1. 化简$\frac{x}{a+2} · \frac{a^2 -4}{2x}$的结果是().

A.$\frac{a+2}{2}$
B.$\frac{a-2}{2}$
C.$\frac{a-2}{2x}$
D.$\frac{a-2}{2a+4}$

1. B

【分析】
这是分式乘法化简题，解题思路如下：首先观察式子中的多项式$a^2-4$，它符合平方差公式的结构，先对其因式分解；再按照分式乘法的运算法则，将分子与分子相乘、分母与分母相乘，最后约去分子分母的公因式，就能得到最简结果。
【解析】
解：第一步，利用平方差公式因式分解$a^2-4$，可得$a^2-4=(a+2)(a-2)$。
将分解结果代入原式，得：
$\frac{x}{a+2} · \frac{a^2 -4}{2x} = \frac{x}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{2x}$
第二步，约去分子分母的公因式$x$和$a+2$，化简后得：
原式$=\frac{a-2}{2}$
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算，平方差公式，约分
【点评】
本题是分式乘法的基础题型，核心考查因式分解和约分的应用，计算时先分解多项式再约分，能有效简化运算过程，避免出错。
【难度系数】
0.8

2. 化简$\frac{a^2b}{mn^2} ÷ \frac{ab}{3mn}$的结果是().

A.$\frac{3b}{m}$
B.$\frac{3a}{mn}$
C.$\frac{3b}{mn}$
D.$\frac{3a}{n}$

2. D

【分析】
本题考查分式的除法运算，解题思路如下：首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，先将除法运算转化为乘法运算；再按照分式乘法的规则，把分子相乘的积作为分子、分母相乘的积作为分母，最后约掉分子分母的公因式，得到最简结果即可匹配选项。
【解析】
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，因此：
原式$=\frac{a^2b}{mn^2} × \frac{3mn}{ab}$
将分子、分母分别相乘：
$=\frac{a^2b · 3mn}{mn^2 · ab}$
约分：约掉分子分母的公因式$a$、$b$、$m$、$n$，可得：
$=\frac{3a}{n}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的除法法则；分式的约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，核心是掌握“除法变乘法”的转换规则，约分的时候要注意找准分子分母的所有公因式，避免漏约或错约，熟练掌握运算规则后可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 若$\dfrac{3x}{x^2 - y^2} ÷ A = \dfrac{1}{x + y}$，则A等于。

3. $\frac{3x}{x-y}$

【分析】
本题已知除法算式中的被除数和商，要求除数A，解题思路如下：第一步，根据除法运算中“除数=被除数÷商”的基本关系，先写出A的表达式；第二步，利用平方差公式对被除式的分母进行因式分解，方便后续约分；第三步，根据分式的除法法则，将除法运算转化为乘法运算，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
根据除法各部分的关系可得：
$A = \dfrac{3x}{x^2 - y^2} ÷ \dfrac{1}{x+y}$
1. 因式分解：利用平方差公式得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，代入式子得：
$A = \dfrac{3x}{(x+y)(x-y)} ÷ \dfrac{1}{x+y}$
2. 分式除法转乘法：除以一个分式等于乘它的倒数，可得：
$A = \dfrac{3x}{(x+y)(x-y)} × (x+y)$
3. 约分化简：约去分子分母的公因式$x+y$，得：
$A = \dfrac{3x}{x-y}$
【答案】
$\dfrac{3x}{x-y}$
【知识点】
分式的除法法则，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础考察题，解题的关键是先明确除数、被除数、商三者的数量关系列出表达式，再结合因式分解和分式运算规则计算，掌握分式乘除的基本运算方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

4. 计算:
(1) $\frac{3b^2}{4a^2} · ( \frac{-a}{6b} )$；
(2) $-3xy^2 ÷ \frac{6y^2}{5x}$；
(3) $\frac{x^2 - x}{x + 1} · \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$；
(4) $\frac{3ab + a^2}{b^2 - a^2} ÷ \frac{a + 3b}{a - b}$。

解 (1)原式$=\frac{-3ab^2}{24a^2 b}$
$=-\frac{b}{8a}.$
(2)原式$=-3xy^2 · \frac{5x}{6y^2}$
$=-\frac{5x^2}{2}.$
(3)原式$=\frac{x(x-1)}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}$
$=x.$
(4)原式$=\frac{a(a+3b)}{-(a+b)(a-b)} · \frac{a-b}{a+3b}$
$=-\frac{a}{a+b}.$

【分析】
解决分式乘除运算题，可按以下思路逐步推导：1. 运算转换：若为分式除法，先根据“除以一个分式等于乘以它的倒数”转换为分式乘法；2. 因式分解：若分子、分母含多项式，先对多项式进行因式分解，方便后续约分；3. 约分计算：分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，约去分子分母的公因式，最终结果化为最简分式或整式即可。
【解析】
(1) 原式为分式乘法，直接按分子乘分子、分母乘分母计算：
$\frac{3b^2}{4a^2} · (\frac{-a}{6b})=\frac{3b^2·(-a)}{4a^2·6b}=\frac{-3ab^2}{24a^2b}$
约去分子分母的公因式$3ab$，得$-\frac{b}{8a}$。
(2) 原式为分式除法，先转换为乘法运算：
$-3xy^2 ÷ \frac{6y^2}{5x}=-3xy^2 · \frac{5x}{6y^2}$
计算乘积得$\frac{-15x^2y^2}{6y^2}$，约去公因式$3y^2$，得$-\frac{5x^2}{2}$。
(3) 先对分子分母的多项式因式分解：
$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
代入原式得$\frac{x(x-1)}{x+1} · \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}$，约去公因式$(x+1)$、$(x-1)^2$，得$x$。
(4) 先将除法转换为乘法，再因式分解：
$\frac{3ab + a^2}{b^2 - a^2} ÷ \frac{a + 3b}{a - b}=\frac{3ab+a^2}{b^2-a^2} · \frac{a-b}{a+3b}$
其中$3ab+a^2=a(a+3b)$，$b^2-a^2=-(a+b)(a-b)$，代入得$\frac{a(a+3b)}{-(a+b)(a-b)} · \frac{a-b}{a+3b}$，约去公因式$(a+3b)$、$(a-b)$，得$-\frac{a}{a+b}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{b}{8a}}$；(2) $\boldsymbol{-\frac{5x^2}{2}}$；(3) $\boldsymbol{x}$；(4) $\boldsymbol{-\frac{a}{a+b}}$
【知识点】
分式乘除法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，核心考查运算规则的掌握程度，计算时需注意先统一为乘法运算，涉及多项式时优先因式分解再约分，同时要注意符号的处理，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8

5. 若分式“$\frac{x-1}{x^2 - ◯} · \frac{x+2}{x}$”可以进行约分化简，则“$◯$”不可以是().

A.1
B.x
C.$-x$
D.4

5. C

【分析】
要判断“◯”不可以是哪个选项，首先明确分式可以约分化简的条件：两个分式相乘后，分子与分母存在公因式。本题中两个分式相乘后，分子为$(x-1)(x+2)$，分母为$x·(x^2 - ◯)$，因此只要$x^2 - ◯$含有因式$x$、$x-1$或$x+2$，分式就可以约分，我们只需将选项逐一代入验证即可。
【解析】
两个分式相乘后，分子为$(x-1)(x+2)$，分母为$x(x^2 - ◯)$，若能约分，则分子分母存在公因式，逐一分析选项：
选项A：当$◯=1$时，$x^2 - 1=(x-1)(x+1)$，含有因式$x-1$，和分子的$x-1$是公因式，可约分，不符合题意；
选项B：当$◯=x$时，$x^2 - x=x(x-1)$，含有因式$x-1$，和分子的$x-1$是公因式，可约分，不符合题意；
选项C：当$◯=-x$时，$x^2 - (-x)=x^2 + x=x(x+1)$，仅含有因式$x$和$x+1$，和分子$(x-1)(x+2)$没有公因式，无法约分，符合题意；
选项D：当$◯=4$时，$x^2 - 4=(x+2)(x-2)$，含有因式$x+2$，和分子的$x+2$是公因式，可约分，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
分式的约分；因式分解；分式乘除法则
【点评】
本题解题核心是理解分式约分的前提是分子分母存在公因式，通过代入选项结合因式分解逐一验证即可得出结论，解题时需注意符号运算的准确性。
【难度系数】
0.7

6. 学过分式的乘除运算后，王老师给同学们出了这样一道题：当$ x = 2026 $时，求代数式$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{2x - 2}{x + 1}$的值. 小林一看马上说道：“太复杂了，直接代入计算需要很久的时间啊！”你能帮小林快速解决这个问题吗？请写出你的计算过程.

解 原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{2(x-1)}=\frac{1}{2},$
所以,当$x=2\ 026$时,原式的值为$\frac{1}{2}.$

【分析】
遇到代数式求值类题目，优先考虑先化简再代入求值，可大幅减少计算量。解题步骤可按以下思路开展：第一步，根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数）；第二步，对每个分式的分子、分母进行因式分解，用到完全平方公式、平方差公式和提公因式法；第三步，约去分子分母的公因式，得到最简结果；最后观察最简结果，若为常数则无需代入x的数值，直接得到答案即可，同时要确认给定的x值使原分式有意义。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{2x - 2}{x + 1}\\&=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{2(x-1)} \quad \mathrm{（除法变乘法，分子分母因式分解）}\\&=\frac{(x-1)^2· (x+1)}{(x+1)· (x-1) · 2(x-1)} \\&=\frac{1}{2} \quad \mathrm{（约去所有公因式）}\end{aligned}$
当$x=2026$时，原分式所有分母均不为0，分式有意义，所以原式的值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心技巧是先化简后代入，可避免直接代入大数带来的复杂计算。解题时要注意因式分解的准确性，约分要彻底，同时需确认给定的未知数取值使原分式有意义。
【难度系数】
0.8

7. 如图①，1号玉米的试验田是半径为$R$ m的圆去掉外侧宽为1 m的出水沟剩下的部分；如图②，2号玉米的试验田是半径为$R$ m的圆中间去掉半径为1 m的圆剩下的部分，两块试验田都收获了450 kg玉米.

(1)哪种玉米的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

7. 解 (1)1号玉米的试验田的面积是$π(R-1)^2\ \mathrm{m}^2$,单位面积产量是$\frac{450}{π(R-1)^2}\ \mathrm{kg/m}^2.$
2号玉米的试验田的面积是$π(R^2-1)\mathrm{m}^2$,单位面积产量是$\frac{450}{π(R^2-1)}\mathrm{kg/m}^2.$
$\because R-1＞0,$
$\therefore R^2-1-(R-1)^2=2(R-1)＞0,$
$\therefore 0＜(R-1)^2＜R^2-1,$
$\therefore \frac{450}{π(R^2-1)}＜\frac{450}{π(R-1)^2}.$
$\therefore 1$号玉米的单位面积产量高.
(2)$\frac{450}{π(R-1)^2} ÷ \frac{450}{π(R^2-1)}$
$=\frac{450}{π(R-1)^2} · \frac{π(R^2-1)}{450}$
$=\frac{R+1}{R-1}.$
故高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{R+1}{R-1}$倍.

【分析】
要解决这道题，首先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。①先结合几何图形的特征分别计算两块试验田的面积：1号田是半径为(R-1)m的圆，直接用圆面积公式计算；2号田是圆环，面积为大圆面积减去中间小圆面积。②根据总产量均为450kg，分别写出两块田的单位面积产量的分式表达式。③比较两个分式的大小：两个分式分子相同，只需通过作差法比较分母的大小，即可判断分式的大小，解决第一问。④第二问求倍数关系，用高的单位面积产量除以低的单位面积产量，将分式除法转化为乘法，结合因式分解约分后就能得到结果。
【解析】
(1) 先计算两块试验田的面积和单位面积产量：
1号玉米试验田是半径为$(R-1)\ \mathrm{m}$的圆，面积为$π(R-1)^2\ \mathrm{m}^2$，单位面积产量为$\frac{450}{π(R-1)^2}\ \mathrm{kg/m}^2$；
2号玉米试验田是圆环，面积为$π R^2 - π×1^2=π(R^2-1)\ \mathrm{m}^2$，单位面积产量为$\frac{450}{π(R^2-1)}\ \mathrm{kg/m}^2$。
结合实际意义可知$R＞1$，即$R-1＞0$，对两个分母作差：
$R^2-1-(R-1)^2=R^2-1-(R^2-2R+1)=2(R-1)＞0$
因此$0＜(R-1)^2＜R^2-1$。
分子相同的正分数，分母越小分数值越大，因此$\frac{450}{π(R^2-1)}＜\frac{450}{π(R-1)^2}$，即1号玉米的单位面积产量更高。
(2) 用高的单位面积产量除以低的单位面积产量求倍数：
$\frac{450}{π(R-1)^2} ÷ \frac{450}{π(R^2-1)}$
$=\frac{450}{π(R-1)^2} · \frac{π(R^2-1)}{450}$
利用平方差公式分解$R^2-1=(R-1)(R+1)$，约分后得：
$=\frac{(R-1)(R+1)}{(R-1)^2}=\frac{R+1}{R-1}$
【答案】
(1) 1号玉米的单位面积产量高；
(2) 高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{R+1}{R-1}$倍。
【知识点】
分式的乘除运算、圆的面积计算、代数式大小比较
【点评】
这道题结合生活实际场景考查分式的应用，解题时需要先结合几何知识求出两块试验田的面积，再利用分式的性质比较大小、进行乘除运算，解题的关键是正确表示面积，运算时注意利用因式分解进行约分。
【难度系数】
0.7