9. 思维探索转化【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形：
(1)如图①，若∠ABC=2∠C，可作BD平分∠ABC，则△BCD是等腰三角形，请给出证明。
(2)如图②，若∠ABC=2∠C，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD，则是等腰三角形(除△ABD之外)。
(3)如图③，若∠B=2∠ACB，以C为顶点，CA为一边，在△ABC外作∠ACD=，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形。
(4)【解决问题】如图④，在△ABC中，∠C=2∠B，BC=2AC，求证：∠A=90°。

9. (1)【证明】$\because BD$平分$∠ABC,\therefore ∠ABC=2∠DBC.$
$\because ∠ABC=2∠C,\therefore ∠DBC=∠C,\therefore BD=CD,$
$\therefore △BCD$是等腰三角形.
(2)【解】$△ACD$ 分析：$\because BD=BA,\therefore ∠BAD=∠D.$
$\because ∠ABC=∠BAD+∠D,\therefore ∠ABC=2∠D.$
$\because ∠ABC=2∠C,\therefore ∠C=∠D,\therefore AD=AC,$
$\therefore △ACD$是等腰三角形.
(3)【解】$∠ACB$ 分析：$\because ∠ACD=∠ACB,$
$\therefore ∠BCD=2∠ACB.$
$\because ∠B=2∠ACB,\therefore ∠BCD=∠B,\therefore DB=DC,$
$\therefore △DBC$是等腰三角形.
(4)【证明】如图,在 BC 的延长线上截取$CH=AC$,在 BC 上截取$CE=CA$,连接 AE,AH.
$\because BC=2AC,\therefore BE=CE=AC.$
$\because AC=CH,\therefore ∠H=∠CAH,$
$\therefore ∠ACB=∠H+∠CAH=2∠H.$
又$∠ACB=2∠B,\therefore ∠H=∠B,$
$\therefore AH=AB$,且$BE=EC=AC=CH,$
$\therefore △ABE≌△AHC(SAS),\therefore AE=AC,$
$\therefore AE=AC=CE,\therefore △ACE$是等边三角形，
$\therefore ∠ACB=60^{\circ },\therefore ∠B=\frac {1}{2}∠ACB=30^{\circ },\therefore ∠BAC=90^{\circ }.$