5. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$交$BC$于点$D$，$∠ C=2∠ B$，$CD=4$.
（1）若$∠ BAC=90°$，求$BD$的长度；
（2）若$AC=10$，求$BD$的长度.

5. (1) $\because ∠BAC=90°,\therefore ∠B+∠C=90°. \because ∠C=2∠B,\therefore ∠C=60°,∠B=30°. \therefore ∠CAD=30°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$∠CAD=30°,CD=4, \therefore AC=2CD=8.$ 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠B=30°,AC=8,\therefore BC=2AC=16. \therefore BD=BC-CD=12.$
(2) 如图,在 $BC$ 上取点 $E$,使 $AE=AC=10$,则$∠AEC=∠C. \because ∠AEC=∠EAB+∠B,∠C=2∠B,∠AED=∠C, \therefore ∠EAB=∠B. \therefore BE=AE=10. \because AD⊥BC,\therefore ED=CD=4. \therefore BD=BE+ED=14.$

1. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,$CD ⊥ AB$ 于点 $D$,下列结论:① $BC=\dfrac{1}{2}AB$;② $BD=\dfrac{1}{3}AD$;③ $CD=\dfrac{1}{2}AC$;④ $BD=\dfrac{1}{2}BC$.其中正确的有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. D

2. 如图，$∠ AOB=15°$，P是OA上的一点，点Q与点P关于OB对称，$QM⊥ OA$于点M，若$OP=6$，则QM的长为.

2. 3

3. 如图，$△ ABC$为等边三角形，$AE=CD$，$AD$，$BE$相交于点$P$，$BQ⊥ AD$于点$Q$，$PQ=3$，$PE=1$.
（1）求证：$AD=BE$；
（2）求$AD$的长.

3. (1) $\because △ABC$ 为等边三角形,$\therefore AB=CA=BC,∠BAE=∠C=60°.$ 在$△ABE$和$△CAD$中,$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠BAE=∠C, \\ AE=CD, \end{cases}$$\therefore △ABE≌△CAD(\mathrm{SAS}). \therefore AD=BE.$
(2) $\because △ABE≌△CAD$,$\therefore ∠CAD=∠ABE. \therefore ∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAE=60°. \because BQ⊥AD,\therefore ∠AQB=90°. \therefore ∠PBQ=90°-60°=30°. \because PQ=3,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△BPQ$ 中,$BP=2PQ=6.$ 又$\because PE=1,\therefore AD=BE=BP+PE=6+1=7.$