完全平方公式
两个数的和(或差)的平方,等于它们的,加上(或减去)它们的积的.
用字母表示为$(a+b)^2=$,
$(a-b)^2=$.

1. 平方和
2. 2倍
3. $a^2+2ab+b^2$
4. $a^2-2ab+b^2$

典例1 运用完全平方公式计算：
(1)$(2x+3y)^2$；
(2)$(\dfrac{1}{3}m - \dfrac{1}{2}n)^2$；
(3)$(3x - y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)$。

(1) $(2x+3y)^2=(2x)^2+2·(2x)·(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy+9y^2.$
(2) $(\frac{1}{3}m-\frac{1}{2}n)^2=(\frac{1}{3}m)^2-2·(\frac{1}{3}m)·(\frac{1}{2}n)+(\frac{1}{2}n)^2=\frac{1}{9}m^2-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{4}n^2.$
(3) $(3x-y)^2-(x-2y)(x+2y)=9x^2-6xy+y^2-x^2+4y^2=8x^2-6xy+5y^2.$

举一反三 运用完全平方公式计算：
(1)$(-cd+\frac{1}{2})^2$；
(2)$(-a-b)^2$；
(3)$(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2$。

(1) $(-cd+\frac{1}{2})^2=(\frac{1}{2}-cd)^2=(\frac{1}{2})^2 - 2·(cd)·(\frac{1}{2}) + (cd)^2=\frac{1}{4}-cd+c^2d^2.$
(2) $(-a-b)^2=[-(a+b)]^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$
(3) $(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^2=9y^2-16x^2-16x^2-24xy-9y^2=-32x^2-24xy.$

2. 完全平方公式的应用
典例2 (1)运用完全平方公式计算：
①$50.01^2$；
②$49.9^2$。
(2)已知$(x+y)^2=16,(x-y)^2=4$,求$xy$的值。
规律方法 (1)运用完全平方公式进行计算时,关键是把已知数拆成适当两数(容易平方的数)的和或差的形式.
(2)完全平方公式的常见变形：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$；
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$；
$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$。
举一反三 (1)计算：
①$105^2$；
②$199^2$。

(1)① $105^2=(100+5)^2=100^2+2×100×5+5^2=10 000+1 000+25=11 025$.
② $199^2=(200-1)^2=200^2-2×200×1+1^2=40 000-400+1=39 601$.
(2) $\because (a+b)^2=13,(a-b)^2=7$,
$\therefore a^2+2ab+b^2=13,①$
$a^2-2ab+b^2=7,②$
①+②,得$2a^2+2b^2=20$,
$\therefore a^2+b^2=10$.
①-②,得$4ab=6$,
$\therefore ab=\frac{3}{2}$.