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7. [2026 池州期末] 如图，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE. 若∠ABD = 30°，则∠ACE的度数为（
A.30°
B.25°
C.55°
D.无法计算
A
）A.30°
B.25°
C.55°
D.无法计算
答案
7 A $\because ∠BAC = ∠DAE, \therefore ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,$ 即 $∠BAD = ∠CAE.$ 在 $△ BAD$ 和 $△ CAE$ 中,$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠BAD = ∠CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$$\therefore △ BAD ≌ △ CAE (\mathrm{SAS}), \therefore ∠ACE = ∠ABD = 30°.$
解析
【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：已知两组边相等AB=AC、AD=AE，还有一组角相等∠BAC=∠DAE，要求∠ACE的度数，首先考虑证明包含∠ABD和∠ACE的两个三角形全等。首先通过角的和差关系，将已知的等角∠BAC和∠DAE同时减去公共角∠DAC，得到两个三角形的夹角∠BAD=∠CAE，此时正好满足SAS的全等判定条件，证明△BAD和△CAE全等后，根据全等三角形对应角相等，就能直接得到∠ACE的度数。
【解析】
解：$\because ∠BAC = ∠DAE$
$\therefore ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC$，即$∠BAD = ∠CAE$
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB = AC \\∠BAD = ∠CAE \\AD = AE\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE (\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ACE = ∠ABD$（全等三角形对应角相等）
$\because ∠ABD = 30°$
$\therefore ∠ACE = 30°$
【答案】
A
【知识点】
SAS全等判定，全等三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题核心是先通过角的和差推导得到全等所需的对应夹角相等，再利用SAS判定三角形全等，最终通过全等的性质得到对应角的度数，解题时要注意准确识别全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先梳理已知条件：已知两组边相等AB=AC、AD=AE，还有一组角相等∠BAC=∠DAE，要求∠ACE的度数，首先考虑证明包含∠ABD和∠ACE的两个三角形全等。首先通过角的和差关系，将已知的等角∠BAC和∠DAE同时减去公共角∠DAC，得到两个三角形的夹角∠BAD=∠CAE，此时正好满足SAS的全等判定条件，证明△BAD和△CAE全等后，根据全等三角形对应角相等，就能直接得到∠ACE的度数。
【解析】
解：$\because ∠BAC = ∠DAE$
$\therefore ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC$，即$∠BAD = ∠CAE$
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB = AC \\∠BAD = ∠CAE \\AD = AE\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE (\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ACE = ∠ABD$（全等三角形对应角相等）
$\because ∠ABD = 30°$
$\therefore ∠ACE = 30°$
【答案】
A
【知识点】
SAS全等判定，全等三角形的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题核心是先通过角的和差推导得到全等所需的对应夹角相等，再利用SAS判定三角形全等，最终通过全等的性质得到对应角的度数，解题时要注意准确识别全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.9
8. [2026 阜阳期末]如图,在$△ PAB$中,$∠ A=∠ B$, M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且$AM=BK$,$BN=AK$.若$∠ MKN=44°$,则$∠ P$的度数为 (
A.$44°$
B.$66°$
C.$88°$
D.$92°$
D
)A.$44°$
B.$66°$
C.$88°$
D.$92°$
答案
8 D 在 $△ AMK$ 和 $△ BKN$ 中,$\begin{cases} AM = BK, \\ ∠A = ∠B, \\ AK = BN, \end{cases}$$\therefore △ AMK ≌ △ BKN(\mathrm{SAS}), \therefore ∠AMK = ∠BKN. \because ∠MKB = ∠MKN + ∠BKN = ∠A + ∠AMK(\mathrm{三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和}), \therefore ∠A = ∠MKN = 44°, \therefore ∠P = 180° - ∠A - ∠B = 92°.$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：题目给出∠A=∠B，还有两组对应边相等AM=BK、AK=BN，首先可以考虑利用SAS判定△AMK和△BKN全等；全等后可得对应角∠AMK=∠BKN，再结合三角形外角的性质，可推导出∠A=∠MKN，得到底角∠A和∠B的度数后，最后利用三角形内角和定理即可求出∠P的度数。
【解析】
在$△ AMK$和$△ BKN$中，
$\begin{cases}AM = BK \\∠ A = ∠ B \\AK = BN\end{cases}$
$\therefore △ AMK ≌ △ BKN(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AMK = ∠ BKN$。
根据三角形外角的性质，$∠ MKB$是$△ AMK$的外角，因此$∠ MKB = ∠ A + ∠ AMK$；
同时$∠ MKB = ∠ MKN + ∠ BKN$，
结合$∠ AMK = ∠ BKN$，可推出$∠ A = ∠ MKN = 44°$。
已知$∠ A = ∠ B$，因此$∠ B = 44°$，
在$△ PAB$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ P = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 44° - 44° = 92°$。
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定（SAS）；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】本题是三角形全等与角度计算的综合题，解题核心是先通过全等实现角的等量转换，再结合内外角性质求出底角度数，解题时要注意外角性质的灵活运用，是三角形章节的典型考题。
【难度系数】0.7
解题时先观察已知条件：题目给出∠A=∠B，还有两组对应边相等AM=BK、AK=BN，首先可以考虑利用SAS判定△AMK和△BKN全等；全等后可得对应角∠AMK=∠BKN，再结合三角形外角的性质，可推导出∠A=∠MKN，得到底角∠A和∠B的度数后，最后利用三角形内角和定理即可求出∠P的度数。
【解析】
在$△ AMK$和$△ BKN$中，
$\begin{cases}AM = BK \\∠ A = ∠ B \\AK = BN\end{cases}$
$\therefore △ AMK ≌ △ BKN(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AMK = ∠ BKN$。
根据三角形外角的性质，$∠ MKB$是$△ AMK$的外角，因此$∠ MKB = ∠ A + ∠ AMK$；
同时$∠ MKB = ∠ MKN + ∠ BKN$，
结合$∠ AMK = ∠ BKN$，可推出$∠ A = ∠ MKN = 44°$。
已知$∠ A = ∠ B$，因此$∠ B = 44°$，
在$△ PAB$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ P = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 44° - 44° = 92°$。
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定（SAS）；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】本题是三角形全等与角度计算的综合题，解题核心是先通过全等实现角的等量转换，再结合内外角性质求出底角度数，解题时要注意外角性质的灵活运用，是三角形章节的典型考题。
【难度系数】0.7
9. [2026淮北五校联考]如图,把两个含有$45°$角的直角三角板(大小不一样)放在一起,点B在CE上,A,C,D三点在一条直线上,连接AE与DB的延长线交于点F.若$AE=8$,$DF=11.2$,则$△ ABE$的面积为
微专题 一题多变 利用全等
12.8
.微专题 一题多变 利用全等
答案
9 12.8 由题意可知,$AC = BC, EC = DC, ∠ACB = ∠DCE = 90°(\mathrm{隐含条件}).$ 在$△ ACE$和$△ BCD$中,$\begin{cases} AC = BC, \\ ∠ACE = ∠BCD, \\ EC = DC, \end{cases}$$\therefore △ ACE ≌ △ BCD(\mathrm{SAS}), \therefore ∠AEC = ∠BDC, BD = AE = 8,$
$\therefore ∠DFE = ∠EAC + ∠BDC = ∠EAC + ∠AEC = 90°, \therefore BF ⊥ AE. \because BF = DF - BD = 11.2 - 8 = 3.2, \therefore S_{△ ABE} = \frac{1}{2}AE · BF = \frac{1}{2} × 8 × 3.2 = 12.8.$
$\therefore ∠DFE = ∠EAC + ∠BDC = ∠EAC + ∠AEC = 90°, \therefore BF ⊥ AE. \because BF = DF - BD = 11.2 - 8 = 3.2, \therefore S_{△ ABE} = \frac{1}{2}AE · BF = \frac{1}{2} × 8 × 3.2 = 12.8.$
解析
【分析】
首先观察图形，两个含45°的直角三角板可推出AC=BC、EC=DC，且两组对应边的夹角均为90°，因此第一步可通过SAS证明△ACE和△BCD全等；第二步利用全等三角形的性质得到AE=BD、对应角相等，再通过角的等量代换证明BF垂直于AE，即BF是△ABE中AE边上的高；最后计算BF的长度，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
由题意可知，△ACB和△ECD都是含45°角的直角三角板，因此$AC = BC$，$EC = DC$，$∠ACB = ∠DCE = 90°$。
在$△ACE$和$△BCD$中：
$\begin{cases} AC = BC \\ ∠ACE = ∠BCD = 90° \\ EC = DC \end{cases}$
$\therefore △ACE ≌ △BCD(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠AEC = ∠BDC$，$BD = AE = 8$
又$\because$在$\mathrm{Rt}△ACE$中，$∠EAC + ∠AEC = 90°$
$\therefore ∠EAC + ∠BDC = 90°$，即$∠DFE = 90°$，可得$BF ⊥ AE$
$\because BF = DF - BD = 11.2 - 8 = 3.2$
$\therefore S_{△ABE} = \frac{1}{2} × AE × BF = \frac{1}{2} × 8 × 3.2 = 12.8$
【答案】
$\boxed{12.8}$
【知识点】
SAS全等判定，全等三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题核心是通过全等转化边与角的等量关系，进而确定所求三角形的高，对几何逻辑推导能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
首先观察图形，两个含45°的直角三角板可推出AC=BC、EC=DC，且两组对应边的夹角均为90°，因此第一步可通过SAS证明△ACE和△BCD全等；第二步利用全等三角形的性质得到AE=BD、对应角相等，再通过角的等量代换证明BF垂直于AE，即BF是△ABE中AE边上的高；最后计算BF的长度，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
由题意可知，△ACB和△ECD都是含45°角的直角三角板，因此$AC = BC$，$EC = DC$，$∠ACB = ∠DCE = 90°$。
在$△ACE$和$△BCD$中：
$\begin{cases} AC = BC \\ ∠ACE = ∠BCD = 90° \\ EC = DC \end{cases}$
$\therefore △ACE ≌ △BCD(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠AEC = ∠BDC$，$BD = AE = 8$
又$\because$在$\mathrm{Rt}△ACE$中，$∠EAC + ∠AEC = 90°$
$\therefore ∠EAC + ∠BDC = 90°$，即$∠DFE = 90°$，可得$BF ⊥ AE$
$\because BF = DF - BD = 11.2 - 8 = 3.2$
$\therefore S_{△ABE} = \frac{1}{2} × AE × BF = \frac{1}{2} × 8 × 3.2 = 12.8$
【答案】
$\boxed{12.8}$
【知识点】
SAS全等判定，全等三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题核心是通过全等转化边与角的等量关系，进而确定所求三角形的高，对几何逻辑推导能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
1. [2026安庆段考]如图,在$3×3$的正方形方格中,每个小正方形的边长都为1,则$∠1+∠2=$
180°
。答案
1 180° 如图,在$△ ABC$和$△ EDF$中,$\begin{cases} BC = DF, \\ ∠C = ∠DFE = 90°, \\ AC = EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDF(\mathrm{SAS}), \therefore ∠1 = ∠ABC. \because ∠ABC + ∠2 = 180°, \therefore ∠1 + ∠2 = 180°.$
解析
【分析】
要求∠1+∠2的度数，可通过全等三角形转化角来求解：首先观察方格中∠1和∠2所在的直角三角形，结合方格边长为1的特点，找到两组对应边相等、夹角均为直角的两个三角形，证明其全等后，即可将∠1转化为和∠2互补的角，进而求出两角的和。
【解析】
如图，在$△ ABC$和$△ EDF$中，
$\begin{cases} BC = DF, \\ ∠C = ∠DFE = 90°, \\ AC = EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠1 = ∠ABC$。
$\because ∠ABC$与$∠2$互为邻补角，$∠ABC + ∠2 = 180°$，
$\therefore ∠1 + ∠2 = 180°$。
【答案】
$180°$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是方格背景下的角度求和典型题，解题关键是借助方格边长特点构造全等三角形，实现角度的等量转化，将未知的角度和问题转化为已知的邻补角求和问题，既考查了全等三角形的判定与性质，也对学生的识图能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要求∠1+∠2的度数，可通过全等三角形转化角来求解：首先观察方格中∠1和∠2所在的直角三角形，结合方格边长为1的特点，找到两组对应边相等、夹角均为直角的两个三角形，证明其全等后，即可将∠1转化为和∠2互补的角，进而求出两角的和。
【解析】
如图
，在$△ ABC$和$△ EDF$中，$\begin{cases} BC = DF, \\ ∠C = ∠DFE = 90°, \\ AC = EF, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠1 = ∠ABC$。
$\because ∠ABC$与$∠2$互为邻补角，$∠ABC + ∠2 = 180°$，
$\therefore ∠1 + ∠2 = 180°$。
【答案】
$180°$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是方格背景下的角度求和典型题，解题关键是借助方格边长特点构造全等三角形，实现角度的等量转化，将未知的角度和问题转化为已知的邻补角求和问题，既考查了全等三角形的判定与性质，也对学生的识图能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，
答案
2 45° 如图,在$△ ABC$和$△ EDC$中,$\begin{cases} AB = ED = 2, \\ ∠ABC = ∠EDC = 90°, \\ BC = DC = 1, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{SAS}), \therefore ∠1 = ∠CED. \because ∠CED + ∠2 = 45°, \therefore ∠1 + ∠2 = 45°.$
解析
【分析】
要求∠1+∠2的度数，可通过全等三角形将∠1转化为与∠2相关的角。观察方格特征，先确定两个三角形的对应边、对应角关系，证明三角形全等，再利用全等性质替换角，最后结合特殊角的度数即可求出两角之和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，
在$△ ABC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}AB = ED = 2, \\∠ ABC = ∠ EDC = 90°, \\BC = DC = 1,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ CED$，
又$\because ∠ CED + ∠ 2 = 45°$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 45°$。
【答案】
$∠1+∠2=45°$
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，角度和差计算
【点评】
本题以方格为背景，考查全等三角形的判定与性质的应用，解题核心是通过全等三角形完成角度的等量转化，将所求两角和转化为已知的特殊角，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
要求∠1+∠2的度数，可通过全等三角形将∠1转化为与∠2相关的角。观察方格特征，先确定两个三角形的对应边、对应角关系，证明三角形全等，再利用全等性质替换角，最后结合特殊角的度数即可求出两角之和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，
在$△ ABC$和$△ EDC$中，
$\begin{cases}AB = ED = 2, \\∠ ABC = ∠ EDC = 90°, \\BC = DC = 1,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ CED$，
又$\because ∠ CED + ∠ 2 = 45°$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 45°$。
【答案】
$∠1+∠2=45°$
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，角度和差计算
【点评】
本题以方格为背景，考查全等三角形的判定与性质的应用，解题核心是通过全等三角形完成角度的等量转化，将所求两角和转化为已知的特殊角，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
10. [2026合肥蜀山区期末] 如图，$AD = AB$，$AE = AC$，$AD ⊥ AB$，$AE ⊥ AC$. 猜想线段$CD$与$EB$之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想.
答案
10 解:$CD = EB, CD ⊥ EB.$ 证明如下:
$\because AD ⊥ AB, AE ⊥ AC, \therefore ∠DAB = ∠EAC = 90°,$
$\therefore ∠DAB + ∠BAC = ∠EAC + ∠BAC,$
即$∠CAD = ∠EAB.$
在$△ ACD$和$△ AEB$中,$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠CAD = ∠EAB, \\ AC = AE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ AEB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore CD = EB, ∠ADC = ∠ABE.$
$\because ∠AGD = ∠FGB,$
$\therefore ∠BFD = ∠BAD = 90°, \mathrm{即} CD ⊥ EB.$
$\because AD ⊥ AB, AE ⊥ AC, \therefore ∠DAB = ∠EAC = 90°,$
$\therefore ∠DAB + ∠BAC = ∠EAC + ∠BAC,$
即$∠CAD = ∠EAB.$
在$△ ACD$和$△ AEB$中,$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠CAD = ∠EAB, \\ AC = AE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ AEB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore CD = EB, ∠ADC = ∠ABE.$
$\because ∠AGD = ∠FGB,$
$\therefore ∠BFD = ∠BAD = 90°, \mathrm{即} CD ⊥ EB.$
解析
【分析】
要判断CD与EB的数量和位置关系，首先从已知的两组边相等、两组垂直关系入手：先通过角的和差推导△ACD和△AEB的夹角相等，利用SAS证明两个三角形全等，即可得到边的数量关系；再利用全等的对应角相等，结合对顶角相等的性质，推导两条线段的夹角为90°，就能得到位置关系。
【解析】
猜想$CD = EB$，$CD ⊥ EB$，证明如下：
$\because AD ⊥ AB$，$AE ⊥ AC$，$\therefore ∠DAB = ∠EAC = 90°$，
$\therefore ∠DAB + ∠BAC = ∠EAC + ∠BAC$，
即$∠CAD = ∠EAB$。
在$△ ACD$和$△ AEB$中，
$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠CAD = ∠EAB, \\ AC = AE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ AEB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CD = EB$，$∠ADC = ∠ABE$。
设AB与CD交于点G，BE与CD交于点F，
$\because ∠AGD = ∠FGB$，结合三角形内角和为$180°$，
可得$∠BFD = ∠BAD = 90°$，即$CD ⊥ EB$。
【答案】
$CD=EB$，$CD⊥ EB$
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、垂直的判定
【点评】
本题是手拉手全等模型的基础应用题，解题关键是通过角的和差得到全等的对应夹角相等，再利用全等性质推导边和角的关系，侧重考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要判断CD与EB的数量和位置关系，首先从已知的两组边相等、两组垂直关系入手：先通过角的和差推导△ACD和△AEB的夹角相等，利用SAS证明两个三角形全等，即可得到边的数量关系；再利用全等的对应角相等，结合对顶角相等的性质，推导两条线段的夹角为90°，就能得到位置关系。
【解析】
猜想$CD = EB$，$CD ⊥ EB$，证明如下：
$\because AD ⊥ AB$，$AE ⊥ AC$，$\therefore ∠DAB = ∠EAC = 90°$，
$\therefore ∠DAB + ∠BAC = ∠EAC + ∠BAC$，
即$∠CAD = ∠EAB$。
在$△ ACD$和$△ AEB$中，
$\begin{cases} AD = AB, \\ ∠CAD = ∠EAB, \\ AC = AE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ AEB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CD = EB$，$∠ADC = ∠ABE$。
设AB与CD交于点G，BE与CD交于点F，
$\because ∠AGD = ∠FGB$，结合三角形内角和为$180°$，
可得$∠BFD = ∠BAD = 90°$，即$CD ⊥ EB$。
【答案】
$CD=EB$，$CD⊥ EB$
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、垂直的判定
【点评】
本题是手拉手全等模型的基础应用题，解题关键是通过角的和差得到全等的对应夹角相等，再利用全等性质推导边和角的关系，侧重考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
11. 推理能力 一题多解 如图,在△ABC中,AB＞AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,则AB-AC与PB-PC的大小关系是 (
A.AB - AC ＞ PB - PC
B.AB - AC ＜ PB - PC
C.AB - AC = PB - PC
D.无法确定
答案 P38
解决网格中的角度问题
则∠1 + ∠2的度数为 .
A
)A.AB - AC ＞ PB - PC
B.AB - AC ＜ PB - PC
C.AB - AC = PB - PC
D.无法确定
答案 P38
解决网格中的角度问题
则∠1 + ∠2的度数为 .
答案
11 A 通解 如图1,延长$AC$至点$M$,使$AM = AB$,连接$PM.$
在$△ ABP$和$△ AMP$中,$\begin{cases} AB = AM, \\ ∠1 = ∠2, \\ AP = AP, \end{cases}$
$\therefore △ ABP ≌ △ AMP(\mathrm{SAS}), \therefore PB = PM.$
在$△ PCM$中,根据三角形的三边关系,得$CM ＞ PM - PC,$
$\therefore AM - AC ＞ PB - PC, \therefore AB - AC ＞ PB - PC.$
另解 如图2,在$AB$上取一点$E$,使$AE = AC$,连接$PE.$
在$△ AEP$和$△ ACP$中,$\begin{cases} AE = AC, \\ ∠1 = ∠2, \\ AP = AP, \end{cases} \therefore △ AEP ≌ △ ACP(\mathrm{SAS}),$
$\therefore PE = PC. \because AE = AC, \therefore BE = AB - AE = AB - AC.$
在$△ PBE$中,根据三角形的三边关系,得$BE ＞ PB - PE,$
$\therefore AB - AC ＞ PB - PC.$
解析
【分析】
要比较AB-AC和PB-PC的大小，直接观察无法得出结论，可结合已知的角平分线条件，用截长补短法构造全等三角形实现线段转化：要么在较长边AB上截取线段等于AC，要么延长较短边AC至与AB等长，先将AB与AC的差转化为一条独立的线段，再通过全等三角形将PB或PC等量替换，使待比较的两个量处于同一个三角形中，最后利用三角形三边关系判断大小即可。
【解析】
通解：
如图1，延长$AC$至点$M$，使$AM = AB$，连接$PM$。
在$△ ABP$和$△ AMP$中：
$\begin{cases} AB = AM, \\ ∠1 = ∠2, \\ AP = AP, \end{cases}$
$\therefore △ ABP ≌ △ AMP(\mathrm{SAS})$，$\therefore PB = PM$。
在$△ PCM$中，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，得$CM ＞ PM - PC$。
又$\because CM=AM - AC=AB-AC$，$PM=PB$，代入可得$AB - AC ＞ PB - PC$。
另解：
如图2，在$AB$上取一点$E$，使$AE = AC$，连接$PE$。
在$△ AEP$和$△ ACP$中：
$\begin{cases} AE = AC, \\ ∠1 = ∠2, \\ AP = AP, \end{cases}$
$\therefore △ AEP ≌ △ ACP(\mathrm{SAS})$，$\therefore PE = PC$。
$\because AE = AC$，$\therefore BE = AB - AE = AB - AC$。
在$△ PBE$中，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，得$BE ＞ PB - PE$。
将$BE=AB-AC$、$PE=PC$代入可得$AB - AC ＞ PB - PC$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，截长补短构造全等
【点评】
本题是线段大小比较的典型几何题，核心是通过构造全等三角形实现线段的等量转化，将分散的待比较量整合到同一个三角形中，结合三边关系求解，能有效锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要比较AB-AC和PB-PC的大小，直接观察无法得出结论，可结合已知的角平分线条件，用截长补短法构造全等三角形实现线段转化：要么在较长边AB上截取线段等于AC，要么延长较短边AC至与AB等长，先将AB与AC的差转化为一条独立的线段，再通过全等三角形将PB或PC等量替换，使待比较的两个量处于同一个三角形中，最后利用三角形三边关系判断大小即可。
【解析】
通解：
如图1，延长$AC$至点$M$，使$AM = AB$，连接$PM$。
在$△ ABP$和$△ AMP$中：
$\begin{cases} AB = AM, \\ ∠1 = ∠2, \\ AP = AP, \end{cases}$
$\therefore △ ABP ≌ △ AMP(\mathrm{SAS})$，$\therefore PB = PM$。
在$△ PCM$中，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，得$CM ＞ PM - PC$。
又$\because CM=AM - AC=AB-AC$，$PM=PB$，代入可得$AB - AC ＞ PB - PC$。
另解：
如图2，在$AB$上取一点$E$，使$AE = AC$，连接$PE$。
在$△ AEP$和$△ ACP$中：
$\begin{cases} AE = AC, \\ ∠1 = ∠2, \\ AP = AP, \end{cases}$
$\therefore △ AEP ≌ △ ACP(\mathrm{SAS})$，$\therefore PE = PC$。
$\because AE = AC$，$\therefore BE = AB - AE = AB - AC$。
在$△ PBE$中，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，得$BE ＞ PB - PE$。
将$BE=AB-AC$、$PE=PC$代入可得$AB - AC ＞ PB - PC$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，截长补短构造全等
【点评】
本题是线段大小比较的典型几何题，核心是通过构造全等三角形实现线段的等量转化，将分散的待比较量整合到同一个三角形中，结合三边关系求解，能有效锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
3. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$的度数为
135°
。答案
3 135° 如图,在$△ ABC$和$△ CED$中,$\begin{cases} AB = CE = 3, \\ ∠ABC = ∠CED = 90°, \\ BC = ED = 1, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CED(\mathrm{SAS}), \therefore ∠1 = ∠DCE. \because ∠DCE + ∠3 = 90°(\mathrm{直角三角形的两锐角互余}), \therefore ∠1 + ∠3 = 90°.$ 易知$∠2 = 45°, \therefore ∠1 + ∠2 + ∠3 = 135°.$
解析
【分析】
解题时先观察网格特征：正方形网格的各小正方形边长相等，存在大量等线段和直角。首先通过边长和直角的条件证明∠1和∠3所在的三角形全等，推导得到∠1与∠3的和为90°；再判断∠2是等腰直角三角形的锐角，度数为45°，最后将三个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
设小正方形的边长为1，如图：
在$△ ABC$和$△ CED$中，
$\begin{cases} AB = CE = 3, \\ ∠ABC = ∠CED = 90°, \\ BC = ED = 1, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CED(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠1 = ∠DCE$。
$\because △ CED$是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可得$∠DCE + ∠3 = 90°$，
$\therefore ∠1 + ∠3 = 90°$。
观察$∠ 2$所在的三角形，是腰长为2的等腰直角三角形，因此$∠ 2 = 45°$，
$\therefore ∠1 + ∠2 + ∠3 = 90° + 45° = 135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的网格角度计算问题，解题的核心是利用网格边长相等、直角多的特点构造全等三角形，将未知角度关系转化为已知的互余、特殊角关系求解，能很好地考查学生的识图能力和全等知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察网格特征：正方形网格的各小正方形边长相等，存在大量等线段和直角。首先通过边长和直角的条件证明∠1和∠3所在的三角形全等，推导得到∠1与∠3的和为90°；再判断∠2是等腰直角三角形的锐角，度数为45°，最后将三个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
设小正方形的边长为1，如图：
在$△ ABC$和$△ CED$中，
$\begin{cases} AB = CE = 3, \\ ∠ABC = ∠CED = 90°, \\ BC = ED = 1, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CED(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠1 = ∠DCE$。
$\because △ CED$是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可得$∠DCE + ∠3 = 90°$，
$\therefore ∠1 + ∠3 = 90°$。
观察$∠ 2$所在的三角形，是腰长为2的等腰直角三角形，因此$∠ 2 = 45°$，
$\therefore ∠1 + ∠2 + ∠3 = 90° + 45° = 135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的网格角度计算问题，解题的核心是利用网格边长相等、直角多的特点构造全等三角形，将未知角度关系转化为已知的互余、特殊角关系求解，能很好地考查学生的识图能力和全等知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
