1[2026浙江杭州期末]如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E,点F是射线AB上任意一点,连结PF,则下列关系成立的是()

A.$PE=PF$
B.$PE＜PF$
C.$PE＞PF$
D.$PE≤ PF$

(第1题图)
(第2题图)

1.D 【解析】如图,作$PG ⊥ AF$于点 G. 因为点 P 是$∠ BAC$的平分线 AD 上一点,$PE ⊥ AC$于点 E,所以$PE=PG$. 因为$PG ≤ PF$,所以$PE ≤ PF$. 故选 D.

2[2026浙江杭州质检]如图，$△ ABC$中，三个内角的平分线交于点$O$，把$△ ABC$分成三部分，其面积分别为$S_1,S_2,S_3$，已知$S_1=3,S_2=2$，则$S_3$的值不可能为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

2.D 【解析】过 O 分别作三角形三边的垂线,垂足分别为 D,E,F,如图. 因为$△ ABC$的三个内角的平分线交于点 O,所以$OD = OE = OF$. 设 $OD = OE=OF=h$. 因为 $S_1=\frac{1}{2}OD · AB = \frac{1}{2}hAB$,$S_2=\frac{1}{2}OE · AC=\frac{1}{2}hAC$,$S_3=\frac{1}{2}OF · BC=\frac{1}{2}hBC$,所以$S_1+S_2=\frac{1}{2}hAB+\frac{1}{2}hAC=\frac{1}{2}h(AB+AC)$. 因为$AB+AC＞BC$,所以$S_1+S_2＞S_3$. 因为$S_1=3,S_2=2$,所以$S_3＜S_1+S_2=5$,所以$S_3$的值不可能为 5. 故选 D.

3[2025浙江嘉兴期中]如图，已知△ABC的周长是31，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=4，则△ABC的面积为。

3.62 【解析】如图,作$OE ⊥ AB$于 E,$OF ⊥ AC$于 F,连结 OA. 因为 BO 平分$∠ ABC$,$OD ⊥ BC$,$OE ⊥ AB$,所以$OE=OD=4$,同理,$OF=OD=4$. 因为 $△ ABC$ 的周长是 31,所以$AB+BC+CA=31$,所以$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}AB · OE+\frac{1}{2}BC · OD+\frac{1}{2}AC · OF=\frac{1}{2} × (AB+AC+BC) × 4=62$,故答案为 62.

4[2025江苏无锡梁溪区期中]如图,在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连结MN,MP平分∠AMN,NP平分∠MNB,若MN=4,△PMN的面积是6,△OMN的面积是9,则OM+ON的值是.

4. 10
添加辅助线
过角平分线上一点向该角的两边作垂线是常见的添加辅助线的方法,过点 P 分别向$∠ AMN$和$∠ MNB$两边作垂线,连结 OP,然后利用角平分线的性质得出$PF=PG=PE$,再利用面积法即可求出$OM+ON$的值.
【解析】如图,过点 P 作$PE ⊥ OB$,$PF ⊥ MN$,$PG ⊥ OA$,垂足分别为 E,F,G,连结 OP. 因为 MP 平分$∠ AMN$,NP 平分$∠ MNB$,所以$PF=PG=PE$. 因为$MN=4$,$△ PMN$的面积是 6,所以$\frac{1}{2}MN · PF=6$,所以$PF=3$,所以$PG=PE=3$. 因为$△ OMN$的面积是 9,所以$△ OMP$的面积+$△ ONP$的面积 = 15,所以$\frac{1}{2}OM · PG+\frac{1}{2}ON · PE=15$,所以$OM+ON=10$. 故答案为 10.

5[2025浙江温州质检]如图,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AC平分∠BAD,过点C作AB的垂线交AB于点E.求证:AE=$\frac{1}{2}(AB+AD)$.

5.【证明】如图,过 C 作$CM ⊥ AD$交 AD 延长线于 M. 因为 $CE ⊥ AB$,所以$∠ M = ∠ CEB = 90°$.
因为 AC 平分$∠ BAD$,$CM ⊥ AD$,$CE ⊥ AB$,所以$CM=CE$,$∠ MAC = ∠ EAC$.
在$△ MAC$和$△ EAC$中,$\begin{cases} ∠ MAC = ∠ EAC, \\ ∠ M = ∠ AEC = 90°, \\ AC = AC, \end{cases}$所以$△ MAC ≌ △ EAC(\mathrm{AAS})$,所以$AM=AE$.
因为$∠ ABC + ∠ ADC = 180°$,$∠ ADC + ∠ CDM = 180°$,所以$∠ ABC = ∠ CDM$.
在$△ DMC$和$△ BEC$中,$\begin{cases} ∠ CDM = ∠ CBE, \\ ∠ M = ∠ CEB, \\ CM = CE, \end{cases}$所以$△ DMC ≌ △ BEC(\mathrm{AAS})$,所以$BE=DM$,所以$AB+AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=2AM=2AE$,即$AE=\frac{1}{2}(AB+AD)$.

6[2025北京西城区期末]如图,在直角$△ ABC$中,$∠ C=90°$,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,AC于点D,E,再分别以点D,E为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$长为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若$CG=1$,$AB=4$,则点G到线段AB的距离是()

A.1
B.3
C.4
D.5

6.A 【解析】由作图得 AG 平分$∠ BAC$. 因为$∠ C=90°$,即$CG ⊥ AC$,所以点 G 到线段 AB 的距离等于 CG 的长,即点 G 到 AB 的距离为 1,故选 A.

7[2025广东广州期中]如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=45°,∠ACB=90°,∠ACD为△ABC的一个外角.
(1)请按以下要求画出图形,并在图中标明相应字母.
①尺规作图:作∠ACD的平分线CM(保留作图痕迹,不写作法);
②作AC的垂直平分线,与CM交于点F,与AC交于点N,与AB交于点E.
(2)求证:FN=EN.

7.(1)【解】①如图,CM 即为所作.
②如图,EF 即为所作.

(2)【证明】因为$∠ A = 45°$,$∠ ACB = 90°$,所以$∠ B = ∠ A = 45°$. 因为 CM 平分$∠ ACD$,$∠ ACD = 90°$,所以$∠ MCA = 45°$,所以$∠ FCN = ∠ A = 45°$.
由作图可知$AN = CN$. 在$△ ANE$和$△ CNF$中,
$\begin{cases} ∠ A = ∠ FCN, \\ AN = CN, \\ ∠ ANE = ∠ CNF, \end{cases}$所以$△ ANE ≌ △ CNF(\mathrm{ASA})$,所以$FN = EN$.