【拓展延伸】(2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究,如图②,BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线,同学们将该平行四边形纸片翻折,使点A的对应点G,点C的对应点H都落在对角线BD上,折痕分别是BE和DF,将纸片展平,连接EG,FH,FG,同学们探究后发现,若FG//CD,那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”,即$BG^2 = BD · GD$.请你判断同学们的发现是否正确,并说明理由.

7.【解】(1)$\frac{EF}{BG}=\frac{AB}{BC}$正确. 理由如下：
过点E作EM⊥BC于点M.
由题知EF⊥BG,
∴∠BHF=90°,
∴∠FBH+∠BFH=90°.
∵∠EMF=90°,
∴∠MEF+∠BFH=90°,
∴∠FBH=∠MEF.
又
∵∠EMF=∠C=90°,
∴△EMF∽△BCG.
∴$\frac{EF}{BG}=\frac{EM}{BC}$.
∵四边形ABCD是矩形,EM⊥BC,
∴四边形ABME是矩形.
∴AB=EM,
∴$\frac{EF}{BG}=\frac{AB}{BC}$.
(2)正确.理由如下：
∵CD//FG,
∴$\frac{CD}{FG}=\frac{BD}{BG}$,∠CDF=∠DFG.
由折叠知∠CDF=∠BDF,
∴∠DFG=∠BDF.
∴GD=GF.
∴$\frac{CD}{GD}=\frac{BD}{BG}$.
由平行四边形及折叠的性质知AB=BG,AB=CD,
∴CD=BG.
∴$\frac{BG}{GD}=\frac{BD}{BG}$,
即$BG^2=BD·GD$.
∴点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”.

8. 如图,在矩形ABCD中,E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使A的对称点P落在CD上,B的对称点为G,PG交BC于点H.
(1)求证:$△ EDP ∽ △ PCH$;
(2)若P为CD的中点,且$AB=2$,$BC=3$,则$GH=$;
(3)连接BG,若P为CD的中点,H为BC的中点,探究BG与AB的数量关系,并说明理由.

8. (1)【证明】如图①.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°.
∴∠1+∠3=90°.
由翻折的性质知∠EPH=∠A=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∴∠3=∠2,
∴△EDP∽△PCH.

(2)$\frac{3}{4}$ 【点拨】
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2,AD=BC=3.
∵P为CD的中点,
∴DP=CP=$\frac{1}{2}×2=1$.
由翻折的性质知AE=EP,设EP=AE=x,
∴ED=3−x.
在Rt△EDP中,$EP^2=ED^2+DP^2$,
即$x^2=(3−x)^2+1$,解得$x=\frac{5}{3}$,
∴EP=AE=$\frac{5}{3}$,ED=$\frac{4}{3}$.
∵△EDP∽△PCH,
∴$\frac{ED}{PC}=\frac{EP}{PH}$,即$\frac{\frac{4}{3}}{1}=\frac{\frac{5}{3}}{PH}$,解得$PH=\frac{5}{4}$.
易知PG=AB=2,
∴GH=PG−PH=$\frac{3}{4}$.
(3)【解】AB=$\sqrt{6}$BG. 理由如下：
如图②.延长AB,PG交于点M,连接AP.
易知AP⊥EF,BG⊥直线EF,
∴BG//AP.
由(1)(2)知,AE=EP,∠EPH=∠EAB=90°,
∴∠EAP=∠EPA.
∴∠BAP=∠GPA.
∴△MAP是等腰三角形.
∴MA=MP.
∵P为CD的中点,
∴设DP=CP=y,
∴AB=CD=2y.
∵H为BC的中点,
∴BH=CH.
∵∠BHM=∠CHP,∠HBM=∠PCH=90°,
∴△MBH≌△PCH.
∴BM=CP=y,HM=HP.
∴MP=MA=MB+AB=3y.
∴HP=$\frac{1}{2}PM=\frac{3}{2}y$.
在Rt△PCH中,CH = $\sqrt{PH^2−PC^2}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}y$,
∴BC=2CH=$\sqrt{5}y$.
∴AD=$\sqrt{5}y$.
在Rt△APD中,AP= $\sqrt{AD^2+PD^2}$ = $\sqrt{6}y$.
∵BG//AP,
∴△BMG∽△AMP.
∴$\frac{BG}{AP}=\frac{BM}{AM}=\frac{1}{3}$.
∴BG=$\frac{\sqrt{6}}{3}y$.
∴$\frac{AB}{BG}=\frac{2y}{\frac{\sqrt{6}}{3}y}=\sqrt{6}$.
∴AB=$\sqrt{6}$BG.