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1 若$(x-3)^0 - 2(2x - 4)^{-1}$有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x≠3$
B.$x≠2$
C.$x≠3$或$x≠2$
D.$x≠3$且$x≠2$
D
）A.$x≠3$
B.$x≠2$
C.$x≠3$或$x≠2$
D.$x≠3$且$x≠2$
答案
D 【解析】
∵ $(x-3)^0 -2(2x-4)^{-1}$有意义，
∴ $x-3≠0$ 且 $2x-4≠0$,
∴ $x≠3$ 且 $x≠2$. 故选 D.
∵ $(x-3)^0 -2(2x-4)^{-1}$有意义，
∴ $x-3≠0$ 且 $2x-4≠0$,
∴ $x≠3$ 且 $x≠2$. 故选 D.
2 我们知道：$2^1=2,2^2=4,···,2^{10}=1024$，那么$2^{-30}$接近于（
A.$10^{-10}$
B.$10^{-9}$
C.$10^{-8}$
D.$10^{-7}$
B
）A.$10^{-10}$
B.$10^{-9}$
C.$10^{-8}$
D.$10^{-7}$
答案
B 【解析】
∵ $2^{10} = 1 024 ≈ 1×10^3$,
∴ $2^{-30} = (2^{10})^{-3} ≈ (10^3)^{-3} = 10^{-9}$. 故选 B.
∵ $2^{10} = 1 024 ≈ 1×10^3$,
∴ $2^{-30} = (2^{10})^{-3} ≈ (10^3)^{-3} = 10^{-9}$. 故选 B.
3 若$4^{3n}×8^{n}=(\dfrac{1}{2})^{-9}$，则$n$的值是（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
A 【解析】
∵ $4^{3n}×8^{n} = (\dfrac{1}{2})^{-9}, ∴ 2^{6n}×2^{3n} = 2^9, ∴ 2^{9n}=2^9, ∴ 9n=9$, 解得 $n=1$. 故选 A.
∵ $4^{3n}×8^{n} = (\dfrac{1}{2})^{-9}, ∴ 2^{6n}×2^{3n} = 2^9, ∴ 2^{9n}=2^9, ∴ 9n=9$, 解得 $n=1$. 故选 A.
4 将$\frac{3a}{(2a - b)^2}$写成不含分母的形式，其结果为
$3a(2a-b)^{-2}$
。答案
$3a(2a-b)^{-2}$ 【解析】$\dfrac{3a}{(2a-b)^2}=3a(2a-b)^{-2}$. 故答案为 $3a(2a-b)^{-2}$.
5[2026江苏扬州期中]在数$(-\dfrac{1}{2})^{-2}, (-2)^{-2}, (-\dfrac{1}{2})^{-1}, (-2)^{-1}$中，最小的数是（
A.$(-\dfrac{1}{2})^{-2}$
B.$(-2)^{-2}$
C.$(-\dfrac{1}{2})^{-1}$
D.$(-2)^{-1}$
C
）A.$(-\dfrac{1}{2})^{-2}$
B.$(-2)^{-2}$
C.$(-\dfrac{1}{2})^{-1}$
D.$(-2)^{-1}$
答案
C 【解析】$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=4$, $(-2)^{-2}=\dfrac{1}{4}$, $(-\dfrac{1}{2})^{-1}=-2$, $(-2)^{-1}=-\dfrac{1}{2}$.
∵ $-2＜-\dfrac{1}{2}＜\dfrac{1}{4}＜4$,
∴ 最小的数是$(-\dfrac{1}{2})^{-1}$. 故选 C.
∵ $-2＜-\dfrac{1}{2}＜\dfrac{1}{4}＜4$,
∴ 最小的数是$(-\dfrac{1}{2})^{-1}$. 故选 C.
6 [2026 湖南益阳期末] 计算：$(\dfrac{3ab^{-2}}{2a^{-1}b})^{-1} =$
$\dfrac{2b^3}{3a^2}$
.答案
$\dfrac{2b^3}{3a^2}$ 【解析】原式$=(\dfrac{3a^2}{2b^3})^{-1}=\dfrac{2b^3}{3a^2}$. 故答案为$\dfrac{2b^3}{3a^2}$.
7[2026福建泉州质检]若实数$m,n$满足$m^2 - m + 3n^2 + 3n = -1$,则$m^{-2} - n^0 = \underline{\hspace{5cm}}$.
答案
3 【解析】
∵ $m^2 -m +3n^2 +3n = -1$,
∴ $m^2 -m +3n^2+3n+1=0$,
∴ $(m^2 -m +\dfrac{1}{4})+3(n^2 +n +\dfrac{1}{4})=0$, 即$(m-\dfrac{1}{2})^2 +3(n+\dfrac{1}{2})^2=0$.
∵ $(m-\dfrac{1}{2})^2≥0$,$3(n+\dfrac{1}{2})^2≥0$,
∴ $m-\dfrac{1}{2}=0$, $n+\dfrac{1}{2}=0$, 解得$m=\dfrac{1}{2},n=-\dfrac{1}{2}$,
∴ $m^{-2}-n^0=(\dfrac{1}{2})^{-2}-(-\dfrac{1}{2})^0=4-1=3$. 故答案为3.
∵ $m^2 -m +3n^2 +3n = -1$,
∴ $m^2 -m +3n^2+3n+1=0$,
∴ $(m^2 -m +\dfrac{1}{4})+3(n^2 +n +\dfrac{1}{4})=0$, 即$(m-\dfrac{1}{2})^2 +3(n+\dfrac{1}{2})^2=0$.
∵ $(m-\dfrac{1}{2})^2≥0$,$3(n+\dfrac{1}{2})^2≥0$,
∴ $m-\dfrac{1}{2}=0$, $n+\dfrac{1}{2}=0$, 解得$m=\dfrac{1}{2},n=-\dfrac{1}{2}$,
∴ $m^{-2}-n^0=(\dfrac{1}{2})^{-2}-(-\dfrac{1}{2})^0=4-1=3$. 故答案为3.
8 新考向 传统文化 [2026吉林长春期末]“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》，如图(1)所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将-4,-2,-1,2,3,4,6,7填入如图(2)所示的“幻方”中，部分数字已填入，则$(a+b)^{-2}$的值为
$\dfrac{1}{25}$
。答案
$\dfrac{1}{25}$ 【解析】设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x,则4x-x=-4-2-1+2+3+4+6+7,
∴ 3x=15, 解得x=5,
∴ -4+a+b+4=5,
∴ a+b=5,
∴ $(a+b)^{-2}=\dfrac{1}{25}$. 故答案为$\dfrac{1}{25}$.
思路分析
根据所有数字的总和及每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等,列出方程,求出中间正方形四个顶点上的数字之和,进而求出a+b的值,即可求出答案.
∴ 3x=15, 解得x=5,
∴ -4+a+b+4=5,
∴ a+b=5,
∴ $(a+b)^{-2}=\dfrac{1}{25}$. 故答案为$\dfrac{1}{25}$.
思路分析
根据所有数字的总和及每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等,列出方程,求出中间正方形四个顶点上的数字之和,进而求出a+b的值,即可求出答案.
9[2025上海浦东新区质检]计算:$(x^{-1}-y^{-1})÷(x^{-2}-y^{-2})-xy(x+y)^{-1}$
10计算:$|-2|+(\frac{1}{3})^{-1}×(π-\sqrt{2})^{0}-\sqrt{9}+(-1)^{2}$
10计算:$|-2|+(\frac{1}{3})^{-1}×(π-\sqrt{2})^{0}-\sqrt{9}+(-1)^{2}$
答案
9.【解】$(x^{-1}-y^{-1})÷(x^{-2}-y^{-2})-xy(x+y)^{-1} = (\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}) ÷ (\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}) - \dfrac{xy}{x+y} = (\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}) ÷ [(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y})] - \dfrac{xy}{x+y} = 1÷(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}) - \dfrac{xy}{x+y} = 1÷\dfrac{x+y}{xy} - \dfrac{xy}{x+y} = \dfrac{xy}{x+y} - \dfrac{xy}{x+y} = 0.$
10.【解】原式$=2+3×1-3+1=2+3-3+1=3.$
10.【解】原式$=2+3×1-3+1=2+3-3+1=3.$
11 $a^{-p}=\dfrac{1}{a^{p}}(a≠0,p为正整数)$,即a的负p次幂等于a的p次幂的倒数.例:$4^{-2}=\dfrac{1}{4^{2}}$.
(1)计算:$5^{-2}=$
(2)如果$2^{-p}=\dfrac{1}{8}$,那么$p=$
(3)如果$a^{-p}=\dfrac{1}{36}$,且a,p均为整数,求满足条件的a,p的取值.
(1)计算:$5^{-2}=$
$\dfrac{1}{25}$
;$(-2)^{-2}=$$\dfrac{1}{4}$
.(2)如果$2^{-p}=\dfrac{1}{8}$,那么$p=$
3
;如果$a^{-2}=\dfrac{1}{16}$,那么$a=$±4
.(3)如果$a^{-p}=\dfrac{1}{36}$,且a,p均为整数,求满足条件的a,p的取值.
答案
11.【解】(1)$5^{-2}=\dfrac{1}{25}$;$(-2)^{-2}=\dfrac{1}{4}$. 故答案为$\dfrac{1}{25},\dfrac{1}{4}$.
(2)如果$2^{-p}=\dfrac{1}{8}$,即$2^{-p}=\dfrac{1}{2^3}$,那么p=3;
如果$a^{-2}=\dfrac{1}{16}$,即$a^{-2}=\dfrac{1}{(\pm4)^2}$,那么$a=\pm4$. 故答案为3,±4.
(3)由于a,p均为整数,所以当a=36时,p=1;当a=6时,p=2;当a=-6时,p=2.
归纳总结
对于负整数指数幂:$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$$(a≠0,p为正整数)$,应注意:①$a≠0$;②当底数是分数时,只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数;③在混合运算中,始终要注意运算的顺序.
(2)如果$2^{-p}=\dfrac{1}{8}$,即$2^{-p}=\dfrac{1}{2^3}$,那么p=3;
如果$a^{-2}=\dfrac{1}{16}$,即$a^{-2}=\dfrac{1}{(\pm4)^2}$,那么$a=\pm4$. 故答案为3,±4.
(3)由于a,p均为整数,所以当a=36时,p=1;当a=6时,p=2;当a=-6时,p=2.
归纳总结
对于负整数指数幂:$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$$(a≠0,p为正整数)$,应注意:①$a≠0$;②当底数是分数时,只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数;③在混合运算中,始终要注意运算的顺序.
