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1.(素材来源:教材P58数学活动)综合与实践.
【主题】建立二次函数模型解决数字乘积问题(代数推理).
【数学活动】下列两个两位数相乘的运算中(两个乘数的十位上的数字都是9,个位上的数字的和等于10),通过计算可得出其中积最大的算式是;
91×99,92×98,…,98×92,99×91.
【主题】建立二次函数模型解决数字乘积问题(代数推理).
【数学活动】下列两个两位数相乘的运算中(两个乘数的十位上的数字都是9,个位上的数字的和等于10),通过计算可得出其中积最大的算式是;
91×99,92×98,…,98×92,99×91.
答案
解：设两个乘数的积为$y$，其中一个乘数的个位上的数为$x$，则另一个乘数个位上的数为$10-x$。
由题意得：
$\begin{aligned}y&=(90+x)[90+(10-x)]\\&=(90+x)(100-x)\\&=-x^2+10x+9000\\&=-(x-5)^2+9025\end{aligned}$
其中$x$的取值为$1,2,\dots,8,9$。
$\because -1＜0$，
$\therefore$当$x=5$时，$y$有最大值，
此时两个乘数分别为$90+5=95$，$100-5=95$，
$\therefore$积最大的算式是$\boldsymbol{95×95}$。
由题意得：
$\begin{aligned}y&=(90+x)[90+(10-x)]\\&=(90+x)(100-x)\\&=-x^2+10x+9000\\&=-(x-5)^2+9025\end{aligned}$
其中$x$的取值为$1,2,\dots,8,9$。
$\because -1＜0$，
$\therefore$当$x=5$时，$y$有最大值，
此时两个乘数分别为$90+5=95$，$100-5=95$，
$\therefore$积最大的算式是$\boldsymbol{95×95}$。
解析
【分析】
本题要找到十位均为9、个位数字之和为10的两个两位数乘积最大的算式，可通过二次函数建模求解：首先设其中一个乘数的个位数字为x，则另一个乘数的个位数字为10-x，可分别用含x的代数式(90+x)、(100-x)表示两个乘数；再根据“乘积=两个乘数相乘”的等量关系列出关于x的二次函数，将函数整理为顶点式后，由二次项系数小于0可知抛物线开口向下，顶点处函数取最大值；最后结合x的取值范围确定取最大值时x的取值，即可得到对应乘积最大的算式。
【解析】
设两个乘数的积为$y$，其中一个乘数的个位上的数为$x$，则另一个乘数个位上的数为$10-x$，其中$x$的取值为$1,2,\dots,8,9$。
由题意得：
$\begin{aligned}y&=(90+x)[90+(10-x)]\\&=(90+x)(100-x)\\&=-x^2+10x+9000\\&=-(x-5)^2+9025\end{aligned}$
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=5$时，$y$有最大值，
此时两个乘数分别为$90+5=95$，$100-5=95$，
因此积最大的算式为$95×95$。
【答案】
$\boldsymbol{95×95}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；函数建模
【点评】
本题将数字乘积问题转化为二次函数最值问题，解题的关键是正确设未知数建立函数模型，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.75
本题要找到十位均为9、个位数字之和为10的两个两位数乘积最大的算式，可通过二次函数建模求解：首先设其中一个乘数的个位数字为x，则另一个乘数的个位数字为10-x，可分别用含x的代数式(90+x)、(100-x)表示两个乘数；再根据“乘积=两个乘数相乘”的等量关系列出关于x的二次函数，将函数整理为顶点式后，由二次项系数小于0可知抛物线开口向下，顶点处函数取最大值；最后结合x的取值范围确定取最大值时x的取值，即可得到对应乘积最大的算式。
【解析】
设两个乘数的积为$y$，其中一个乘数的个位上的数为$x$，则另一个乘数个位上的数为$10-x$，其中$x$的取值为$1,2,\dots,8,9$。
由题意得：
$\begin{aligned}y&=(90+x)[90+(10-x)]\\&=(90+x)(100-x)\\&=-x^2+10x+9000\\&=-(x-5)^2+9025\end{aligned}$
$\because -1＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=5$时，$y$有最大值，
此时两个乘数分别为$90+5=95$，$100-5=95$，
因此积最大的算式为$95×95$。
【答案】
$\boldsymbol{95×95}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；函数建模
【点评】
本题将数字乘积问题转化为二次函数最值问题，解题的关键是正确设未知数建立函数模型，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.75
【问题解决】(1)下列两个三位数相乘的运算中(两个乘数的百位上的数字都是9，后两位上的数字组成的数的和等于100)，猜想其中哪个算式的积最大，并说明理由；
901×999，902×998，…，998×902，999×901.
【活动拓展】(2)除上面数字乘积的最大值问题外，用二次函数性质还能解决哪些实际问题？请你再举出一例.
2.(素材来源:教材P45习题T9)综合与实践.
【主题】根据点的运动，确定二次函数曲线类型.
【提出问题】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(-1,-2)，在x轴上任取一点M.
完成以下操作步骤:
①连接AM，作线段AM的垂直平分线$l_1$，过点M作x轴的垂线$l_2$，记$l_1$，$l_2$的交点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来得到曲线L.观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线.
【观察试验】某数学兴趣小组发现在x轴上取几个特殊位置的点M，可以求出相对应的点P的坐标.
例如:取点M(4,0)，过点P作直线$x=-1$的垂线，垂足为B，连接AP.设$P(4,y)$，所以$PM=-y$.在$Rt△ PAB$中，根据勾股定理，得$PA^2=PB^2+AB^2=25+(-2-y)^2$.因为点P在线段AM的垂直平分线上，所以$PM=PA$，所以$PM^2=PA^2$，即$(-y)^2=25+(-2-y)^2$，解得$y=-\frac{29}{4}$，所以$P(4,-\frac{29}{4})$.
【解决问题】(1)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并填表；
(2)请你帮该数学兴趣小组求出点$P(x,y)$所在曲线L的解析式($x,y$满足的函数解析式)；
(3)该数学兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制，若点M只能在$-7＜x＜6$的范围内移动，则y的取值范围是
【拓展提升】(4)若点$A(e,d)(d＜0)$，猜想曲线L的最高点的坐标，并说明理由.
901×999，902×998，…，998×902，999×901.
【活动拓展】(2)除上面数字乘积的最大值问题外，用二次函数性质还能解决哪些实际问题？请你再举出一例.
2.(素材来源:教材P45习题T9)综合与实践.
【主题】根据点的运动，确定二次函数曲线类型.
【提出问题】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(-1,-2)，在x轴上任取一点M.
完成以下操作步骤:
①连接AM，作线段AM的垂直平分线$l_1$，过点M作x轴的垂线$l_2$，记$l_1$，$l_2$的交点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来得到曲线L.观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线.
【观察试验】某数学兴趣小组发现在x轴上取几个特殊位置的点M，可以求出相对应的点P的坐标.
例如:取点M(4,0)，过点P作直线$x=-1$的垂线，垂足为B，连接AP.设$P(4,y)$，所以$PM=-y$.在$Rt△ PAB$中，根据勾股定理，得$PA^2=PB^2+AB^2=25+(-2-y)^2$.因为点P在线段AM的垂直平分线上，所以$PM=PA$，所以$PM^2=PA^2$，即$(-y)^2=25+(-2-y)^2$，解得$y=-\frac{29}{4}$，所以$P(4,-\frac{29}{4})$.
【解决问题】(1)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并填表；
(2)请你帮该数学兴趣小组求出点$P(x,y)$所在曲线L的解析式($x,y$满足的函数解析式)；
(3)该数学兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制，若点M只能在$-7＜x＜6$的范围内移动，则y的取值范围是
$-\frac{53}{4}＜y≤-1$
；【拓展提升】(4)若点$A(e,d)(d＜0)$，猜想曲线L的最高点的坐标，并说明理由.
答案
1.(1) 950×950 的积最大.理由略.
1.(2) 利用二次函数的性质求面积的最大值问题(答案不唯一).
2.(1) $-\frac{13}{4}$ $-2$
2.(2) $y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}$
2.(3) $-\frac{53}{4}＜y≤-1$
2.(4) 猜想曲线 L 的最高点的坐标为$(e,\frac{d}{2})$.理由略.
1.(2) 利用二次函数的性质求面积的最大值问题(答案不唯一).
2.(1) $-\frac{13}{4}$ $-2$
2.(2) $y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}$
2.(3) $-\frac{53}{4}＜y≤-1$
2.(4) 猜想曲线 L 的最高点的坐标为$(e,\frac{d}{2})$.理由略.
解析
【分析】
1.(1) 要找符合条件的两个三位数乘积的最大值，可设其中一个数的后两位为x，另一个数的后两位为(100-x)，将乘积表示为关于x的二次函数，利用开口向下的二次函数在顶点处取最大值的性质求解即可。
1.(2) 结合二次函数可求最值的特点，列举生活或学习中相关的应用实例即可，如面积最值、利润最值等。
2.(1) 代入特殊的M点坐标，利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，结合勾股定理计算对应P点的纵坐标即可。
2.(2) 设P(x,y)，由l₂垂直x轴可得M点坐标为(x,0)，根据垂直平分线性质得PA=PM，利用两点间距离公式列等式，化简后即可得到曲线L的解析式。
2.(3) 将二次函数解析式配方找到对称轴，结合x的取值范围(-7＜x＜6)，分别计算顶点和区间端点的函数值，即可得到y的取值范围。
2.(4) 类比(2)的推导方法，设P(x,y)，根据PA=PM列等式化简得到二次函数解析式，结合d＜0判断二次函数开口方向，顶点即为最高点，求出顶点坐标即可。
【解析】
1.(1) 设其中一个乘数的后两位为x（x为1到99的正整数），则另一个乘数的后两位为100-x，两个数的乘积为：
$W=(900+x)(900+100-x)=(900+x)(1000-x)$
展开得：$W=-x^2+100x+900000$
这是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-1)}=50$，因此当x=50时，W取最大值，此时两个乘数均为$900+50=950$，即$950×950$的积最大。
1.(2) 示例：利用二次函数的性质求周长固定的矩形的最大面积问题（答案不唯一，合理即可）。
2.(1) 代入对应M点坐标，参考题干示例的计算方法，可得两个空依次为$-\frac{13}{4}$、$-2$。
2.(2) 设点P的坐标为$(x,y)$：
∵$l_2$是过M且垂直于x轴的直线，
∴点M的坐标为$(x,0)$，
∵点P在AM的垂直平分线上，
∴$PA=PM$，
由两点间距离公式得：$PA^2=(x+1)^2+(y+2)^2$，$PM^2=y^2$，
列等式：$(x+1)^2+(y+2)^2=y^2$，
展开整理得：$4y=-x^2-2x-5$，即$y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}$，即为曲线L的解析式。
2.(3) 将解析式配方得：
$y=-\frac{1}{4}(x+1)^2-1$，
可知抛物线开口向下，对称轴为$x=-1$，
当$x=-1$时，y取最大值为$-1$；
计算区间端点函数值：当$x=-7$时，$y=-10=-\frac{40}{4}$；当$x=6$时，$y=-\frac{53}{4}$，
∵$-7＜x＜6$，x取不到端点值，
∴$y＞-\frac{53}{4}$，
综上，y的取值范围是$-\frac{53}{4}＜y≤-1$。
2.(4) 猜想最高点坐标为$(e,\frac{d}{2})$，理由如下：
设点P坐标为$(x,y)$，则M点坐标为$(x,0)$，
由$PA=PM$得：$(x-e)^2+(y-d)^2=y^2$，
展开整理得：$y=\frac{1}{2d}(x-e)^2+\frac{d}{2}$，
∵$d＜0$，
∴二次项系数$\frac{1}{2d}＜0$，抛物线开口向下，顶点处取最大值，
∴最高点坐标为$(e,\frac{d}{2})$。
【答案】
1.(1) $950×950$的积最大，理由见解析。
1.(2) 利用二次函数的性质求面积的最大值问题(答案不唯一)。
2.(1) $-\frac{13}{4}$；$-2$
2.(2) $y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}$
2.(3) $-\frac{53}{4}＜y≤-1$
2.(4) 曲线L的最高点的坐标为$(e,\frac{d}{2})$，理由见解析。
【知识点】
1.二次函数最值应用
2.垂直平分线的性质
3.二次函数图象与性质
【点评】
本题将代数计算与几何性质相结合，既考查了二次函数在实际最值问题中的应用，又考查了利用几何等量关系推导函数解析式的能力，要求学生熟练掌握数形结合思想，灵活运用二次函数性质解决问题。
【难度系数】
0.6
1.(1) 要找符合条件的两个三位数乘积的最大值，可设其中一个数的后两位为x，另一个数的后两位为(100-x)，将乘积表示为关于x的二次函数，利用开口向下的二次函数在顶点处取最大值的性质求解即可。
1.(2) 结合二次函数可求最值的特点，列举生活或学习中相关的应用实例即可，如面积最值、利润最值等。
2.(1) 代入特殊的M点坐标，利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，结合勾股定理计算对应P点的纵坐标即可。
2.(2) 设P(x,y)，由l₂垂直x轴可得M点坐标为(x,0)，根据垂直平分线性质得PA=PM，利用两点间距离公式列等式，化简后即可得到曲线L的解析式。
2.(3) 将二次函数解析式配方找到对称轴，结合x的取值范围(-7＜x＜6)，分别计算顶点和区间端点的函数值，即可得到y的取值范围。
2.(4) 类比(2)的推导方法，设P(x,y)，根据PA=PM列等式化简得到二次函数解析式，结合d＜0判断二次函数开口方向，顶点即为最高点，求出顶点坐标即可。
【解析】
1.(1) 设其中一个乘数的后两位为x（x为1到99的正整数），则另一个乘数的后两位为100-x，两个数的乘积为：
$W=(900+x)(900+100-x)=(900+x)(1000-x)$
展开得：$W=-x^2+100x+900000$
这是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-1)}=50$，因此当x=50时，W取最大值，此时两个乘数均为$900+50=950$，即$950×950$的积最大。
1.(2) 示例：利用二次函数的性质求周长固定的矩形的最大面积问题（答案不唯一，合理即可）。
2.(1) 代入对应M点坐标，参考题干示例的计算方法，可得两个空依次为$-\frac{13}{4}$、$-2$。
2.(2) 设点P的坐标为$(x,y)$：
∵$l_2$是过M且垂直于x轴的直线，
∴点M的坐标为$(x,0)$，
∵点P在AM的垂直平分线上，
∴$PA=PM$，
由两点间距离公式得：$PA^2=(x+1)^2+(y+2)^2$，$PM^2=y^2$，
列等式：$(x+1)^2+(y+2)^2=y^2$，
展开整理得：$4y=-x^2-2x-5$，即$y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}$，即为曲线L的解析式。
2.(3) 将解析式配方得：
$y=-\frac{1}{4}(x+1)^2-1$，
可知抛物线开口向下，对称轴为$x=-1$，
当$x=-1$时，y取最大值为$-1$；
计算区间端点函数值：当$x=-7$时，$y=-10=-\frac{40}{4}$；当$x=6$时，$y=-\frac{53}{4}$，
∵$-7＜x＜6$，x取不到端点值，
∴$y＞-\frac{53}{4}$，
综上，y的取值范围是$-\frac{53}{4}＜y≤-1$。
2.(4) 猜想最高点坐标为$(e,\frac{d}{2})$，理由如下：
设点P坐标为$(x,y)$，则M点坐标为$(x,0)$，
由$PA=PM$得：$(x-e)^2+(y-d)^2=y^2$，
展开整理得：$y=\frac{1}{2d}(x-e)^2+\frac{d}{2}$，
∵$d＜0$，
∴二次项系数$\frac{1}{2d}＜0$，抛物线开口向下，顶点处取最大值，
∴最高点坐标为$(e,\frac{d}{2})$。
【答案】
1.(1) $950×950$的积最大，理由见解析。
1.(2) 利用二次函数的性质求面积的最大值问题(答案不唯一)。
2.(1) $-\frac{13}{4}$；$-2$
2.(2) $y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}$
2.(3) $-\frac{53}{4}＜y≤-1$
2.(4) 曲线L的最高点的坐标为$(e,\frac{d}{2})$，理由见解析。
【知识点】
1.二次函数最值应用
2.垂直平分线的性质
3.二次函数图象与性质
【点评】
本题将代数计算与几何性质相结合，既考查了二次函数在实际最值问题中的应用，又考查了利用几何等量关系推导函数解析式的能力，要求学生熟练掌握数形结合思想，灵活运用二次函数性质解决问题。
【难度系数】
0.6
