【例1】如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P.
(1)判断CE与BF的数量关系，并说明理由；
(2)求∠BPC的度数.

解:

1. CE=BF.理由如下：
因为△ABC 是等边三角形，
所以 BC=AB,∠A=∠EBC=60°.
又因为 BE=AF，
所以△BCE≌△ABF(SAS),所以 CE=BF.
2. 120°.

【例2】如图，$△ ABC$是等边三角形，且$∠ 1=∠ 2=∠ 3$.试判断$△ DEF$的形状，并简要说明理由.

解:

△DEF 是等边三角形.理由如下：
因为△ABC 是等边三角形，
所以∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
因为∠1=∠2=∠3，
所以 ∠DFE = ∠3 + ∠FAC = ∠1 + ∠FAC=∠BAC=60°.
同理∠DEF=∠EDF=60°.
所以△DEF 是等边三角形.

|一题多变|
（交换条件和结论）若结论“$△ DEF$是等边三角形”和条件“$△ ABC$是等边三角形”互换位置，如何证明？
【规律方法】
1.等边三角形性质定理的应用思路
若图形中存在等边三角形，可挖掘出隐含的相等边与$60°$的角这些条件；若涉及等边三角形某条边上的高，可借助等腰三角形“三线合一”的性质来推导或计算。
2.等边三角形的判定方法的选择
(1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角形是等边三角形”来判定。
(2)若已知三角关系，则考虑用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定。
(3)若已知该三角形是等腰三角形，则考虑用“有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形”来判定。

证明:因为△DEF是等边三角形，
所以∠DFE=60°.
又因为∠DFE=∠3+∠FAC,∠1=∠3，
所以∠BAC = ∠1 + ∠FAC = ∠3 + ∠FAC=60°.
同理∠ABC=∠ACB=60°.
所以△ABC是等边三角形。

变式训练
1.已知等腰三角形的一个外角是$120°$,则它是三角形.
2.如图,在等边三角形$ABC$中,$AC=10$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,则$BD$的长为.

1. 等边
2. 5