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10.如图，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线，点$D$在$BC$上，且$AD=AB$，过点$C$作$AB$的平行线，交$AD$的延长线于点$E$，$CF⊥ AE$于点$F$.请你用等式表示线段$AF$，$AB$，$AC$之间的数量关系，并证明.
答案
10. 解:$2AF=AB+AC$.证明如下：
因为$AD$是$∠BAC$的平分线，
所以$∠BAD=∠CAD$.
因为$AB// CE$，
所以$∠B=∠BCE$,$∠BAD=∠E$，
所以$∠CAD=∠E$,所以$AC=CE$.
因为$AB=AD$,所以$∠B=∠ADB$，
所以$∠BCE=∠ADB$.
因为$∠ADB=∠CDE$，
所以$∠BCE=∠CDE$，
所以$CE=ED$,所以$AC=CE=ED$.
因为$CF⊥AE$,所以$AE=2AF$.
因为$AE=AD+ED$，
所以$AE=AB+AC$，
所以$2AF=AB+AC$.
因为$AD$是$∠BAC$的平分线，
所以$∠BAD=∠CAD$.
因为$AB// CE$，
所以$∠B=∠BCE$,$∠BAD=∠E$，
所以$∠CAD=∠E$,所以$AC=CE$.
因为$AB=AD$,所以$∠B=∠ADB$，
所以$∠BCE=∠ADB$.
因为$∠ADB=∠CDE$，
所以$∠BCE=∠CDE$，
所以$CE=ED$,所以$AC=CE=ED$.
因为$CF⊥AE$,所以$AE=2AF$.
因为$AE=AD+ED$，
所以$AE=AB+AC$，
所以$2AF=AB+AC$.
11.(新定义题)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形.请完成以下操作:(以下问题所指的等腰三角形个数均不包括$△ ABC$)
(1)在图①中画1条线段,使图①中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角的度数;
(2)在图②中画2条线段,使图②中有4个等腰三角形;
(3)继续按以上操作发现:在$△ ABC$中画$n$条线段,则图中有
(1)在图①中画1条线段,使图①中有2个等腰三角形,并直接写出这2个等腰三角形的顶角的度数;
(2)在图②中画2条线段,使图②中有4个等腰三角形;
(3)继续按以上操作发现:在$△ ABC$中画$n$条线段,则图中有
$2n$
个等腰三角形,其中有$n$
个黄金等腰三角形.答案
11. 解:(1)如图①所示,因为 $AB = AC$,$∠A=36°$，
所以当$AE=BE$时,$∠A=∠ABE=36°$,则$∠AEB=108°$,所以$∠EBC=36°$，
所以这2个等腰三角形的顶角的度数分别是$108°$和$36°$(画法不唯一).
(2)如图②所示(画法不唯一).
(3)由上述可知,画1条线段可得到2个等腰三角形,其中有1个黄金等腰三角形；
画2条线段可得到4个等腰三角形,其中有2个黄金等腰三角形；
如图③所示,画3条线段可得到6个等腰三角形,其中有3个黄金等腰三角形；
……
所以在$△ABC$中画$n$条线段,则图中有$2n$个等腰三角形,其中有$n$个黄金等腰三角形.
配图：
