6[2025辽宁沈阳质检,较难]如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{7}{2}$与x轴、y轴分别交于B,D两点,直线$l_2:y=kx+\dfrac{9}{4}$与x轴交于C,直线$l_1$与直线$l_2$交于点$A(a,3)$.
(1)求点A的坐标及直线$l_2$的表达式.
(2)若点E在直线$l_2$上,且$△ ADE$的面积为$\dfrac{5}{4}$,求点E的坐标.
(3)在x轴上是否存在点P,使$∠ ACB=2∠ APC$?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

6.【解】(1)将$A(a,3)$代入$l_1:y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$,得$-\frac{1}{2}a+\frac{7}{2}=3$,解得$a=1$,即点$A(1,3)$,将点$A$的坐标代入$y=kx+\frac{9}{4}$,得$3=k+\frac{9}{4}$,解得$k=\frac{3}{4}$,所以直线$l_2$的表达式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$.
(2)对于直线$l_1:y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$,将$x=0$代入,得$y=\frac{7}{2}$,所以点$D(0,\frac{7}{2})$.设直线$l_2$交$y$轴于点$T$.对于直线$l_2:y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$,将$x=0$代入,得$y=\frac{9}{4}$,所以点$T(0,\frac{9}{4})$,所以$DT=\frac{5}{4}$.
设点$E$的坐标为$(x_E,\frac{3}{4}x_E+\frac{9}{4})$.
①当点$E$在点$A$右侧时,如图(1).
因为$S_{△DAE}=S_{△DTE}-S_{△DTA}=\frac{1}{2}DT·x_E-\frac{1}{2}DT·x_A$,所以$\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×x_E-\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×1=\frac{5}{4}$,解得$x_E=3$,所以点$E(3,\frac{9}{2})$.
②当点$E$在点$A$左侧时,如图(2).因为$S_{△DTA}=\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×1＜\frac{5}{4}$,所以点$E$在$y$轴的左侧.
因为$S_{△DAE}=S_{△DTE}+S_{△DTA}=\frac{1}{2}DT·(-x_E)+\frac{1}{2}DT·x_A$,所以$\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×(-x_E)+\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×1=\frac{5}{4}$,解得$x_E=-1$,所以点$E(-1,\frac{3}{2})$.综上所述,点$E$的坐标为$(-1,\frac{3}{2})$或$(3,\frac{9}{2})$.
(3)存在.对于直线$l_2:y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$,令$y=0$,则$\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}=0$,解得$x=-3$,所以点$C(-3,0)$.
如图(3),在$x$轴上找点$P$,使得$∠ACB=2∠APC$,过点$A$作$AH⊥x$轴于$H$,所以$AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.

因为$∠ACB=2∠APC$,$∠ACB=∠APC+∠CAP$,所以$∠APC=∠CAP$,所以$CA=PC$.
又因为$CA=5$,所以$PC=5$,所以点$P(-8,0)$,作点$P$关于$AH$的对称点$P'$,则点$P'$也符合要求.因为点$P(-8,0)$,$H(1,0)$,所以点$P'(10,0)$.综上,点$P$的坐标为$(-8,0)$或$(10,0)$.
思路分析
(1)令$y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}=3$,得到点$A(1,3)$,再由待定系数法即可求解.
(2)设直线$l_2$交$y$轴于点$T$.当点$E$在点$A$右侧时,由$S_{△DAE}=S_{△DTE}-S_{△DTA}=\frac{1}{2}DT·x_E-\frac{1}{2}DT·x_A$,列出方程求解,得到点$E(3,\frac{9}{2})$;当点$E$在点$A$左侧时,同理求解即可.
(3)先求出点$C$的坐标,再在$x$轴上找到符合要求的点$P$和点$P'$求解即可.

7 [2025山西太原调研,较难]综合与探究
如图,平面直角坐标系中,一次函数 $y=-\dfrac{1}{2}x+5$ 的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,点F是线段AB上的一个动点(不与A,B重合),连结OF,设点F的横坐标为x.
(1)直接写出A,B两点的坐标.
(2)求$△ OAF$的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)当$△ OAF$的面积$S=\dfrac{1}{2}S_{△ OAB}$时.
①判断此时线段OF与AB的数量关系并说明理由.
②第一象限内是否存在一点P,使$△ APF$是以AF为直角边的等腰直角三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由.

备用图

7.【解】(1)$A(10,0)$,$B(0,5)$. 因为$y=-\frac{1}{2}x+5$,所以当$x=0$时,$y=5$;当$y=0$时,$-\frac{1}{2}x+5=0$,解得$x=10$,所以$A(10,0)$,$B(0,5)$.
(2)如图(1),过点$F$作$FE⊥x$轴于点$E$. 因为点$F$是线段$AB$上的一个动点(不与$A$,$B$重合),点$F$的横坐标为$x$,所以$F$点坐标为$(x,-\frac{1}{2}x+5)$,所以$△OAF$的面积为$S=\frac{1}{2}OA·EF=\frac{1}{2}×10×(-\frac{1}{2}x+5)=-\frac{5}{2}x+25(0＜x＜10)$,所以$△OAF$的面积$S$与$x$之间的函数关系式为$S=-\frac{5}{2}x+25(0＜x＜10)$.

(3)①$OF=\frac{1}{2}AB$. 理由如下:
当$△OAF$的面积$S=\frac{1}{2}S_{△OAB}$时,$-\frac{5}{2}x+25=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×10×5$,解得$x=5$,所以$F$点坐标为$(5,\frac{5}{2})$.
因为$A(10,0)$,$B(0,5)$,所以$F$是线段$AB$的中点.又因为$∠BOA=90°$,所以$OF=\frac{1}{2}AB$.
②存在,点$P$的坐标为$(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$. 如图(2),过点$F$作$FE⊥x$轴于点$E$,过点$P$作$PG⊥OA$于点$G$,过点$P'$作$P'H⊥EF$交$EF$的延长线于点$H$.

因为$△AFP$是等腰直角三角形,$AF=PA$,所以$∠FEA=∠FAP=∠PGA=90°$,所以$∠AFE+∠FAE=∠FAE+∠PAG=90°$,所以$∠AFE=∠PAG$. 在$△AFE$和$△PAG$中,$\begin{cases} ∠FEA=∠AGP,\\ ∠AFE=∠PAG,\\ AF=PA, \end{cases}$所以$△AFE≌△PAG(\mathrm{AAS})$,所以$FE=AG=\frac{5}{2}$,$AE=PG=OA-OE=5$,所以点$P(\frac{25}{2},5)$.
因为$△AFP'$是等腰直角三角形,同理可证$△P'HF≌△FEA(\mathrm{AAS})$,所以$FH=AE=5$,$HP'=FE=\frac{5}{2}$,所以$P'(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$.
综上所述,点$P$的坐标为$(\frac{25}{2},5)$或$(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$.