1[2025浙江宁波期末,中]如图,在△ABC中,点D是边BC上任意一点,点E,F分别是△ABD和△ACD的重心,如果BC=6,那么线段EF的长为 ()

A.2
B.3
C.4
D.5

（第1题图）
（第2题图）

1.A 【解析】如图,连结 $AE$ 并延长,交 $BD$ 于 $M$,连结 $AF$ 并延长,交 $CD$ 于 $N.$ $\because$ 点 $E,F$ 分别是 $△ ABD$ 和 $△ ACD$ 的重心,$\therefore DM = \frac{1}{2}BD$,$DN = \frac{1}{2}CD$,$AE = 2EM$,$AF = 2FN.$ $\because BC=6$,$\therefore MN = DM+DN = \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(BD+CD) = \frac{1}{2}BC = 3.$ $\because \frac{AE}{AM}=\frac{AF}{AN}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$,$∠ EAF=∠ MAN$,$\therefore △ AEF∽△ AMN$,$\therefore \frac{EF}{MN}=\frac{2}{3}$,即 $\frac{EF}{3}=\frac{2}{3}$,$\therefore EF=2.$ 故选 A.

2[2026浙江宁波鄞州区期末,中]如图,在$5×4$的正方形网格中,点$A,B,C,D$都是网格的格点,点$G$是$△ ABC$的重心,则下列选项正确的是 ()

A.连结$DG$,则$DG=\frac{1}{4}BC$
B.连结$BG,CG$,则$∠BGC=2∠A$
C.连结$DG$,则$DG// BC$
D.连结$AG,BG$,则$S_{△ ABG}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$

2.C 【解析】如图,连结 $AG$ 并延长交 $BC$ 于 $N$,连结 $DG,BG,CG.$ $\because$ 点 $G$ 为 $△ ABC$ 的重心,$\therefore \frac{AG}{AN}=\frac{2}{3}$,$BN=CN.$ 易得 $\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$,$\therefore \frac{AG}{AN}=\frac{AD}{AC}.$ $\because ∠ GAD = ∠ NAC$,$\therefore △ AGD∽△ ANC$,$\therefore ∠ AGD=∠ ANC$,$\frac{DG}{CN}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$,$\therefore DG// BC$, $DG = \frac{2}{3}CN$, 故 C 选项正确,符合题意. $\therefore DG = \frac{1}{3}BC$, 故 A 选项错误,不符合题意. $\because \frac{AG}{AN}=\frac{2}{3}$,$BN=CN$,$\therefore S_{△ ABG} = \frac{2}{3}S_{△ ABN} = \frac{2}{3}S_{△ ACN}$,$\therefore S_{△ ABG} = \frac{1}{3}S_{△ ABC}$, 故 D 选项错误,不符合题意. $\because ∠ BGN = ∠ GBA + ∠ GAB$,$∠ CGN = ∠ CAG + ∠ GCA$,$\therefore ∠ BGC = ∠ ABG + ∠ ACG + ∠ BAC$. 由题无法得出 $∠ ABG + ∠ ACG = ∠ BAC$,$\therefore$ 无法得出 $∠ BGC = 2∠ BAC$, 故 B 选项错误,不符合题意. 故选 C.

3[2025浙江绍兴期末,较难]如图,$△ ABC$为锐角三角形,$BC=6$,$∠ A=45°$,点$O$为$△ ABC$的重心,$D$为$BC$中点,若固定边$BC$,使顶点$A$在$△ ABC$所在平面内进行运动,在运动过程中,保持$∠ A$的大小不变,则线段$OD$的长度的取值范围为 $(\ )$


A.$\sqrt{5} ＜ OD ≤ \sqrt{2}+1$
B.$\sqrt{5} ＜ OD ≤ \sqrt{3}+1$
C.$1 ≤ OD ＜ \sqrt{3}+1$
D.$1 ＜ OD ≤ \sqrt{2}+1$

3.D 【解析】如图,作$△ ABC$ 的外接圆,令点 $E$ 为圆心,连结 $AO$,$DE$,$BE$,$CE.$ $\because$ 点 $O$ 为 $△ ABC$ 的重心,$D$ 为 $BC$ 中点,$\therefore A,O,D$ 三点共线,$DE ⊥ BC$,$\therefore OD = \frac{1}{3}AD.$ $\because ∠ BAC=45°$,$BE=CE$,$\therefore ∠ BEC=90°$,$\therefore ∠ EBD=∠ BED=∠ ECB=45°$,$\therefore BD=DE=\frac{1}{2}BC=3.$ 由勾股定理知 $BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=3\sqrt{2}.$ 当 $AD ⊥ BC$ 时,$AD$ 最长,即 $OD$ 最长,此时 $E$ 在 $AD$ 上,$\therefore OD$ 长度的最大值为 $\frac{1}{3}×(3+3\sqrt{2}) = 1+\sqrt{2}.$ $\because △ ABC$ 为锐角三角形,$\therefore$ 易得 $AD＞BD=3$,$\therefore OD＞1$,$\therefore 1＜OD ≤ 1+\sqrt{2}.$ 故选 D.

4[中]如图,在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,EF//BC,交AD于点G.
(1)图中共有几对相似三角形?请把它们分别表示出来.
(2)若G为EF的中点,试判断BD与CD的数量关系,并说明理由.

4.【解】(1)$\because EF// BC$,$\therefore △ AEF∽△ ABC$,$△ AEG∽△ ABD$,$△ AGF∽△ ADC$,$\therefore$ 题图中有三对相似三角形,分别为 $△ AEF ∽ △ ABC$, $△ AEG ∽ △ ABD$, $△ AGF∽△ ADC.$
(2)$BD=CD.$ 理由如下:$\because △ AEG∽△ ABD$,$\therefore \frac{EG}{BD}=\frac{AG}{AD}.$ $\because △ AGF∽△ ADC$,$\therefore \frac{FG}{CD}=\frac{AG}{AD}$,$\therefore \frac{EG}{BD}=\frac{FG}{CD}.$
$\because G$ 为 $EF$ 的中点,$\therefore EG=FG$,$\therefore BD=CD.$

5 核心素养 推理能力 [较难]我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫作三角形的重心。重心有很多性质，如关于线段比、面积比就有一些结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：
(1)若AD是$△ ABC$的一条中线(如图(1))，O是AD上一点，且满足$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，则O$△ ABC$的重心(填“是”或“不是”)；
(2)若O是$△ ABC$的重心(如图(2))，连结AO并延长交BC于D.证明：$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$；
(3)若O是$△ ABC$的重心，过O的一条直线分别与AB,AC相交于G,H(均不与$△ ABC$的顶点重合，如图(3)).令$AG=1,BG=x$，设$y=\frac{OH}{OG}$，请求出y与x的关系式。

5.(1)【解】如图(1),作$△ ABC$的中线$CE$,与$AD$交于点$Q$,连结$DE$,则点$Q$为$△ ABC$的重心.
$\because CE$是中线,$AD$是中线,点$D$是$BC$的中点,点$E$是$AB$的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,$\therefore DE// AC$,且$DE=\frac{1}{2}AC$.
$\because DE// AC$,$\therefore △ AQC∽△ DQE$,$\therefore \frac{AQ}{QD}=\frac{AC}{DE}=2$,$\therefore AQ=2QD$,$\therefore \frac{AQ}{AD}=\frac{2}{3}$.
又$\because \frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$,$\therefore$ 点$Q$与点$O$重合(是同一个点),$\therefore$ 点$O$是$△ ABC$的重心. 故答案为是.
(2)【证明】如图(2),连结$CO$并延长,交$AB$于点$E$,连结$DE$.
$\because$ 点$O$是$△ ABC$的重心,$\therefore CE$,$AD$是中线,点$D$,$E$分别是$BC$,$AB$的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,$\therefore DE// AC$,且$DE=\frac{1}{2}AC$.
$\because DE// AC$,$\therefore △ AOC∽△ DOE$,$\therefore \frac{AO}{OD}=\frac{AC}{DE}=2$,$\therefore AO=2OD$,$\therefore AD=AO+OD=3OD$,$\therefore \frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$.
(3)【解】如图(3),连结$DG$,过点$O$作$OF// BC$交$AC$于点$F$,过点$G$作$GE// BC$交$AC$于点$E$,则$OF// GE$.
$\because OF// BC$,$\therefore △ AOF∽△ ADC$,$\therefore \frac{OF}{CD}=\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$,$\therefore OF=\frac{2}{3}CD=\frac{1}{3}BC$.
$\because GE// BC$,$\therefore △ AGE∽△ ABC$,$\therefore \frac{GE}{BC}=\frac{AG}{AB}=\frac{1}{x+1}$,$\therefore GE=\frac{BC}{x+1}$.
$\because OF// GE$,$\therefore △ HOF∽△ HGE$,$\therefore \frac{OF}{GE}=\frac{OH}{GH}=\frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{BC}{x+1}}=\frac{x+1}{3}$,$\therefore OH=\frac{x+1}{3}GH$,$\therefore OG=GH-OH=\frac{2-x}{3}GH$,$\therefore \frac{OH}{OG}=\frac{\frac{x+1}{3}GH}{\frac{2-x}{3}GH}=\frac{x+1}{2-x}$,$\therefore y$与$x$的关系式为 $y=\frac{x+1}{2-x}$.
、、