典例1
解 (1) $\frac{8x^2}{9y^2} · \frac{3y}{-4x} = -\frac{24x^2 y}{36xy^2} = -\frac{2x}{3y}.$
(2) $\frac{a^2 +5a +6}{2a +6} · \frac{a^2 +2a -8}{a^2 -4} = \frac{(a+2)(a+3)}{2(a+3)} · \frac{(a+4)(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a+4}{2}.$
典例2
解 (1) $\frac{4a^2 b^2}{15m^3} ÷ \frac{-8ab^2}{35m^2} = \frac{4a^2 b^2}{15m^3} · (-\frac{35m^2}{8ab^2}) = -\frac{7a}{6m}.$
(2) $(xy -x^2) ÷ \frac{x - y}{xy} = x(y -x) ·$

解：
典例1
(1)
$\begin{aligned}\frac{8x^2}{9y^2} · \frac{3y}{-4x} &= -\frac{8x^2 · 3y}{9y^2 · 4x} \\&= -\frac{24x^2y}{36xy^2} \\&= -\frac{2x}{3y}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{a^2+5a+6}{2a+6} · \frac{a^2+2a-8}{a^2-4} &= \frac{(a+2)(a+3)}{2(a+3)} · \frac{(a+4)(a-2)}{(a+2)(a-2)} \\&= \frac{a+4}{2}\end{aligned}$
典例2
(1)
$\begin{aligned}\frac{4a^2b^2}{15m^3} ÷ \frac{-8ab^2}{35m^2} &= \frac{4a^2b^2}{15m^3} · (-\frac{35m^2}{8ab^2}) \\&= -\frac{7a}{6m}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(xy - x^2) ÷ \frac{x-y}{xy} &= x(y-x) · \frac{xy}{x-y} \\&= -x(x-y) · \frac{xy}{x-y} \\&= -x^2 y\end{aligned}$

【分析】
解题思路：1. 分式乘法运算规则：分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，最后约去公因式化为最简分式；如果分子分母是多项式，先对多项式因式分解，再约分计算。2. 分式除法运算规则：先将除法转化为乘法，即乘以除式的倒数，再按照分式乘法的规则计算。3. 遇到互为相反数的因式（如$y-x$与$x-y$），可提取负号将其转化为相同因式后再约分，注意符号变化。
【解析】
典例1
(1) 单项式分式乘法：
先确定符号（一正一负相乘得负），再分子、分母分别相乘，最后约分：
$\begin{aligned}\frac{8x^2}{9y^2} · \frac{3y}{-4x} &= -\frac{8x^2 · 3y}{9y^2 · 4x} \\&= -\frac{24x^2y}{36xy^2} \\&= -\frac{2x}{3y}\end{aligned}$
(2) 多项式分式乘法：
先对各分子、分母因式分解，再约去公因式，最后化简：
$\begin{aligned}\frac{a^2+5a+6}{2a+6} · \frac{a^2+2a-8}{a^2-4} &= \frac{(a+2)(a+3)}{2(a+3)} · \frac{(a+4)(a-2)}{(a+2)(a-2)} \\&= \frac{a+4}{2}\end{aligned}$
典例2
(1) 单项式分式除法：
先将除法转化为乘以除式的倒数，确定符号后约分计算：
$\begin{aligned}\frac{4a^2b^2}{15m^3} ÷ \frac{-8ab^2}{35m^2} &= \frac{4a^2b^2}{15m^3} · (-\frac{35m^2}{8ab^2}) \\&= -\frac{7a}{6m}\end{aligned}$
(2) 含多项式的分式除法：
先对被除式因式分解，再将除法转化为乘法，注意$y-x$与$x-y$互为相反数，提取负号统一因式后约分：
$\begin{aligned}(xy - x^2) ÷ \frac{x-y}{xy} &= x(y-x) · \frac{xy}{x-y} \\&= -x(x-y) · \frac{xy}{x-y} \\&= -x^2 y\end{aligned}$
【答案】
典例1(1) $\boldsymbol{-\dfrac{2x}{3y}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{a+4}{2}}$
典例2(1) $\boldsymbol{-\dfrac{7a}{6m}}$；(2) $\boldsymbol{-x^2 y}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除的典型基础题，覆盖了单项式、多项式类型的分式乘除运算，核心考查分式乘除的运算规则、因式分解的应用以及约分的方法，运算时需注意符号判断，以及互为相反数的因式的处理，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75

3. 分式的乘除法的应用
[典例3]甲、乙两个工程队合修一条公路,已知甲工程队每天修$(a^2 - 4)\mathrm{m}$,乙工程队每天修$(a - 2)^2\mathrm{m}$(其中$a＞10$),则甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的多少倍?

解：
甲工程队修900 m所用的时间为 $\frac{900}{a^2 - 4}$ 天，
乙工程队修600 m所用的时间为 $\frac{600}{(a-2)^2}$ 天。
根据题意，所求倍数为：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}&=\frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600}\\&=\frac{900 · (a-2)^2}{(a+2)(a-2) · 600}\\&=\frac{3(a-2)}{2(a+2)}\\&=\frac{3a-6}{2a+4}\end{aligned}$
答：甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。

【分析】
解题时首先回忆工程问题的基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步，根据甲、乙两队的工作效率，分别表示出甲修900m的时间、乙修600m的时间；第二步，求倍数关系即做除法运算，用甲的时间除以乙的时间；第三步，计算分式除法时，先利用平方差公式将$a^2-4$分解为$(a+2)(a-2)$，再将除法转化为乘以除数的倒数，最后约分化简即可得到结果，题中给出$a＞10$保证了所有分式的分母均不为0，运算有意义。
【解析】
甲工程队修900 m所用的时间为 $\frac{900}{a^2 - 4}$ 天，
乙工程队修600 m所用的时间为 $\frac{600}{(a-2)^2}$ 天。
根据题意，所求倍数为：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}&=\frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600}\\&=\frac{900 · (a-2)^2}{(a+2)(a-2) · 600}\\&=\frac{3(a-2)}{2(a+2)}\\&=\frac{3a-6}{2a+4}\end{aligned}$
【答案】
甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
【知识点】
1. 分式的乘除运算
2. 因式分解
3. 工程问题数量关系
【点评】
本题是分式乘除在实际问题中的应用，解题核心是先正确利用工作总量、工作效率、工作时间三者的关系表示出对应的工作时间，再遵循分式运算规则，先因式分解再约分计算，可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.75

[举一反三]有甲、乙两筐水果，甲筐水果重$(x-3)^2$kg，乙筐水果重$(x^2-9)$kg(其中$x＞3$)，若两筐水果都卖了50元，则甲筐水果的单价是乙筐水果单价的多少倍？
$\frac{xy}{x-y}=\frac{x^2y(y-x)}{x-y}=-x^2y.$
典例3
解 甲工程队修900 m所用的时间为$\frac{900}{a^2-4}$天，乙工程队修600 m所用的时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天，根据题意，得$\frac{900}{a^2-4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} = \frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600} = \frac{3a-6}{2a+4}.$所以，甲工程队修900 m所用的时间是乙工程队修600 m所用的时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。

3. 【举一反三】解 根据题意,得
$\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}$
$=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}$
$=\frac{x+3}{x-3}.$
所以,甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍.

【分析】
首先明确解题步骤：第一步，根据“单价=总价÷重量”的数量关系，分别写出甲、乙两筐水果的单价；第二步，求甲筐单价是乙筐的几倍，用甲单价除以乙单价列出算式；第三步，按照分式除法法则将除法转化为乘法，再对多项式$x^2-9$用平方差公式因式分解，最后约分化简得到结果，已知$x＞3$可保证所有分母不为0，分式有意义。
【解析】
根据单价=总价÷重量，可得：
甲筐水果单价为$\frac{50}{(x-3)^2}$元/kg，乙筐水果单价为$\frac{50}{x^2-9}$元/kg。
求甲单价是乙单价的倍数，列式计算：
$\begin{aligned}\frac{50}{(x-3)^2} ÷ \frac{50}{x^2-9}&=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{x^2-9}{50}\\&=\frac{50}{(x-3)^2} · \frac{(x+3)(x-3)}{50}\\&=\frac{x+3}{x-3}\end{aligned}$
【答案】
甲筐水果的单价是乙筐水果单价的$\frac{x+3}{x-3}$倍。
【知识点】
分式的乘除运算；平方差公式；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的实际应用题，解题关键是结合常见数量关系列出正确的分式算式，计算过程中先对多项式因式分解再约分，能有效降低计算出错率。
【难度系数】
0.75