1[中]如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它北偏东$30°$的方向上,海岛B在它南偏东$60°$方向上,则下列结论:①$∠ NOA=30°$;②图中$∠ NOB$的补角有两个,分别是$∠ SOB$和$∠ EOA$;③图中有4对互余的角;④货轮O在海岛B的北偏西$60°$的方向上.
其中正确的结论有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.D 【解析】由题可知∠NOA=30°,故①正确;因为∠SOB=60°,∠AON=30°,所以∠NOB=120°,∠EOA=60°,所以∠NOB 的补角有两个,即∠SOB 和∠EOA,故②正确;图中互余的角有∠NOA 和∠AOE,∠NOA 和∠BOS,∠BOE和∠AOE,∠BOE 和∠BOS,共4对,故③正确;根据方位角的意义可知,因为海岛 B 在货轮 O 的南偏东 60°方向上,所以货轮 O 在海岛B 的北偏西 60°的方向上,故④正确. 综上所述,正确的结论有4个,故选 D.

2[2026江苏无锡调研,较难]如图,点O是量角器的中心点,射线OM经过刻度线90.若$∠ AOB=∠ COD$,射线OA,OB分别经过刻度线40和60,$∠ COD$在射线OM的右侧.下列结论:①$∠ AOC=∠ BOD$;②若$∠ AOC$与$∠ BOC$互补,则射线OD经过刻度线165;③若$∠ MOC=3∠ COD$,则图中共有6对角互为余角.其中正确的个数为 ()

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

（第2题图）
（第4题图）

2.C 【解析】①因为∠AOB = ∠COD,所以∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC, 所以∠AOC = ∠BOD,故①正确. ②由题意可得∠AOB=60°−40°=20°=∠COD. 因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠AOB+∠BOC+∠BOC=180°,即20°+2∠BOC=180°,所以∠BOC=80°,所以60°+80°+20°=160°,即射线 OD 经过刻度线 160,故②错误. ③如图,因为∠MOC = 3∠COD =3∠AOB = 60°,∠MOB = 90°−60° =30°,所以∠BOC=90°,所以∠BOE+∠COF=90°,∠BOM 和∠COM 互为余角,所以∠BOE和∠COF 互为余角. 因为射线 OM 经过刻度线 90,所以∠EOM=∠FOM=90°,所以∠AOE和∠AOM,∠BOE 和∠BOM,∠COM 和∠COF,∠DOM 和∠DOF 互为余角,即共有6对角互为余角,故③正确. 所以正确结论的个数为2个. 故选 C.

3[中]若$∠β$是$∠α$的补角，$∠γ$是$∠α$的余角，且$∠β$与$∠γ$的和是$\frac{4}{3}$平角，则$∠β$是$∠α$的倍.

3.11 【解析】由题意得∠β+∠α = 180°,∠γ+∠α = 90°,∠β+∠γ = $\frac{4}{3}$×180° = 240°, 所以∠β=180°−∠α,∠γ=90°−∠α,所以180°−∠α+90°−∠α = 240°,解得∠α=15°,所以∠β=165°. 因为165÷15=11,所以∠β 是∠α的11倍,故答案为11.

4[中]如图,射线OC,OD在∠AOB内,∠AOB和∠BOC互为补角,∠BOD=$\frac{1}{3}$∠AOB.若∠COD比∠BOD大$m°$（$0 ＜ m ＜ 30$）,则∠AOC=°.(用含$m$的式子表示)

4.$\boldsymbol{(36-\dfrac{6}{5}m)}$ 【解析】因为∠AOB 和∠BOC互为补角,所以∠AOB+∠BOC = 180°. 因为∠BOD = $\frac{1}{3}$∠AOB,所以3∠BOD+∠BOC =180°,即∠BOC=180°−3∠BOD. 因为∠COD+∠BOD=∠BOC,所以180°−3∠BOD = ∠COD+∠BOD,所以∠COD+4∠BOD = 180°. 因为∠COD 比∠BOD 大 m°(0 ＜ m ＜ 30 ), 所以∠COD = ∠BOD+m°,所以5∠BOD+m°=180°,所以∠BOD = $(36-\dfrac{m}{5})°$,所以∠COD = $(36+\dfrac{4}{5}m)°$,所以∠BOC = $(72+\dfrac{3}{5}m)°$,所以∠AOB = 180°−∠BOC = $(108-\dfrac{3}{5}m)°$,所以∠AOC=∠AOB−∠BOC = $(108-\dfrac{3}{5}m)°-$$(72+\dfrac{3}{5}m)° = (36-\dfrac{6}{5}m)°$. 故答案为$(36-\dfrac{6}{5}m)$.

5[较难]将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O.
(1)如图(1)，若$∠ AOD=35°$，求$∠ BOC$的度数.
(2)若三角板$AOB$保持不动，将三角板$COD$的边$OD$与边$OA$重合，然后将其绕点$O$顺时针旋转，某一时刻的位置如图(2)所示.试猜想在旋转过程中，$∠ AOC$与$∠ BOD$有何数量关系？请说明理由.
刷素养 走向重高

5.【解】(1)因为∠AOD=35°,∠AOB=∠COD=90°,所以∠BOD=90°−35°=55°,所以∠BOC=90°−∠BOD=90°−55°=35°.
(2)∠AOC+∠BOD=180°. 理由如下:
当三角板 AOB 与三角板 DOC 有重叠部分时,因为∠AOB=∠COD=90°,所以∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°.
因为∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC,所以∠AOC+∠BOD=180°.
当三角板 AOB 与三角板 DOC 没有重叠部分时,∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°.
因为∠AOB=∠COD=90°,所以∠AOC+∠DOB=180°.

6 核心素养 几何直观 [2025福建厦门期末,较难]如图,点O在直线AB上,射线OD在射线OC的左侧,∠DOC=40°,∠AOC与∠AOE互补,且∠AOC＞90°.
(1)当射线OD在∠COE内部时,
①若∠AOC=120°,求∠DOE的度数;
②若OF是∠AOE内的一条射线,满足∠EOF=15°−$\frac{3}{4}$∠DOE,请判断OF是图中哪个角的平分线,并说明理由.
(2)探究∠COE与∠BOD之间的数量关系,并说明理由.

备用图

6.【解】(1)①因为∠AOC 与∠AOE 互补,∠AOC=120°,所以∠AOE = 180°−120° = 60°,所以∠COE = ∠AOC−∠AOE = 120°−60° = 60°. 因为∠DOC=40°,所以∠DOE=60°−40°=20°.
②OF 是∠AOC 的平分线. 理由如下:
设∠DOE = x°. 因为∠AOC 与∠AOE 互补,点O 在直线 AB 上,所以∠AOC+∠AOE = 180°=∠AOC+∠BOC,所以∠AOE = ∠BOC. 因为∠AOE+∠DOE+∠DOC+∠BOC = 180°,所以∠AOE+x°+40°+∠AOE = 180°,所以∠AOE =70°−$\frac{1}{2}x°$. 因为∠AOF = ∠AOE − ∠EOF =$(70°-\dfrac{1}{2}x°)-(15°-\dfrac{3}{4}x°)=55°+\dfrac{1}{4}x°$,所以∠COF = ∠COD + ∠DOE + ∠EOF = 40°+x°+$15°-\dfrac{3}{4}x°=55°+\dfrac{1}{4}x°$,所以∠AOF = ∠COF,所以 OF 是∠AOC 的平分线.
(2)$∠BOD+\dfrac{1}{2}∠COE=130°$. 理由:由(1)②知,∠AOE = ∠BOC, 所以∠COE = 180°−2∠AOE=2∠AOC−180°,所以∠AOC = 90°+$\dfrac{1}{2}∠COE$. 因为∠BOD = ∠BOC+40° = 180°−∠AOC + 40° = 220°−∠AOC, 所以 ∠AOC =220°−∠BOD, 所以 90°+$\dfrac{1}{2}∠COE$ = 220°−∠BOD,所以$∠BOD+\dfrac{1}{2}∠COE=130°$.