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1. 如图，点$A$，$B$，$C$，$P$在$\odot O$上，$CD \perp OA$，$CE \perp OB$，垂足分别为$D$，$E$，$\angle DCE = 40^{\circ}$，则$\angle P$的度数为______°。
答案
70
解析
证明：
∵ $CD \perp OA$，$CE \perp OB$，
∴ $\angle ODC = \angle OEC = 90°$。
在四边形 $ODCE$ 中，
$\angle DOE + \angle ODC + \angle DCE + \angle OEC = 360°$，
∵ $\angle DCE = 40°$，
∴ $\angle DOE = 360° - 90° - 90° - 40° = 140°$，即 $\angle AOB = 140°$。
∵ $\angle P$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 所对的圆周角，$\angle AOB$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 所对的圆心角，
∴ $\angle P = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} × 140° = 70°$。
70
∵ $CD \perp OA$，$CE \perp OB$，
∴ $\angle ODC = \angle OEC = 90°$。
在四边形 $ODCE$ 中，
$\angle DOE + \angle ODC + \angle DCE + \angle OEC = 360°$，
∵ $\angle DCE = 40°$，
∴ $\angle DOE = 360° - 90° - 90° - 40° = 140°$，即 $\angle AOB = 140°$。
∵ $\angle P$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 所对的圆周角，$\angle AOB$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 所对的圆心角，
∴ $\angle P = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} × 140° = 70°$。
70
2. 如图，点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$都在$\odot O$上，$\angle BAC = 35^{\circ}$，$\angle CED = 40^{\circ}$，则$\angle BOD =$______°。
答案
150
解析
解：连接OC。
∵∠BAC=35°，
∴∠BOC=2∠BAC=70°。
∵∠CED=40°，
∴∠COD=2∠CED=80°。
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=70°+80°=150°。
150
∵∠BAC=35°，
∴∠BOC=2∠BAC=70°。
∵∠CED=40°，
∴∠COD=2∠CED=80°。
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=70°+80°=150°。
150
3. 如图，$AB$，$AC$分别是$\odot O$的直径和弦，$OD \perp AC$于点$D$，连接$BD$，$BC$，且$AB = 10$，$AC = 8$，则$BD$的长为______。
答案
$2\sqrt{13}$
4. 如图，点$A$，$B$，$C$，$D$都在$\odot O$上，$AC$，$BD$相交于点$E$，则$\angle ABD =\angle$______。
答案
ACD
解析
证明：
∵点$A$，$B$，$C$，$D$都在$\odot O$上，
$\angle ABD$与$\angle ACD$所对的弧都是$\overset{\frown}{AD}$，
∴$\angle ABD = \angle ACD$。
ACD
∵点$A$，$B$，$C$，$D$都在$\odot O$上，
$\angle ABD$与$\angle ACD$所对的弧都是$\overset{\frown}{AD}$，
∴$\angle ABD = \angle ACD$。
ACD
5. 如图，在$\odot O$中，弦$AB$，$DC$的延长线相交于点$P$，如果$\angle AOD = 120^{\circ}$，$\angle BDC = 25^{\circ}$，那么$\angle P =$______°。
答案
35
解析
证明：连接 $BC$。
因为 $\angle AOD = 120°$，所以 $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle AOD = 60°$（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）。
因为 $\angle BDC = 25°$，且 $\angle ABD = \angle BDC + \angle P$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），所以 $\angle P = \angle ABD - \angle BDC = 60° - 25° = 35°$。
$35$
因为 $\angle AOD = 120°$，所以 $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle AOD = 60°$（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）。
因为 $\angle BDC = 25°$，且 $\angle ABD = \angle BDC + \angle P$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），所以 $\angle P = \angle ABD - \angle BDC = 60° - 25° = 35°$。
$35$
6. 如图，半径为$2$的$\odot O_1$和$\odot O_2$的圆心$O_1$，$O_2$都在线段$AB$上，$O_2$还在$\odot O_1$上，两圆交点为$C$，过点$C$作$CD \perp AB$于点$E$，并交$\odot O_1$于点$D$，求$\angle DAB$的大小和$AD$的长。
答案
30；$2\sqrt{3}$
解析
解：连接$O_1C$，$O_2C$，$O_1D$。
因为$\odot O_1$和$\odot O_2$半径均为$2$，且$O_2$在$\odot O_1$上，所以$O_1O_2 = 2$。
$O_1C = O_2C = 2$，故$\triangle O_1CO_2$是等边三角形，$\angle CO_1O_2 = 60°$。
$CD \perp AB$，$O_1C = O_1D = 2$，所以$CE = DE$，$\angle CO_1E = \angle DO_1E = 60°$。
在$Rt\triangle O_1ED$中，$\angle O_1DE = 30°$，$O_1E = \frac{1}{2}O_1D = 1$，$DE = \sqrt{O_1D^2 - O_1E^2} = \sqrt{3}$。
$O_1A = 2$，$AD^2 = (O_1A + O_1E)^2 + DE^2 = (2 + 1)^2 + (\sqrt{3})^2 = 12$，$AD = 2\sqrt{3}$。
$\angle DAB = \angle O_1DE = 30°$。
$\angle DAB = 30°$，$AD = 2\sqrt{3}$。
30；$2\sqrt{3}$
因为$\odot O_1$和$\odot O_2$半径均为$2$，且$O_2$在$\odot O_1$上，所以$O_1O_2 = 2$。
$O_1C = O_2C = 2$，故$\triangle O_1CO_2$是等边三角形，$\angle CO_1O_2 = 60°$。
$CD \perp AB$，$O_1C = O_1D = 2$，所以$CE = DE$，$\angle CO_1E = \angle DO_1E = 60°$。
在$Rt\triangle O_1ED$中，$\angle O_1DE = 30°$，$O_1E = \frac{1}{2}O_1D = 1$，$DE = \sqrt{O_1D^2 - O_1E^2} = \sqrt{3}$。
$O_1A = 2$，$AD^2 = (O_1A + O_1E)^2 + DE^2 = (2 + 1)^2 + (\sqrt{3})^2 = 12$，$AD = 2\sqrt{3}$。
$\angle DAB = \angle O_1DE = 30°$。
$\angle DAB = 30°$，$AD = 2\sqrt{3}$。
30；$2\sqrt{3}$
7. 如图，点$A$，$B$，$C$，$D$在$\odot O$上，$\overset{\frown}{CB} = \overset{\frown}{CD}$，$\angle CAD = 30^{\circ}$，$\angle ACD = 50^{\circ}$，求$\angle ADB$。
答案
70°
解析
证明：在$\triangle ACD$中，$\angle CAD=30°$，$\angle ACD=50°$，
$\angle ADC=180°-\angle CAD-\angle ACD=180°-30°-50°=100°$。
$\because\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore CB=CD$，$\angle CAB=\angle CAD=30°$，
$\angle ABC=\angle ADC=100°$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=180°-\angle CAB-\angle ABC=180°-30°-100°=50°$。
$\angle ADB=\angle ACB=50°$。
$50°$
$\angle ADC=180°-\angle CAD-\angle ACD=180°-30°-50°=100°$。
$\because\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore CB=CD$，$\angle CAB=\angle CAD=30°$，
$\angle ABC=\angle ADC=100°$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=180°-\angle CAB-\angle ABC=180°-30°-100°=50°$。
$\angle ADB=\angle ACB=50°$。
$50°$
