1 两三角形的相似比是$2:3$，则其对应角的平分线之比是（）

A.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$2:3$
C.$4:9$
D.$8:27$

1.B 【解析】$\because$ 相似三角形的对应角的平分线之比等于相似比,$\therefore$ 对应角的平分线之比为 $2:3$,故选 B.

2[2025浙江绍兴期末]如果两个相似三角形的对应边的长度之比为$a:b$，对应的角平分线的长度之比为$b:a$，那么（）

A.$a＞b$
B.$a=b$
C.$a＜b$
D.$a,b$的大小无法比较

2.B 【解析】$\because$ 两个相似三角形的对应边的长度之比为 $a:b$,对应的角平分线的长度之比为 $b:a$,相似三角形的对应边的比等于相似比,对应角平分线的比等于相似比,$\therefore a:b = b:a$,$\therefore a^2 = b^2$,而 $a,b$ 都只能是正数,$\therefore a = b.$ 故选 B.

3 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$AD$，$A'D'$分别是$BC$，$B'C'$边上的中线.若$BC=3$，$AD=2.4$，$B'C'=2$，则$A'D'$的长是.

3.1.6 【解析】$\because △ ABC∽△ A'B'C'$,$AD$ 和 $A'D'$分别是它们对应边上的中线,$BC=3$,$AD=2.4$,$B'C'=2$,$\therefore BC:B'C' = AD:A'D'$,$\therefore 2.4:A'D' = 3:2$,$\therefore A'D' = 1.6$,故答案为 $1.6.$

4 如果两个相似三角形的对应边之比为2:5，其中一个三角形的一个内角的平分线长为7，则另一个三角形对应角的平分线长为。

4.$\frac{35}{2}$或$\frac{14}{5}$ 【解析】$\because$ 两个相似三角形的对应边之比为 $2:5$,$\therefore$ 它们的对应角平分线的比为 $2:5.$ $\because$ 其中一个三角形的一个内角的平分线长为 $7$,而这条角平分线可能是小三角形的,也可能是大三角形的,$\therefore$ 另一个三角形对应的角平分线的长为 $7÷\frac{2}{5}=\frac{35}{2}$ 或 $7×\frac{2}{5}=\frac{14}{5}.$

5 如图所示，$Rt△ ABC ∽ Rt△ DFE$，CM，EN分别是斜边AB，DF上的中线，已知$AC=9\ \mathrm{cm}$，$CM=7.5\ \mathrm{cm}$，$DE=3\ \mathrm{cm}$. 求EN的长.

5.【解】$\because CM,EN$ 分别为斜边 $AB,DF$ 上的中线,$Rt△ ABC∽ Rt△ DFE$,$\therefore \frac{AC}{DE}=\frac{CM}{EN}.$ $\because AC=9\ \mathrm{cm}$,$CM=7.5\ \mathrm{cm}$,$DE=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore \frac{9}{3}=\frac{7.5}{EN}$,$\therefore EN=2.5\ \mathrm{cm}.$

6[2025浙江宁波调研]如图，△ABC的重心为G，则△ABC和△GBC在BC边上的高之比为（）

A.1:2
B.1:3
C.2:1
D.3:1

（第6题图）（第7题图）

6.D 【解析】如图,连结 $AG$ 并延长交 $BC$ 于点 $F$,作 $AE ⊥ BC$ 于 $E$,$GD ⊥ BC$ 于 $D.$ $\because △ ABC$ 的重心为 $G$,$\therefore AG = 2FG$,$\therefore AF = 3FG.$ $\because DG ⊥ BC$,$AE ⊥ BC$,$\therefore DG// AE$,$\therefore △ FDG∽△ FEA$,$\therefore \frac{AE}{DG}=\frac{AF}{FG}=3.$ 故选 D.

7[2025浙江台州期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,过其重心$G$作$AC,BC$的垂线,垂足分别为$D,E$,则四边形$GDCE$的面积与$△ ABC$的面积之比为 ()

A.$1:9$
B.$1:6$
C.$2:9$
D.$1:3$

7.C 【解析】连结 $AG$ 并延长交 $BC$ 于点 $F$,如图. 根据 $G$ 为重心得 $AG=2FG$,$CF=BF.$ 根据题意得 $∠ C=∠ CDG=∠ CEG=90°$,$\therefore$ 四边形 $GDCE$ 为矩形,$\therefore DG// BC$,$CD// GE$,$DG=CE$,$EG=CD$,$\therefore ∠ AGD=∠ AFC$,$∠ ADG=∠ GEF=∠ C=90°$,$\therefore △ ADG∽△ GEF$,$\therefore \frac{DG}{EF}=\frac{AG}{FG}=\frac{AD}{EG}=2.$ 设矩形 $CDGE$ 中,$DG=a$,$EG=b$,$\therefore AC=AD+CD=2EG+EG=3b$,$BC=2(CE+EF)=2(DG + \frac{1}{2}DG)=3a$,$\therefore \frac{S_{四边形GDCE}}{S_{△ ABC}}=\frac{ab}{\frac{1}{2}× 3a× 3b}=\frac{2}{9}.$ 故选 C.

8 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°, AC = 6, 点 G 是 △ABC 的重心，GC = 4, 那么 ∠GCB 的度数为 .

8.30° 【解析】延长 $CG$ 交 $AB$ 于点 $D.$ $\because$ 点 $G$ 是 $△ ABC$ 的重心,$∠ ACB=90°$,$\therefore AD=CD$,$CG:CD=2:3.$ $\because CG=4$,$\therefore CD=6.$ $\because AC=6$,$\therefore AC=CD=AD$,$\therefore △ ACD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ ACD = 60°$,$\therefore ∠ GCB=90°-60°=30°$,故答案为 $30°.$

9 如图，点G是△ABC的重心，点E为BC上一点.如果GE//AC，那么BE:EC=.

9.2:1 【解析】$\because$ 点 $G$ 是 $△ ABC$ 的重心,$\therefore BD=CD$,$AG=2GD.$ $\because GE// AC$,$\therefore \frac{DE}{CE}=\frac{DG}{AG}=\frac{1}{2}$,$\therefore CE=2DE.$ $\because BE=BD+DE=CD+DE=4DE$,$\therefore BE:EC=4DE:2DE=2:1.$ 故答案为 $2:1.$

10[2026浙江温州鹿城区期末]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=12$,$BC=5$,点$E$为此三角形的重心,连结$BE$并延长交$AC$于点$D$,过点$E$作$EF⊥ AB$于点$F$,则$EF$的长为.

10.$\frac{20}{13}$ 【解析】过点 $D$ 作 $AB$ 的垂线,垂足为 $M.$ $\because$ 点 $E$ 为 $△ ABC$ 的重心,$\therefore$ 点 $D$ 为 $AC$ 的中点,$\frac{BE}{BD}=\frac{2}{3}$,$\therefore AD = \frac{1}{2}AC = 6.$ 又 $\because ∠ C=90°$,$\therefore AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$,$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD · BC=\frac{1}{2}AB · DM$,$\therefore DM = \frac{AD · BC}{AB}=\frac{6× 5}{13}=\frac{30}{13}.$ 又 $\because EF ⊥ AB$,$DM ⊥ AB$,$\therefore EF// DM$,$\therefore △ BEF∽△ BDM$,$\therefore \frac{EF}{DM}=\frac{BE}{BD}=\frac{2}{3}$,$\therefore EF = \frac{2}{3}×\frac{30}{13}=\frac{20}{13}.$