1[中]已知一次函数$y=kx-2k+1(k≠0)$，回答下列问题：
(1)若该函数的图象过原点，求$k$的值.
(2)无论$k$取何值，该函数的图象总经过一个定点，请你求出这个定点的坐标.

1.【解】(1)因为一次函数$y=kx-2k+1$的图象过原点,所以$-2k+1=0$,解得 $k=\frac{1}{2}$.
(2)因为 $y = kx - 2k + 1 = k(x - 2) + 1$,所以$(x-2)k=y-1$.因为无论$k$取何值,该函数图象总经过一个定点,即关于$k$的方程$(x-2)k=y-1$有无数个解,所以$x-2=0,y-1=0$,解得$x=2,y=1$,所以这个定点的坐标为$(2,1)$.

2[2025江苏南京期末,较难]已知一次函数$y_1=ax+3a+2(a$为常数,$a≠0)$和$y_2=x+1$.
(1)当$a=-1$时,求两个函数图象的交点坐标;
(2)若两个函数图象的交点在第三象限,结合图象,直接写出$a$的取值范围.

2.【解】(1)因为 $y_1 = ax + 3a + 2$,所以当 $a = -1$ 时,$y_1=-x-1$,联立得$\begin{cases} y=-x-1,\\ y=x+1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-1,\\ y=0, \end{cases}$故两个函数图象的交点坐标为$(-1,0)$.
(2)$a＞1$ 或 $a＜-1$. 因为 $y_1 = ax + 3a + 2$($a$ 为常数,$a≠0$),所以$y_1-2=a(x+3)$,所以当$x=-3$时,$y_1$恒等于2,所以$y_1=ax+3a+2$的图象恒过定点$(-3,2)$,设$A(-3,2)$,画出函数图象如图.
当直线$y_1=ax+3a+2$绕着点$A$旋转,与直线$y_2=x+1$交于点$B(-1,0)$时,$0=-a+3a+2$,解得$a=-1$;当直线$y_1=ax+3a+2$与直线$y_2=x+1$平行时,$a=1$,所以当$a＞1$或$a＜-1$时,两个函数图象的交点在第三象限,故$a$的取值范围是$a＞1$或$a＜-1$.

3[中]如图所示，直线$y=x+4$与两坐标轴分别交于A,B两点，点C是OB的中点，D,E分别是直线AB和y轴上的动点，则$△ CDE$周长的最小值是。

3.$\sqrt{40}$ 【解析】如图,作点$C$关于$AB$的对称点$F$,关于$AO$的对称点$G$,连结$DF$,$EG$,$FB$,$FG$.
因为直线$y=x+4$与两坐标轴分别交于$A$,$B$两点,所以令$x=0$,则$y=4$,令$y=0$,则$x=-4$,所以$A(0,4)$,$B(-4,0)$,所以$OA=OB=4$.又因为点$C$是$OB$的中点,所以$OC=BC=\frac{1}{2}OB=2$.因为点$C$与点$G$关于$AO$对称,所以$OG=OC=2$,$EC=EG$,所以$BG=OB+OG=6$.因为$OA=OB$,$∠AOB=90°$,所以$∠ABC=∠BAO=45°$.又因为点$C$与点$F$关于$AB$对称,所以$∠ABC=∠ABF=45°$,$BC=BF=2$,$DF=DC$,所以$∠FBC=90°$.因为$DF=DC$,$EC=EG$,所以$△CDE$的周长为$CD+DE+CE=DF+DE+EG≥FG$,当点$F$,$D$,$E$,$G$在同一直线上时,$△CDE$的周长最小,为$FG$的长.因为在$\mathrm{Rt}△BFG$中,$FG=\sqrt{BF^2+BG^2}=\sqrt{40}$,所以$△CDE$周长的最小值是$\sqrt{40}$.故答案为$\sqrt{40}$.
关键点拨：熟练掌握“将军饮马”模型是解题的关键.

4[2025上海静安区质检,中]如图,已知正比例函数$y=kx$的图象经过点A,点A在第四象限,过A作$AH⊥x$轴,垂足为H,点A的横坐标为4,且$△ AOH$的面积为6.
(1)求正比例函数的表达式;
(2)求经过点$B(2,0)$,且把$△ AOH$的面积分为$1:2$两部分的直线表达式.

4.【解】(1)由题可设点$A$的坐标为$(4,4k)$,则$AH=-4k$,$OH=4$,所以$S_{△AOH}=\frac{1}{2}OH×AH=\frac{1}{2}×4×(-4k)=6$,解得$k=-\frac{3}{4}$,所以正比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{4}x$.
(2)①如图(1),当交点在线段$OA$上时,设过点$B$的直线交$OA$于点$C$,点$C$的坐标为$(a,-\frac{3}{4}a)$,所以$S_{△OBC}=\frac{1}{2}OB·\left|-\frac{3}{4}a\right|=\frac{1}{2}×2×\left|-\frac{3}{4}a\right|=\frac{3}{4}a$.
又因为$S_{△OBC}=\frac{1}{3}S_{△AOH}=2$或$S_{△OBC}=\frac{2}{3}S_{△AOH}=4$,所以$\frac{3}{4}a=2$或$\frac{3}{4}a=4$,解得$a=\frac{8}{3}$或$\frac{16}{3}$(舍去),所以点$C$的坐标为$(\frac{8}{3},-2)$.
设直线$BC$的表达式为$y=mx+n$,则$\begin{cases} 2m+n=0,\\ \frac{8}{3}m+n=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=-3,\\ n=6, \end{cases}$所以直线$BC$的表达式为$y=-3x+6$.

②如图(2),当交点在线段$AH$上时,设过点$B$的直线交$AH$于点$D$,点$D$的坐标为$(4,b)$,所以$S_{△BHD}=\frac{1}{2}·BH·|b|=\frac{1}{2}×2|b|=-b$.
又因为$S_{△BHD}=\frac{1}{3}S_{△AOH}=2$或$S_{△BHD}=\frac{2}{3}S_{△AOH}=4$,所以$-b=2$或$-b=4$,解得$b=-2$或$-4$(舍去),所以点$D$的坐标为$(4,-2)$.设直线$BD$的表达式为$y=cx+d$,则$\begin{cases} 2c+d=0,\\ 4c+d=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} c=-1,\\ d=2, \end{cases}$所以直线$BD$的表达式为$y=-x+2$.综上,直线表达式为$y=-3x+6$或$y=-x+2$.

5[2025江苏南通期中,较难]在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=kx-2k(k≠0)$的图象分别交$x$轴、$y$轴于点$A,B$.
(1)点$A$的坐标为,点$B$的坐标为(用含$k$的式子表示).
(2)若一次函数$y=kx-2k(k≠0)$的图象经过点$(1,-2)$,平行于$x$轴的两条直线$l_1,l_2$分别与一次函数$y=kx-2k(k≠0)$的图象交于点$M,N$,点$M,N$的横坐标分别为$m,n$.当$m-n=3$时,线段$MN$的长度是否发生变化?若不变,请求出$MN$的长;若变化,请说明理由.
(3)若一次函数$y=kx-2k(k≠0)$的图象与函数$y=x$的图象、$x$轴所围成的三角形的面积不小于$1$,求$k$的取值范围.

5.【解】(1)因为一次函数$y=kx-2k(k≠0)$的图象分别交$x$轴、$y$轴于点$A$,$B$,所以当$y=0$时,$x=2$;当$x=0$时,$y=-2k$,所以$A(2,0)$,$B(0,-2k)$.故答案为$(2,0)$,$(0,-2k)$.
(2)不发生变化.因为一次函数$y=kx-2k$的图象经过点$(1,-2)$,所以$-2=k-2k$,所以$k=2$,所以一次函数表达式为$y=2x-4$.因为平行于$x$轴的两条直线$l_1$,$l_2$分别与一次函数$y=kx-2k$的图象交于点$M$,$N$,点$M$,$N$的横坐标分别为$m$,$n$,且$m-n=3$,所以$M(m,2m-4)$,$N(n,2n-4)$,所以$MN=\sqrt{(m-n)^2+(2m-4-2n+4)^2}=\sqrt{5(m-n)^2}=\sqrt{5×3^2}=\sqrt{45}$,所以当$m-n=3$时,线段$MN$的长度不发生变化,$MN$的长为$\sqrt{45}$.
(3)如图.设一次函数$y=kx-2k$的图象与函数$y=x$的图象的交点为$P$,设点$P$的纵坐标为$y_P$.因为$y=kx-2k=k(x-2)$,所以一次函数$y=kx-2k$的图象过定点$A(2,0)$,所以$OA=2$.当$S_{△OAP}=1$时,$\frac{1}{2}OA·|y_P|=1$,即$\frac{1}{2}×2|y_P|=1$,解得$y_P=1$或$y_P=-1$.因为点$P$在函数$y=x$的图象上,所以点$P$的坐标为$(1,1)$或$(-1,-1)$,把$(1,1)$代入$y=kx-2k$,解得$k=-1$;把$(-1,-1)$代入$y=kx-2k$,解得$k=\frac{1}{3}$.因为一次函数$y=kx-2k$的图象与函数$y=x$的图象、$x$轴所围成的三角形的面积不小于1,所以$k$的取值范围是$k≤-1$或$k≥\frac{1}{3}$且$k≠1$.

思路分析
(1)根据图象上点的坐标特征求解即可.
(2)将点$(1,-2)$代入$y = kx - 2k$得$k=2$,则$y=2x-4$,$M(m,2m-4)$,$N(n,2n-4)$,利用勾股定理即可求解.
(3)求得$S_{△OAP}=1$时,点$P$的坐标为$(1,1)$或$(-1,-1)$,分别代入$y=kx-2k$求得$k$的值,结合图象即可求得$k$的取值范围.