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6[中]如图,在数轴所在的平面内,一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位,其移动路线如图所示,第1次移动到$A_1$,第2次移动到$A_2$,第3次移动到$A_3$,…,第n次移动到$A_n$,则三角形$OA_2A_{2020}$的面积是(
A.$\frac{1009}{2}$
B.505
C.$\frac{1011}{2}$
D.506
B
)A.$\frac{1009}{2}$
B.505
C.$\frac{1011}{2}$
D.506
答案
B
【解析】由题意知,$A_2A_3=1$,因为$A_4$表示的数为2,$A_8$表示的数为4,$A_{12}$表示的数为6,…,所以可推导一般性规律:$A_{4n}$表示的数为2n,所以$A_{2020}$表示的数为1 010,所以$OA_{2020}=1 010$,所以$S_{三角形OA_2A_{2020}}=\frac{1}{2}×OA_{2020}×A_2A_3=\frac{1}{2}×1 010×1=505$,故选B.
关键点拨
根据题意推出$A_{4n}$表示的数为2n是解决此题的关键.
【解析】由题意知,$A_2A_3=1$,因为$A_4$表示的数为2,$A_8$表示的数为4,$A_{12}$表示的数为6,…,所以可推导一般性规律:$A_{4n}$表示的数为2n,所以$A_{2020}$表示的数为1 010,所以$OA_{2020}=1 010$,所以$S_{三角形OA_2A_{2020}}=\frac{1}{2}×OA_{2020}×A_2A_3=\frac{1}{2}×1 010×1=505$,故选B.
关键点拨
根据题意推出$A_{4n}$表示的数为2n是解决此题的关键.
7[2026河南郑州质检,中]已知a是最小的正整数,b是-7的相反数,c=-|-2|,且数a,b,c分别是数轴上点A,B,C对应的数,动点P从点A出发沿数轴正方向匀速运动,动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向匀速运动.点P的速度是每秒2个单位长度,点Q的速度是每秒1个单位长度,设点P的运动时间为t秒.
(1)a=
(2)当t=1时,P,Q两点之间的距离为
(3)若点P,Q出发的同时,点M从点C出发沿数轴正方向匀速运动,速度为每秒4个单位长度,则运动时间为几秒时,M能追上P?运动时间为几秒时,M能追上Q?
(1)a=
1
,b=7
,c=-2
;(2)当t=1时,P,Q两点之间的距离为
5
;(3)若点P,Q出发的同时,点M从点C出发沿数轴正方向匀速运动,速度为每秒4个单位长度,则运动时间为几秒时,M能追上P?运动时间为几秒时,M能追上Q?
答案
(1)1,7,-2 (2)5 (3)运动时间为$\frac{3}{2}$秒时,M能追上P,运动时间为3秒时,M能追上Q.
【解】(1)因为a是最小的正整数,b是-7的相反数,c=-|-2|,所以a=1,b=7,c=-2. 故答案为1,7,-2.
(2)当t=1时,点P对应的数为1+2×1=3,点Q对应的数为7+1×1=8,|8-3|=5,所以P,Q两点之间的距离为5. 故答案为5.
(3)由题意可得t秒后M对应的数为-2+4t,P对应的数为1+2t,Q对应的数为7+t. 当M追上P时,2t+1=-2+4t,解得$t=\frac{3}{2}$,当M追上Q时,-2+4t=7+t,解得t=3,所以运动时间为$\frac{3}{2}$秒时,M能追上P,运动时间为3秒时,M能追上Q.
【解】(1)因为a是最小的正整数,b是-7的相反数,c=-|-2|,所以a=1,b=7,c=-2. 故答案为1,7,-2.
(2)当t=1时,点P对应的数为1+2×1=3,点Q对应的数为7+1×1=8,|8-3|=5,所以P,Q两点之间的距离为5. 故答案为5.
(3)由题意可得t秒后M对应的数为-2+4t,P对应的数为1+2t,Q对应的数为7+t. 当M追上P时,2t+1=-2+4t,解得$t=\frac{3}{2}$,当M追上Q时,-2+4t=7+t,解得t=3,所以运动时间为$\frac{3}{2}$秒时,M能追上P,运动时间为3秒时,M能追上Q.
8[2026浙江温州期中,较难]如图(1),数轴上点A表示的数为-5,点B表示的数为13,点P是数轴上的一个动点.
(1)若点P到点A的距离为a,点P到点B的距离为b.
①当a=b时,求点P表示的数.
②当a:b=1:2时,求点P表示的数.
(2)如图(2),数轴上动点Q在动点P右侧,并且始终与动点P保持1个单位长度的距离,A,B,P,Q四个点中,记其中两个点的距离为x,剩余两个点的距离为y,当P,Q在A,B之间运动时,若x:y=1:2,求点P表示的数.
(1)若点P到点A的距离为a,点P到点B的距离为b.
①当a=b时,求点P表示的数.
②当a:b=1:2时,求点P表示的数.
(2)如图(2),数轴上动点Q在动点P右侧,并且始终与动点P保持1个单位长度的距离,A,B,P,Q四个点中,记其中两个点的距离为x,剩余两个点的距离为y,当P,Q在A,B之间运动时,若x:y=1:2,求点P表示的数.
答案
(1)①4 ②-23或1 (2)$\frac{2}{3}$或$\frac{19}{3}$或$\frac{1}{3}$或$\frac{20}{3}$
【解】(1)①$AB=13-(-5)=18,18÷2=9$. 当a=b时,点P表示的数为-5+9=4.
②当a:b=1:2时,若P在点A左侧,则PA=AB=13-(-5)=18,所以点P表示的数为-5-18=-23;若P在点A,B之间,18÷3=6,所以点P表示的数为-5+6=1,所以点P表示的数为-23或1.
(2)①当AP=x,BQ=y时,PA:BQ=1:2. 因为x+y=13-(-5)-1=17,所以点P表示的数为$-5+\frac{17}{3}=\frac{2}{3}$.
②当BQ=x,AP=y时,BQ:PA=1:2. 因为x+y=13-(-5)-1=17,
所以点P表示的数为$-5+\frac{17}{3}×2=\frac{19}{3}$.
③当AQ=x,BP=y时,AQ:BP=1:2. 因为x+y=13-(-5)+1=19,
所以点P表示的数为$-5+\frac{19}{3}-1=\frac{1}{3}$.
④当AQ=y,BP=x时,BP:AQ=1:2. 因为x+y=13-(-5)+1=19,
所以点P表示的数为$-5+\frac{19}{3}×2-1=\frac{20}{3}$.
综上,点P表示的数为$\frac{2}{3}$或$\frac{19}{3}$或$\frac{1}{3}$或$\frac{20}{3}$.
【解】(1)①$AB=13-(-5)=18,18÷2=9$. 当a=b时,点P表示的数为-5+9=4.
②当a:b=1:2时,若P在点A左侧,则PA=AB=13-(-5)=18,所以点P表示的数为-5-18=-23;若P在点A,B之间,18÷3=6,所以点P表示的数为-5+6=1,所以点P表示的数为-23或1.
(2)①当AP=x,BQ=y时,PA:BQ=1:2. 因为x+y=13-(-5)-1=17,所以点P表示的数为$-5+\frac{17}{3}=\frac{2}{3}$.
②当BQ=x,AP=y时,BQ:PA=1:2. 因为x+y=13-(-5)-1=17,
所以点P表示的数为$-5+\frac{17}{3}×2=\frac{19}{3}$.
③当AQ=x,BP=y时,AQ:BP=1:2. 因为x+y=13-(-5)+1=19,
所以点P表示的数为$-5+\frac{19}{3}-1=\frac{1}{3}$.
④当AQ=y,BP=x时,BP:AQ=1:2. 因为x+y=13-(-5)+1=19,
所以点P表示的数为$-5+\frac{19}{3}×2-1=\frac{20}{3}$.
综上,点P表示的数为$\frac{2}{3}$或$\frac{19}{3}$或$\frac{1}{3}$或$\frac{20}{3}$.
