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5. (1) 一个直角三角形的三个顶点在同一个圆上吗?
如图1,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$∠ BAD=90°$,$O$为$BD$的中点,求证:A、B、D三点在以点O为圆心的同一个圆上.
(2) 拥有公共斜边的两个直角三角形所有的顶点在同一个圆上吗?
如图2,在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$O$为$BD$的中点,求证:点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.
如图1,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$∠ BAD=90°$,$O$为$BD$的中点,求证:A、B、D三点在以点O为圆心的同一个圆上.
(2) 拥有公共斜边的两个直角三角形所有的顶点在同一个圆上吗?
如图2,在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$O$为$BD$的中点,求证:点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.
答案
5. (1)证明略 (2)证明略
6. 如图,A是半径为3的$\odot O$上的一个动点,点O到直线MN的距离为4,P是MN上一个动点.在运动过程中,若$∠ POA=90°$,则线段PA长的最小值是
5
.答案
6. 5
7. 如图,OA是$\odot O$的半径,B为OA上一点(且不与点O、A重合),过点B作OA的垂线交$\odot O$于点C,以OB、BC为邻边作矩形OBCD,连接BD.若$BD=10$,$BC=8$,则AB的长为
4
.答案
7. 4
8. 如图,点A,B,C都在$\odot O$上,且$AB// OC$,$BC// OA$.
(1) 求证:四边形ABCO是菱形;
(2) 求$∠ AOC$的度数.
(1) 求证:四边形ABCO是菱形;
(2) 求$∠ AOC$的度数.
答案
8. (1)证明:
∵AB//OC,BC//OA,
∴四边形OABC是平行四边形.又
∵点A,B,C都在⊙O上,
∴四边形OABC是菱形;
(2)解:连接OB,
∵四边形OABC是菱形,
∴易得△OBC是等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°.
∵AB//OC,BC//OA,
∴四边形OABC是平行四边形.又
∵点A,B,C都在⊙O上,
∴四边形OABC是菱形;
(2)解:连接OB,
∵四边形OABC是菱形,
∴易得△OBC是等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°.
9. 如图,AC是$\odot O$的直径,点B在$\odot O$上(不与点A、C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交$\odot O$于点E,$∠ AOB=3∠ D$.求证:$DE=OB$.
答案
如图，连接$OE$。设$∠ D = x$。
∵$OB = OE$，
∴$∠ B = ∠ OEB$。
∵$∠ OEB$是$△ DEO$的外角，
∴$∠ OEB = ∠ D + ∠ DOE = x + ∠ DOE$。
∵$∠ AOB$是$△ BOD$的外角，
∴$∠ AOB = ∠ B + ∠ D = ∠ OEB + ∠ D = x + ∠ DOE + x = ∠ DOE + 2x$。
∵$∠ AOB = 3∠ D = 3x$，
∴$∠ DOE + 2x = 3x$，即$∠ DOE = x = ∠ D$，
∴$DE = OE$，
∴$DE = OB$。
