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1. 下列各式计算正确的是 （
A.$(x^2)^4 = x^6$
B.$(x^3)^4 = x^{12}$
C.$(x^{n+1})^3 = x^{3n+1}$
D.$x^5 · x^6 = x^{30}$
B
）A.$(x^2)^4 = x^6$
B.$(x^3)^4 = x^{12}$
C.$(x^{n+1})^3 = x^{3n+1}$
D.$x^5 · x^6 = x^{30}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算的正误判断，解题思路如下：首先明确两类幂运算的核心法则：①幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；②同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，公式为$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）。接下来将四个选项分别对应对应的法则计算，对比结果即可选出正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：根据幂的乘方法则，$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8≠x^6$，因此A计算错误；
选项B：根据幂的乘方法则，$(x^3)^4=x^{3×4}=x^{12}$，因此B计算正确；
选项C：根据幂的乘方法则，$(x^{n+1})^3=x^{3×(n+1)}=x^{3n+3}≠x^{3n+1}$，因此C计算错误；
选项D：根据同底数幂的乘法法则，$x^5·x^6=x^{5+6}=x^{11}≠x^{30}$，因此D计算错误。
综上，计算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对不同幂运算规则的区分能力，解题的关键是准确记忆法则，不要混淆幂的乘方中“指数相乘”和同底数幂乘法中“指数相加”的适用场景，熟练掌握法则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算的正误判断，解题思路如下：首先明确两类幂运算的核心法则：①幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）；②同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，公式为$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）。接下来将四个选项分别对应对应的法则计算，对比结果即可选出正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：根据幂的乘方法则，$(x^2)^4=x^{2×4}=x^8≠x^6$，因此A计算错误；
选项B：根据幂的乘方法则，$(x^3)^4=x^{3×4}=x^{12}$，因此B计算正确；
选项C：根据幂的乘方法则，$(x^{n+1})^3=x^{3×(n+1)}=x^{3n+3}≠x^{3n+1}$，因此C计算错误；
选项D：根据同底数幂的乘法法则，$x^5·x^6=x^{5+6}=x^{11}≠x^{30}$，因此D计算错误。
综上，计算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查对不同幂运算规则的区分能力，解题的关键是准确记忆法则，不要混淆幂的乘方中“指数相乘”和同底数幂乘法中“指数相加”的适用场景，熟练掌握法则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. $a^{12}$可表示成（
A.$(a^6)^6$
B.$(-a^3)^4$
C.$a^6 + a^6$
D.$(-a^4)^3$
B
）A.$(a^6)^6$
B.$(-a^3)^4$
C.$a^6 + a^6$
D.$(-a^4)^3$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算及合并同类项的规则，解题思路是逐个计算每个选项的运算结果，对比是否等于$a^{12}$。首先回忆相关法则：1.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$；2.积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^nb^n$；3.合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。同时要注意负数的偶次幂为正，奇次幂为负，依次判断每个选项即可。
【解析】
我们逐一计算各选项的结果：
选项A：根据幂的乘方法则，$(a^6)^6=a^{6×6}=a^{36}≠ a^{12}$，不符合要求；
选项B：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(-a^3)^4=(-1)^4×(a^3)^4=1× a^{3×4}=a^{12}$，符合要求；
选项C：$a^6+a^6$是合并同类项，结果为$2a^6≠ a^{12}$，不符合要求；
选项D：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(-a^4)^3=(-1)^3×(a^4)^3=-1× a^{4×3}=-a^{12}≠ a^{12}$，不符合要求。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方、积的乘方、合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查运算法则的掌握情况，解题时要特别注意负数乘方的符号判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算及合并同类项的规则，解题思路是逐个计算每个选项的运算结果，对比是否等于$a^{12}$。首先回忆相关法则：1.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$；2.积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^nb^n$；3.合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。同时要注意负数的偶次幂为正，奇次幂为负，依次判断每个选项即可。
【解析】
我们逐一计算各选项的结果：
选项A：根据幂的乘方法则，$(a^6)^6=a^{6×6}=a^{36}≠ a^{12}$，不符合要求；
选项B：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(-a^3)^4=(-1)^4×(a^3)^4=1× a^{3×4}=a^{12}$，符合要求；
选项C：$a^6+a^6$是合并同类项，结果为$2a^6≠ a^{12}$，不符合要求；
选项D：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(-a^4)^3=(-1)^3×(a^4)^3=-1× a^{4×3}=-a^{12}≠ a^{12}$，不符合要求。
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方、积的乘方、合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查运算法则的掌握情况，解题时要特别注意负数乘方的符号判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
3. (河南中考)计算$\underbrace{(a · a · \dots · a)}_{a个}^3$的结果是（
A.$a^5$
B.$a^6$
C.$a^{a+3}$
D.$a^{3a}$
D
）A.$a^5$
B.$a^6$
C.$a^{a+3}$
D.$a^{3a}$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先要明确题中式子的含义，分两步思考：第一步，先处理括号内的部分，根据乘方的定义，a个相同因数a相乘可以写成幂的形式；第二步，将原式转化为幂的乘方运算，再套用幂的乘方运算法则计算即可得到结果，计算时注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的规则差异，避免指数运算出错。
【解析】
1. 化简括号内的表达式：根据乘方的定义，$\underbrace{a·a·\dots·a}_{a个}=a^a$，因此原式可转化为$(a^a)^3$；
2. 计算幂的乘方：根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），此处m=a，n=3，代入得$(a^a)^3=a^{a×3}=a^{3a}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义,幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对乘方意义的理解和幂的乘方法则的应用，解题关键是先将连乘形式转化为幂的形式，再正确套用运算法则计算，要注意不要把幂的乘方的“指数相乘”和同底数幂乘法的“指数相加”混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题中式子的含义，分两步思考：第一步，先处理括号内的部分，根据乘方的定义，a个相同因数a相乘可以写成幂的形式；第二步，将原式转化为幂的乘方运算，再套用幂的乘方运算法则计算即可得到结果，计算时注意区分幂的乘方和同底数幂乘法的规则差异，避免指数运算出错。
【解析】
1. 化简括号内的表达式：根据乘方的定义，$\underbrace{a·a·\dots·a}_{a个}=a^a$，因此原式可转化为$(a^a)^3$；
2. 计算幂的乘方：根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），此处m=a，n=3，代入得$(a^a)^3=a^{a×3}=a^{3a}$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义,幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对乘方意义的理解和幂的乘方法则的应用，解题关键是先将连乘形式转化为幂的形式，再正确套用运算法则计算，要注意不要把幂的乘方的“指数相乘”和同底数幂乘法的“指数相加”混淆。
【难度系数】
0.8
4.(1)如果$3^a=9$，那么$9^a$的值为
(2)若$4^x=2^{x+3}$，则$x$的值为
81
；(2)若$4^x=2^{x+3}$，则$x$的值为
3
。答案
4.(1)81 (2)3
解析
【分析】
(1) 解题时先观察所求式$9^a$与已知条件$3^a=9$的联系，可将$9$转化为$3^2$，再利用幂的乘方法则把$9^a$变形为含$3^a$的形式，代入已知值计算即可。
(2) 首先将等式两边的幂化为同底数幂，左边$4^x$可转化为以2为底的幂，再根据“底数相同且不为0的两个幂相等，则指数相等”列方程求解即可。
【解析】
(1) 先对$9^a$变形：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$9^a=(3^2)^a=3^{2a}=(3^a)^2$。
已知$3^a=9$，代入得：$(3^a)^2=9^2=81$。
(2) 先将左边的底数化为2：
因为$4=2^2$，所以$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$。
已知$4^x=2^{x+3}$，所以$2^{2x}=2^{x+3}$。
因为底数$2≠0$且$2≠1$，两个同底数幂相等时指数相等，即：
$2x=x+3$
解得$x=3$。
【答案】
(1) $\boxed{81}$；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂相等的性质
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查将不同底数幂转化为同底数幂的技巧，解题关键是熟练掌握幂的乘方的运算规则，是巩固幂运算性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先观察所求式$9^a$与已知条件$3^a=9$的联系，可将$9$转化为$3^2$，再利用幂的乘方法则把$9^a$变形为含$3^a$的形式，代入已知值计算即可。
(2) 首先将等式两边的幂化为同底数幂，左边$4^x$可转化为以2为底的幂，再根据“底数相同且不为0的两个幂相等，则指数相等”列方程求解即可。
【解析】
(1) 先对$9^a$变形：
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$9^a=(3^2)^a=3^{2a}=(3^a)^2$。
已知$3^a=9$，代入得：$(3^a)^2=9^2=81$。
(2) 先将左边的底数化为2：
因为$4=2^2$，所以$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$。
已知$4^x=2^{x+3}$，所以$2^{2x}=2^{x+3}$。
因为底数$2≠0$且$2≠1$，两个同底数幂相等时指数相等，即：
$2x=x+3$
解得$x=3$。
【答案】
(1) $\boxed{81}$；(2) $\boxed{3}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂相等的性质
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查将不同底数幂转化为同底数幂的技巧，解题关键是熟练掌握幂的乘方的运算规则，是巩固幂运算性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
5.(教材练习变式)计算：
(1)$(a^{2m})^{3} · (a^{4})^{m}$；
(2)$[(x+y)^{2}]^{3}$；
(3)$3(x^{n})^{4} · x^{2n} - (x^{2n})^{3}$。
(1)$(a^{2m})^{3} · (a^{4})^{m}$；
(2)$[(x+y)^{2}]^{3}$；
(3)$3(x^{n})^{4} · x^{2n} - (x^{2n})^{3}$。
答案
解:(1)原式=$a^{6m} · a^{4m} =a^{6m+4m}=a^{10m}$.
(2)原式=$(x+y)^6$.
(3)原式=$3x^{4n} · x^{2n} -x^{6n}=3x^{6n}-x^{6n}=2x^{6n}$.
(2)原式=$(x+y)^6$.
(3)原式=$3x^{4n} · x^{2n} -x^{6n}=3x^{6n}-x^{6n}=2x^{6n}$.
解析
【分析】
这三道题均考查幂的运算相关法则，解题思路如下：
1. 遇到幂的乘方运算（底数是幂，整体再乘方的形式），优先使用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
2. 遇到同底数幂相乘的形式，使用同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加；
3. 运算后如果出现同类项，需要合并同类项，即系数相加减，字母和字母的指数不变；
4. 第(2)题可将$(x+y)$看作整体作为底数，直接套用幂的乘方法则计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算两个幂的乘方，再计算同底数幂乘法：
原式=$a^{2m×3} · a^{4×m} = a^{6m} · a^{4m} = a^{6m+4m} = a^{10m}$
(2) 将$(x+y)$看作整体，直接应用幂的乘方法则：
原式=$(x+y)^{2×3} = (x+y)^6$
(3) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项：
原式=$3x^{n×4} · x^{2n} - x^{2n×3} = 3x^{4n} · x^{2n} - x^{6n} = 3x^{4n+2n} - x^{6n} = 3x^{6n} - x^{6n} = 2x^{6n}$
【答案】
(1)$a^{10m}$；(2)$(x+y)^6$；(3)$2x^{6n}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是熟练掌握各类幂运算的法则，注意运算顺序，遇到多项式底数时可利用整体思想简化运算，合并同类项时不要混淆指数和系数的运算规则。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查幂的运算相关法则，解题思路如下：
1. 遇到幂的乘方运算（底数是幂，整体再乘方的形式），优先使用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
2. 遇到同底数幂相乘的形式，使用同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加；
3. 运算后如果出现同类项，需要合并同类项，即系数相加减，字母和字母的指数不变；
4. 第(2)题可将$(x+y)$看作整体作为底数，直接套用幂的乘方法则计算即可。
【解析】
(1) 先分别计算两个幂的乘方，再计算同底数幂乘法：
原式=$a^{2m×3} · a^{4×m} = a^{6m} · a^{4m} = a^{6m+4m} = a^{10m}$
(2) 将$(x+y)$看作整体，直接应用幂的乘方法则：
原式=$(x+y)^{2×3} = (x+y)^6$
(3) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项：
原式=$3x^{n×4} · x^{2n} - x^{2n×3} = 3x^{4n} · x^{2n} - x^{6n} = 3x^{4n+2n} - x^{6n} = 3x^{6n} - x^{6n} = 2x^{6n}$
【答案】
(1)$a^{10m}$；(2)$(x+y)^6$；(3)$2x^{6n}$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，合并同类项
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是熟练掌握各类幂运算的法则，注意运算顺序，遇到多项式底数时可利用整体思想简化运算，合并同类项时不要混淆指数和系数的运算规则。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $10^m = 3$，$10^n = 2$，求下列各式的值.
(1) $10^{3m}$；(2) $10^{2n}$；(3) $10^{3m+2n}$.
(1) $10^{3m}$；(2) $10^{2n}$；(3) $10^{3m+2n}$.
答案
解:(1)$10^{3m}=(10^m)^3=3^3=27$.
(2)$10^{2n}=(10^n)^2=2^2=4$.
(3)$10^{3m+2n}=10^{3m} · 10^{2n}=27×4=108$.
(2)$10^{2n}=(10^n)^2=2^2=4$.
(3)$10^{3m+2n}=10^{3m} · 10^{2n}=27×4=108$.
解析
【分析】
本题考查幂的运算法则的逆用，解题思路如下：①对于形如$a^{mn}$的式子，可逆用幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，将其变形为$(a^m)^n$，代入已知的$10^m$、$10^n$的值即可计算前两问；②对于指数为和的形式$a^{m+n}$，可逆用同底数幂的乘法公式$a^m· a^n=a^{m+n}$，将其拆分为同底数幂相乘的形式，再代入前两问的计算结果即可求解第三问。
【解析】
(1) 逆用幂的乘方运算法则可得：$10^{3m}=(10^m)^3$，将$10^m=3$代入得：
原式$=3^3=27$
(2) 逆用幂的乘方运算法则可得：$10^{2n}=(10^n)^2$，将$10^n=2$代入得：
原式$=2^2=4$
(3) 逆用同底数幂的乘法运算法则可得：$10^{3m+2n}=10^{3m}·10^{2n}$，将(1)(2)的计算结果代入得：
原式$=27×4=108$
【答案】
(1)$\boxed{27}$；(2)$\boxed{4}$；(3)$\boxed{108}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、幂的运算逆用
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查幂的运算法则的正向与逆向变形，熟练掌握公式的灵活转换是解决这类题的关键，日常练习中要注意提升运算的准确率。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算法则的逆用，解题思路如下：①对于形如$a^{mn}$的式子，可逆用幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，将其变形为$(a^m)^n$，代入已知的$10^m$、$10^n$的值即可计算前两问；②对于指数为和的形式$a^{m+n}$，可逆用同底数幂的乘法公式$a^m· a^n=a^{m+n}$，将其拆分为同底数幂相乘的形式，再代入前两问的计算结果即可求解第三问。
【解析】
(1) 逆用幂的乘方运算法则可得：$10^{3m}=(10^m)^3$，将$10^m=3$代入得：
原式$=3^3=27$
(2) 逆用幂的乘方运算法则可得：$10^{2n}=(10^n)^2$，将$10^n=2$代入得：
原式$=2^2=4$
(3) 逆用同底数幂的乘法运算法则可得：$10^{3m+2n}=10^{3m}·10^{2n}$，将(1)(2)的计算结果代入得：
原式$=27×4=108$
【答案】
(1)$\boxed{27}$；(2)$\boxed{4}$；(3)$\boxed{108}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、幂的运算逆用
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心考查幂的运算法则的正向与逆向变形，熟练掌握公式的灵活转换是解决这类题的关键，日常练习中要注意提升运算的准确率。
【难度系数】
0.8
7. 计算$(a^2b)^3$的结果是 （
A.$a^2b^3$
B.$a^5b^3$
C.$a^6b$
D.$a^6b^3$
D
）A.$a^2b^3$
B.$a^5b^3$
C.$a^6b$
D.$a^6b^3$
答案
7.D
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先识别算式属于积的乘方运算，回忆积的乘方运算法则：积的乘方需要把积中的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；接下来对拆分得到的幂的乘方部分，使用幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，计算后合并结果，最后匹配选项即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则：
$(a^2b)^3=(a^2)^3· b^3$
再根据幂的乘方运算法则计算$(a^2)^3$：
$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$
因此$(a^2b)^3=a^6b^3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查对幂的运算法则的识记与基础应用，熟练掌握相关运算规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先识别算式属于积的乘方运算，回忆积的乘方运算法则：积的乘方需要把积中的每一个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；接下来对拆分得到的幂的乘方部分，使用幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，计算后合并结果，最后匹配选项即可。
【解析】
根据积的乘方运算法则：
$(a^2b)^3=(a^2)^3· b^3$
再根据幂的乘方运算法则计算$(a^2)^3$：
$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$
因此$(a^2b)^3=a^6b^3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心考查对幂的运算法则的识记与基础应用，熟练掌握相关运算规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
8. 计算$(\dfrac{3}{2})^{2025} · (\dfrac{2}{3})^{2026}$的结果是（
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{2}{3}$
D.$1$
A
）A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$-\dfrac{2}{3}$
D.$1$
答案
8.A
解析
【分析】
观察算式可知，两个幂的底数$\dfrac{3}{2}$和$\dfrac{2}{3}$互为倒数，乘积为1，因此可考虑逆用积的乘方公式简化计算。首先将指数较大的$(\dfrac{2}{3})^{2026}$拆分为$(\dfrac{2}{3})^{2025} × \dfrac{2}{3}$，构造出两个指数均为2025的幂，再逆用积的乘方公式计算同指数幂的乘积，最后计算剩余部分即可得到结果。
【解析】
第一步，拆分高次幂，利用同底数幂乘法的逆运算可得：
$(\dfrac{2}{3})^{2026}=(\dfrac{2}{3})^{2025+1}=(\dfrac{2}{3})^{2025} × \dfrac{2}{3}$
第二步，代入原式变形计算：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{3}{2})^{2025} × (\dfrac{2}{3})^{2025} × \dfrac{2}{3}\\&= ( \dfrac{3}{2} × \dfrac{2}{3} )^{2025} × \dfrac{2}{3} \quad \mathrm{（逆用积的乘方公式：$a^n · b^n=(ab)^n$）}\\&=1^{2025} × \dfrac{2}{3}\\&=1 × \dfrac{2}{3}\\&=\dfrac{2}{3}\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方逆运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂的运算模块的典型基础题，核心考查对积的乘方公式的灵活运用能力。解题的关键是发现底数互为倒数的特征，通过拆分指数构造同指数幂实现简便运算，熟练掌握幂的各类运算公式的正用和逆用是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，两个幂的底数$\dfrac{3}{2}$和$\dfrac{2}{3}$互为倒数，乘积为1，因此可考虑逆用积的乘方公式简化计算。首先将指数较大的$(\dfrac{2}{3})^{2026}$拆分为$(\dfrac{2}{3})^{2025} × \dfrac{2}{3}$，构造出两个指数均为2025的幂，再逆用积的乘方公式计算同指数幂的乘积，最后计算剩余部分即可得到结果。
【解析】
第一步，拆分高次幂，利用同底数幂乘法的逆运算可得：
$(\dfrac{2}{3})^{2026}=(\dfrac{2}{3})^{2025+1}=(\dfrac{2}{3})^{2025} × \dfrac{2}{3}$
第二步，代入原式变形计算：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{3}{2})^{2025} × (\dfrac{2}{3})^{2025} × \dfrac{2}{3}\\&= ( \dfrac{3}{2} × \dfrac{2}{3} )^{2025} × \dfrac{2}{3} \quad \mathrm{（逆用积的乘方公式：$a^n · b^n=(ab)^n$）}\\&=1^{2025} × \dfrac{2}{3}\\&=1 × \dfrac{2}{3}\\&=\dfrac{2}{3}\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
积的乘方逆运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题是幂的运算模块的典型基础题，核心考查对积的乘方公式的灵活运用能力。解题的关键是发现底数互为倒数的特征，通过拆分指数构造同指数幂实现简便运算，熟练掌握幂的各类运算公式的正用和逆用是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
9. 计算：$-1^{2024} + 2^{2025} × ( \frac{1}{2} )^{2026} =$
$-\dfrac{1}{2}$
。答案
9.$-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
本题是有理数混合运算与幂的运算结合的题目，按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序思考：①先处理第一项的乘方：注意区分$-1^{2024}$和$(-1)^{2024}$，前者底数为1，计算结果为-1；②再处理高指数幂的乘法部分：两个幂的指数接近，可将指数较大的$(\frac{1}{2})^{2026}$拆为$(\frac{1}{2})^{2025} × \frac{1}{2}$，再利用积的乘方的逆运算，把同指数的幂合并计算，简化运算；③最后将两部分结果相加即可。
【解析】
解：原式$=-1 + 2^{2025} × (\frac{1}{2})^{2025} × \frac{1}{2}$
$=-1 + (2 × \frac{1}{2})^{2025} × \frac{1}{2}$
$=-1 + 1^{2025} × \frac{1}{2}$
$=-1 + 1 × \frac{1}{2}$
$=-1 + \frac{1}{2}$
$=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘方运算，积的乘方逆运算，有理数加减运算
【点评】
本题重点考察幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是正确识别乘方的底数，熟练掌握积的乘方逆运算的技巧，可大幅简化高指数幂的计算过程，是幂运算类题目的常见考法。
【难度系数】
0.7
本题是有理数混合运算与幂的运算结合的题目，按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序思考：①先处理第一项的乘方：注意区分$-1^{2024}$和$(-1)^{2024}$，前者底数为1，计算结果为-1；②再处理高指数幂的乘法部分：两个幂的指数接近，可将指数较大的$(\frac{1}{2})^{2026}$拆为$(\frac{1}{2})^{2025} × \frac{1}{2}$，再利用积的乘方的逆运算，把同指数的幂合并计算，简化运算；③最后将两部分结果相加即可。
【解析】
解：原式$=-1 + 2^{2025} × (\frac{1}{2})^{2025} × \frac{1}{2}$
$=-1 + (2 × \frac{1}{2})^{2025} × \frac{1}{2}$
$=-1 + 1^{2025} × \frac{1}{2}$
$=-1 + 1 × \frac{1}{2}$
$=-1 + \frac{1}{2}$
$=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘方运算，积的乘方逆运算，有理数加减运算
【点评】
本题重点考察幂的运算性质的灵活运用，解题的关键是正确识别乘方的底数，熟练掌握积的乘方逆运算的技巧，可大幅简化高指数幂的计算过程，是幂运算类题目的常见考法。
【难度系数】
0.7
10. 计算:
(1) $(-mn^2)^3$;
(2) $(-4a^3b)^2$;
(3) $x · x^5 + (-2x^3)^2 + (-2x^2)^3$;
(4) $(\dfrac{12}{5})^{11} × (-\dfrac{5}{6})^{13} × (\dfrac{1}{2})^{12}$.
(1) $(-mn^2)^3$;
(2) $(-4a^3b)^2$;
(3) $x · x^5 + (-2x^3)^2 + (-2x^2)^3$;
(4) $(\dfrac{12}{5})^{11} × (-\dfrac{5}{6})^{13} × (\dfrac{1}{2})^{12}$.
答案
解:(1)原式=$(-m)^3 · (n^2)^3=-m^3 n^6$.
(2)原式=$(-4)^2 · (a^3)^2 b^2=16a^6 b^2$.
(3)原式=$x^6 +4x^6 -8x^6=-3x^6$.
(4)原式=$(-\dfrac{12}{5}×\dfrac{5}{6}×\dfrac{1}{2})^{11} × (-\dfrac{5}{6})^2 × \dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{25}{36}×\dfrac{1}{2}=-\dfrac{25}{72}$.
(2)原式=$(-4)^2 · (a^3)^2 b^2=16a^6 b^2$.
(3)原式=$x^6 +4x^6 -8x^6=-3x^6$.
(4)原式=$(-\dfrac{12}{5}×\dfrac{5}{6}×\dfrac{1}{2})^{11} × (-\dfrac{5}{6})^2 × \dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{25}{36}×\dfrac{1}{2}=-\dfrac{25}{72}$.
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：1. （1）（2）题直接运用积的乘方法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，结合幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算，注意负数乘方的符号判断；2. （3）题按照运算顺序，先分别计算同底数幂的乘法、两个积的乘方，再合并同类项得到结果；3. （4）题观察到三个乘方项的指数接近，逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，把指数相同的部分凑成一组先算，再计算剩余项的乘积，简化运算。
【解析】
(1) 根据积的乘方和幂的乘方法则计算：
原式$=(-m)^3 · (n^2)^3=-m^3 n^6$
(2) 对积的每个因式分别乘方后合并：
原式$=(-4)^2 · (a^3)^2 · b^2=16a^6 b^2$
(3) 先算乘方和同底数幂乘法，再合并同类项：
原式$=x^6 + (-2)^2· (x^3)^2 + (-2)^3· (x^2)^3$
$=x^6 + 4x^6 - 8x^6$
$=-3x^6$
(4) 逆用积的乘方公式简化计算：
原式$=(\frac{12}{5})^{11} × (-\frac{5}{6})^{11} × (-\frac{5}{6})^2 × (\frac{1}{2})^{11} × \frac{1}{2}$
$=(-\frac{12}{5}×\frac{5}{6}×\frac{1}{2})^{11} × \frac{25}{36} × \frac{1}{2}$
$=(-1)^{11} × \frac{25}{72}$
$=-\frac{25}{72}$
【答案】
(1) $-m^3n^6$；(2) $16a^6b^2$；(3) $-3x^6$；(4) $-\frac{25}{72}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题核心考查幂的运算法则的正用与逆用，运算时要注意遵循先乘方、后加减的顺序，特别要注意负数乘方的符号判断，逆用积的乘方公式可以大幅降低高指数运算的复杂度，是幂的运算中的常用技巧。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：1. （1）（2）题直接运用积的乘方法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，结合幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算，注意负数乘方的符号判断；2. （3）题按照运算顺序，先分别计算同底数幂的乘法、两个积的乘方，再合并同类项得到结果；3. （4）题观察到三个乘方项的指数接近，逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，把指数相同的部分凑成一组先算，再计算剩余项的乘积，简化运算。
【解析】
(1) 根据积的乘方和幂的乘方法则计算：
原式$=(-m)^3 · (n^2)^3=-m^3 n^6$
(2) 对积的每个因式分别乘方后合并：
原式$=(-4)^2 · (a^3)^2 · b^2=16a^6 b^2$
(3) 先算乘方和同底数幂乘法，再合并同类项：
原式$=x^6 + (-2)^2· (x^3)^2 + (-2)^3· (x^2)^3$
$=x^6 + 4x^6 - 8x^6$
$=-3x^6$
(4) 逆用积的乘方公式简化计算：
原式$=(\frac{12}{5})^{11} × (-\frac{5}{6})^{11} × (-\frac{5}{6})^2 × (\frac{1}{2})^{11} × \frac{1}{2}$
$=(-\frac{12}{5}×\frac{5}{6}×\frac{1}{2})^{11} × \frac{25}{36} × \frac{1}{2}$
$=(-1)^{11} × \frac{25}{72}$
$=-\frac{25}{72}$
【答案】
(1) $-m^3n^6$；(2) $16a^6b^2$；(3) $-3x^6$；(4) $-\frac{25}{72}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂的乘法
【点评】
本题核心考查幂的运算法则的正用与逆用，运算时要注意遵循先乘方、后加减的顺序，特别要注意负数乘方的符号判断，逆用积的乘方公式可以大幅降低高指数运算的复杂度，是幂的运算中的常用技巧。
【难度系数】
0.7
