a^m b^{m+n})^3 = 8a^9 b^{15}$，则$m,n$的值分别为（）

A.3,9
B.6,2
C.2,5
D.3,2

11.D

【分析】
解题时先利用积的乘方、幂的乘方的运算法则化简等式左侧的代数式，再根据两个相等的单项式中相同字母的指数对应相等，列出关于m、n的方程，解方程即可求出m、n的取值。
【解析】
先化简等式左边的式子：
根据积的乘方法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得$(2a^m b^{m+n})^3=2^3 · (a^m)^3 · (b^{m+n})^3$
再根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，进一步化简得：
$2^3 · (a^m)^3 · (b^{m+n})^3=8a^{3m}b^{3(m+n)}$
已知化简后等式为$8a^{3m}b^{3(m+n)}=8a^9 b^{15}$，等式两边相同字母的指数对应相等，可列方程：
① 对于字母a的指数：$3m=9$，解得$m=3$
② 对于字母b的指数：$3(m+n)=15$，将$m=3$代入得$3×(3+n)=15$，化简得$3+n=5$，解得$n=2$
因此$m=3,n=2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；单项式相等的条件
【点评】
本题是幂的运算的常规基础题，核心考查对幂的运算法则的掌握程度，只要熟练掌握相关运算法则，通过指数对应相等建立方程即可求解，是幂运算章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

12.已知$m,n$均为正整数，且$2m+3n=5$，则$4^m · 8^n =$（）

A.16
B.25
C.32
D.64

12.C

【分析】
解题时首先观察所求式子的底数4和8均为2的幂，因此先利用幂的乘方性质将原式转化为同底数幂相乘的形式，再根据同底数幂的乘法法则合并指数，最后将已知条件2m+3n=5整体代入计算即可，不需要单独求解m、n的数值。
【解析】
解：
∵4=2²，8=2³
∴根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）可得：
$4^m=(2^2)^m=2^{2m}$，$8^n=(2^3)^n=2^{3n}$
根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）可得：
$4^m·8^n=2^{2m}·2^{3n}=2^{2m+3n}$
将已知$2m+3n=5$代入上式得：
原式$=2^5=32$
故选C
【答案】C
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算法则的综合应用，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，再结合已知条件整体代入计算，避免了单独求解参数的繁琐，同时也可结合m、n为正整数的限制直接求出m、n的值后代入计算，是幂的运算部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7

13. (1)若$ x,y $均为有理数，$ 43^x = 2023,47^y = 2023 $，则$ 43^{xy} · 47^{xy} = (\_\_\_\_\_\_)^{x+y} $；
(2)已知$ n $是正整数，且$ x^{3n}=2 $，则$ (3x^{3n})^2 + (-2x^{2n})^3 $的值是________。

13.(1)2023 (2)4

【分析】
(1) 求解本题需结合幂的相关运算法则思考：首先观察待求式左边$43^{xy}·47^{xy}$，可先利用幂的乘方逆运算，将$43^{xy}$变形为$(43^x)^y$、$47^{xy}$变形为$(47^y)^x$，再代入已知的$43^x=2023$、$47^y=2023$，最后用同底数幂乘法法则合并指数，即可匹配右侧$( )^{x+y}$的形式得到底数。
(2) 第二题先利用积的乘方、幂的乘方法则对待求式展开化简，注意到$x^{6n}=(x^{3n})^2$，无需单独求$x$的值，将已知$x^{3n}=2$整体代入计算即可，更简便。
【解析】
(1) 对$43^{xy}·47^{xy}$变形：
根据幂的乘方逆运算$a^{mn}=(a^m)^n$，可得$43^{xy}=(43^x)^y$，$47^{xy}=(47^y)^x$。
代入已知$43^x=2023$，$47^y=2023$，则原式$=2023^y · 2023^x$。
根据同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，得$2023^y ·2023^x=2023^{x+y}$，因此括号内填2023。
(2) 先化简待求式：
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$展开：
$(3x^{3n})^2=3^2·(x^{3n})^2=9(x^{3n})^2$，$(-2x^{2n})^3=(-2)^3·(x^{2n})^3=-8x^{6n}$。
由幂的乘方法则得$x^{6n}=(x^{3n})^2$，将$x^{3n}=2$代入：
原式$=9×2^2 -8×2^2=9×4-8×4=36-32=4$。
【答案】
(1)2023；(2)4
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂乘法
【点评】
这两道题核心考查幂的运算法则的正用与逆用，解题时要注意观察待求式和已知条件的关联，灵活选用整体代入法简化计算，熟练掌握各类幂运算公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8

14.已知$A=(2xy^2)^3 - x^3(y^3)^2$，$B=5x^3y^6$，当$x=3,y=1$时，求$A-B$的值。

解:$\because A=8x^3 y^6 -x^3 y^6=7x^3 y^6,B=5x^3 y^6$，
$\therefore A-B=2x^3 y^6$.
当$x=3,y=1$时，
$A-B=2x^3 y^6=2×3^3 ×1^6=54$.

【分析】
本题属于代数式化简求值类题目，解题时遵循“先化简，再求值”的思路可简化运算。首先要运用积的乘方、幂的乘方的运算法则化简整式A，合并同类项得到A的最简形式，再计算A-B并化简为最简整式，最后将x、y的取值代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
第一步：化简整式A
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$A=(2xy^2)^3 - x^3(y^3)^2=2^3· x^3· (y^2)^3 - x^3· y^{3×2}=8x^3y^6 - x^3y^6$
合并同类项得：$A=7x^3y^6$
第二步：计算$A-B$并化简
已知$B=5x^3y^6$，代入得：
$A-B=7x^3y^6 - 5x^3y^6=2x^3y^6$
第三步：代入数值计算
当$x=3,y=1$时，将值代入化简后的式子：
$A-B=2×3^3×1^6=2×27×1=54$
【答案】
54
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是熟练掌握幂的相关运算性质，先化简后代入求值的方法能大幅减少计算量，提升计算准确率，是整式运算类题目的常用解题思路。
【难度系数】
0.85

15.[整体思想](泸州中考改编)已知$10^a=20$，$100^b=50$，求$\frac{1}{2}a + b + \frac{3}{2}$的值.

解:$\because 10^a=20,100^b=50$，
$\therefore 10^a ×100^b=10^a ×10^{2b}=10^{a+2b}=20×50=1000=10^3$.
$\therefore a+2b=3$.
$\therefore 原式=\dfrac{1}{2}(a+2b+3)=\dfrac{1}{2}×(3+3)=3$.

【分析】
解题时先观察已知条件中幂的底数特征，100是10的平方，可先利用幂的乘方法则将$100^b$转化为以10为底的幂；再将两个已知的幂相乘，根据同底数幂的乘法法则，得到指数$a+2b$的值；最后观察所求代数式的结构，将其变形为含有$a+2b$的形式，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because 10^a=20$，$100^b=50$
$\therefore 10^a × 100^b = 10^a × (10^2)^b = 10^a × 10^{2b} = 10^{a+2b}$
又$\because 20 × 50 = 1000 = 10^3$
$\therefore 10^{a+2b}=10^3$，根据底数不为0和1的同底数幂相等则指数相等，可得$a+2b=3$
对所求代数式变形：
$\frac{1}{2}a + b + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(a + 2b + 3)$
将$a+2b=3$代入得：
原式$=\frac{1}{2} × (3 + 3) = \frac{1}{2} × 6 = 3$
【答案】
$3$
【知识点】
幂的乘方，同底数幂的乘法，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查幂的运算性质的灵活应用，解题的核心是通过统一底数搭建已知条件和所求代数式之间的关联，再利用整体思想代入计算，有效降低运算量，是幂的运算类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7

16. (1)已知$x^n=2,y^n=3$,求$(x^2 y)^{2n}$的值；
(2)已知$2^{x+3} · 3^{x+3}=6^{2x-4}$,求$x$的值.

解:(1)$\because x^n=2,y^n=3$，
$\therefore (x^2 y)^{2n}=x^{4n} · y^{2n} = (x^n)^4 · (y^n)^2=2^4 ×3^2=16×9=144$.
(2)$\because 2^{x+3} · 3^{x+3}=6^{x+3}=6^{2x-4}$,$\therefore x+3=2x-4$.
$\therefore x=7$.

【分析】
(1) 求解第一问时，先利用积的乘方、幂的乘方的运算法则，将待求式$(x^2 y)^{2n}$变形为含有$x^n$、$y^n$的形式，再代入已知数值计算即可。变形时注意：积的乘方需把每个因式分别乘方，幂的乘方要底数不变、指数相乘，逆用公式将指数拆为n的倍数即可对应已知条件。
(2) 求解第二问时，先观察等式左侧是同指数的幂相乘，可逆用积的乘方法则将左侧合并为以6为底的幂，此时等式两侧底数相同，根据同底数幂相等时指数相等的性质，列一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
(1) $\because x^n=2,y^n=3$，
$\therefore (x^2 y)^{2n}=x^{4n} · y^{2n} = (x^n)^4 · (y^n)^2=2^4 ×3^2=16×9=144$。
(2) $\because 2^{x+3} · 3^{x+3}=(2×3)^{x+3}=6^{x+3}=6^{2x-4}$，
$\therefore$ 等式两边底数相同，可得指数相等，即$x+3=2x-4$，
解得$x=7$。
【答案】
(1) $\boxed{144}$；(2) $\boxed{x=7}$
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、一元一次方程求解
【点评】
本题是幂的运算的基础常考题，重点考查幂的运算法则的正用与逆用，解题时要根据式子的结构特征灵活变形，第二小问将幂的等式转化为常规一元一次方程求解，是该类题型的通用解法，熟练掌握公式后难度较低。
【难度系数】
0.8

17.[新方法探究]在比较$2^{16}$和$3^{12}$的大小时，我们可以这样解决：
解：$\because 2^{16}=(2^4)^4=16^4$，$3^{12}=(3^3)^4=27^4$，
$16＜27$，
$\therefore 16^4＜27^4$，即$2^{16}＜3^{12}$。
你能类似地比较下列各组数的大小吗？
(1)$2^{100}$与$3^{75}$；
(2)$3^{555}$，$4^{444}$与$5^{333}$。

解:(1)$\because 2^{100}=(2^4)^{25}=16^{25},3^{75}=(3^3)^{25}=27^{25},16＜27$，
$\therefore 16^{25}＜27^{25}$,即$2^{100}＜3^{75}$.
(2)$\because 3^{555}=(3^5)^{111}=243^{111},4^{444}=(4^4)^{111}=256^{111}$，
$5^{333}=(5^3)^{111}=125^{111},125＜243＜256$，
$\therefore 125^{111}＜243^{111}＜256^{111}$，
即$5^{333}＜3^{555}＜4^{444}$.

【分析】
要比较底数和指数均不相同的幂的大小，我们可以利用幂的乘方的逆运算性质$(a^m)^n=a^{mn}$，将不同指数的幂转化为指数相同的幂，当指数一致时，底数越大，对应的幂就越大，只需比较底数大小即可得到原幂的大小关系。
对于第(1)问，先找100和75的最大公因数为25，将两个幂的指数都统一为25；第(2)问找555、444、333的最大公因数为111，将三个幂的指数都统一为111，再分别计算变形后的底数，比较大小即可。
【解析】
(1) 对两个幂利用幂的乘方逆运算变形：
$\because 2^{100}=(2^4)^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^3)^{25}=27^{25}$，
又$\because 16＜27$，
$\therefore 16^{25}＜27^{25}$，即$2^{100}＜3^{75}$。
(2) 对三个幂利用幂的乘方逆运算变形：
$\because 3^{555}=(3^5)^{111}=243^{111}$，$4^{444}=(4^4)^{111}=256^{111}$，$5^{333}=(5^3)^{111}=125^{111}$，
又$\because 125＜243＜256$，
$\therefore 125^{111}＜243^{111}＜256^{111}$，即$5^{333}＜3^{555}＜4^{444}$。
【答案】
(1)$2^{100}＜3^{75}$；(2)$5^{333}＜3^{555}＜4^{444}$
【知识点】
1. 幂的乘方的逆用 2. 同指数幂比较大小
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题型，解题核心是通过幂的乘方的逆运算将不同指数的幂转化为同指数幂，再通过比较底数大小得出结果，掌握该方法可快速解决同类幂的大小比较问题。
【难度系数】
0.7