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1[中]如图，$∠ AOB = α$，$OA_1, OB_1$分别是$∠ AOM$和$∠ MOB$的平分线，$OA_2, OB_2$分别是$∠ A_1OM$和$∠ MOB_1$的平分线，$OA_3, OB_3$分别是$∠ A_2OM$和$∠ MOB_2$的平分线，…，$OA_n, OB_n$分别是$∠ A_{n-1}OM$和$∠ MOB_{n-1}$的平分线，则$∠ A_nOB_n$的度数是（
A.$\frac{α}{n}$
B.$\frac{α}{2^{n-1}}$
C.$\frac{α}{2^{n}}$
D.$\frac{α}{n^2}$
C
）A.$\frac{α}{n}$
B.$\frac{α}{2^{n-1}}$
C.$\frac{α}{2^{n}}$
D.$\frac{α}{n^2}$
答案
1.C 【解析】因为∠AOB=α,OA₁,OB₁分别是∠AOM和∠MOB的平分线,所以∠A₁OM=1/2∠AOM, ∠B₁OM = 1/2 ∠BOM, 所以∠A₁OB₁=1/2(∠AOM+∠BOM)=1/2∠AOB=1/2α. 因为OA₂,OB₂分别是∠A₁OM和∠MOB₁的平分线,所以∠A₂OM=1/2∠A₁OM,∠B₂OM=1/2∠B₁OM, 所以∠A₂OB₂ = 1/2 (∠A₁OM + ∠B₁OM)=1/2∠A₁OB₁=1/2×1/2α=1/4α=α/2². 因为OA₃,OB₃分别是∠A₂OM和∠MOB₂的平分线,所以∠A₃OM = 1/2 ∠A₂OM, ∠B₃OM = 1/2∠B₂OM, 所以∠A₃OB₃ = 1/2 (∠A₂OM + ∠B₂OM)=1/2∠A₂OB₂=1/8α=α/2³,…,由此规律得∠AₙOBₙ=α/2ⁿ. 故选 C.
思路分析
由角平分线的定义推得
∠A₁OB₁=1/2α
∠A₂OB₂=α/2²
∠A₃OB₃=α/2³
据此规律解答即可.
思路分析
由角平分线的定义推得
∠A₁OB₁=1/2α
∠A₂OB₂=α/2²
∠A₃OB₃=α/2³
据此规律解答即可.
2[中](1)如图,若$∠ AOB=120°$,$∠ AOC=40°$,OD,OE分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数；(2)若$∠ AOB$,$∠ AOC$是平面内两个角,$∠ AOB=m°$,$∠ AOC=n°(0＜n＜m＜180)$,OD,OE分别平分$∠ AOB$,$∠ AOC$,求$∠ DOE$的度数.(用含$m,n$的代数式表示)
答案
2.【解】(1)因为∠AOB=120°,OD平分∠AOB,所以∠AOD = ∠BOD = 1/2 ∠AOB = 60°. 因为OE平分∠AOC,∠AOC = 40°,所以∠AOE = 1/2∠AOC=20°,所以∠DOE=∠AOD-∠AOE=60°-20°=40°.
(2)若射线OC在∠AOB的内部,如
.因为∠AOB = m°, ∠AOC = n°, OD, OE 分别平分∠AOB,∠AOC, 所以 ∠DOE = ∠AOD - ∠AOE=1/2∠AOB-1/2∠AOC=1/2(m-n)°.
若射线OC在∠AOB外部,如
.因为∠AOB=m°,∠AOC=n°,OD,OE分别平分∠AOB,∠AOC,所以∠DOE=∠AOD+∠AOE=1/2∠AOB + 1/2∠AOC =1/2(n+m)°.
综上,∠DOE 的度数为 1/2 (m - n)° 或1/2(n+m)°.
思路分析
(2)由于无法确定射线OC的位置,所以需要分类讨论:射线OC在∠AOB 的内部和外部,然后利用角平分线的定义求解.
3[中]如图,已知在同一平面内,∠AOB=90°,∠AOC=60°.
(1)填空:∠BOC=
(2)如果OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,求∠DOE的度数;
(3)如果在(2)的条件下,将∠AOC=60°改为∠AOC=2α(0°＜α＜45°),其他条件不变,求∠DOE的度数.
(1)填空:∠BOC=
150°
;(2)如果OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,求∠DOE的度数;
(3)如果在(2)的条件下,将∠AOC=60°改为∠AOC=2α(0°＜α＜45°),其他条件不变,求∠DOE的度数.
答案
3.【解】(1)因为∠AOB=90°,∠AOC=60°,所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=150°,故答案为150°.
(2)由(1)知∠BOC = 150°. 因为 OD 平分∠BOC,所以∠DOC=1/2∠BOC=75°. 因为 OE 平分∠AOC,∠AOC = 60°, 所以 ∠COE = 1/2∠AOC = 30°, 所以 ∠DOE = ∠DOC - ∠COE=45°.
(3)因为∠AOB = 90°, ∠AOC = 2α, 所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2α. 因为 OD 平分∠BOC,所以∠DOC=1/2∠BOC=45°+α. 因为 OE 平分∠AOC,∠AOC=2α,所以∠COE=1/2∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC-∠COE=45°.
(2)由(1)知∠BOC = 150°. 因为 OD 平分∠BOC,所以∠DOC=1/2∠BOC=75°. 因为 OE 平分∠AOC,∠AOC = 60°, 所以 ∠COE = 1/2∠AOC = 30°, 所以 ∠DOE = ∠DOC - ∠COE=45°.
(3)因为∠AOB = 90°, ∠AOC = 2α, 所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2α. 因为 OD 平分∠BOC,所以∠DOC=1/2∠BOC=45°+α. 因为 OE 平分∠AOC,∠AOC=2α,所以∠COE=1/2∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC-∠COE=45°.
4[中]如图，$∠ AOB=126°$,射线OC在$∠ AOB$外,若OM平分$∠ BOC$,ON平分$∠ AOC$,则$∠ MON=$
117°
. 答案
4.117° 【解析】因为∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°,所以∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB. 因为 OM 平分∠BOC, ON 平分∠AOC, 所以∠MOC=1/2∠BOC,∠CON=1/2∠AOC,所以∠MON = ∠MOC + ∠CON = 1/2 ∠BOC + 1/2∠AOC=1/2(∠BOC+∠AOC)=1/2(360°-∠AOB)=180°-1/2∠AOB=180°-1/2×126°=117°,故答案为117°.
