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8 A地至B地的航线长9750 km，若一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5 h，它逆风飞行同样的航线要13 h，则飞机在无风时的平均速度是（
A.720 km/h
B.750 km/h
C.765 km/h
D.780 km/h
C
）A.720 km/h
B.750 km/h
C.765 km/h
D.780 km/h
答案
8. C
解析
【分析】
这是一道顺风逆风类型的行程问题，解题核心是明确三类速度的关系：顺风飞行速度=飞机无风时的速度+风速，逆风飞行速度=飞机无风时的速度-风速。结合“路程=速度×时间”的基本公式，我们可以设飞机无风时的速度和风速为两个未知数，根据顺风、逆风飞行的路程均为9750km的等量关系列二元一次方程组，求解即可得到飞机无风时的平均速度。
【解析】
解：设飞机在无风时的平均速度为$x$ km/h，风速为$y$ km/h。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}12.5(x + y) = 9750 \\13(x - y) = 9750\end{cases}$
分别将两个方程两边同时除以对应飞行时间，化简得：
$\begin{cases}x + y = 780 \quad ① \\x - y = 750 \quad ②\end{cases}$
将①+②，可得$2x = 1530$，解得$x = 765$。
即飞机在无风时的平均速度为765 km/h。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用、行程问题数量关系
【点评】
本题是典型的行程类实际应用题，解题关键是准确梳理顺风、逆风场景下的速度关系，结合路程公式提取等量关系列方程求解，侧重考察对实际问题中等量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.75
这是一道顺风逆风类型的行程问题，解题核心是明确三类速度的关系：顺风飞行速度=飞机无风时的速度+风速，逆风飞行速度=飞机无风时的速度-风速。结合“路程=速度×时间”的基本公式，我们可以设飞机无风时的速度和风速为两个未知数，根据顺风、逆风飞行的路程均为9750km的等量关系列二元一次方程组，求解即可得到飞机无风时的平均速度。
【解析】
解：设飞机在无风时的平均速度为$x$ km/h，风速为$y$ km/h。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}12.5(x + y) = 9750 \\13(x - y) = 9750\end{cases}$
分别将两个方程两边同时除以对应飞行时间，化简得：
$\begin{cases}x + y = 780 \quad ① \\x - y = 750 \quad ②\end{cases}$
将①+②，可得$2x = 1530$，解得$x = 765$。
即飞机在无风时的平均速度为765 km/h。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用、行程问题数量关系
【点评】
本题是典型的行程类实际应用题，解题关键是准确梳理顺风、逆风场景下的速度关系，结合路程公式提取等量关系列方程求解，侧重考察对实际问题中等量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.75
9 新情境 传统文化 榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.有若干个相同的木构件,其形状如图①所示.当3个木构件按如图②所示的方式紧密拼成一列时,总长度为17 cm,当9个木构件按如图②所示的方式紧密拼成一列时,总长度为50 cm,则图①中的木构件长度为
6
cm.答案
9. 6
解析
【分析】
解决本题首先要明确拼接类问题的长度规律：n个相同构件紧密拼接时，会产生(n-1)个重叠部分，总长度=单个构件长度×构件个数 - 单个重叠部分长度×重叠个数。我们可以设单个木构件长度为x cm，每两个构件拼接的重叠部分长度为y cm，根据3个、9个构件拼接的总长度分别列方程，组成二元一次方程组求解即可得到单个木构件的长度。
【解析】
设图①中单个木构件的长度为$ x $ cm，每两个构件拼接时重叠部分的长度为$ y $ cm。
3个木构件拼接时，重叠处有$ 3-1=2 $个，根据总长度为17 cm可得：
$ 3x - 2y = 17 $ ①
9个木构件拼接时，重叠处有$ 9-1=8 $个，根据总长度为50 cm可得：
$ 9x - 8y = 50 $ ②
将①×3得：$ 9x - 6y = 51 $ ③
用③-②消去$ x $：
$ (9x - 6y) - (9x - 8y) = 51 - 50 $
化简得$ 2y = 1 $，解得$ y = 0.5 $。
把$ y = 0.5 $代入①：
$ 3x - 2×0.5 = 17 $
$ 3x - 1 = 17 $
解得$ x = 6 $。
【答案】
6
【知识点】
二元一次方程组应用，图形拼接规律
【点评】
本题结合传统榫卯结构创设情境，考查实际问题的建模与求解能力，解题核心是准确找到拼接时重叠部分的数量，正确列出等量关系。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确拼接类问题的长度规律：n个相同构件紧密拼接时，会产生(n-1)个重叠部分，总长度=单个构件长度×构件个数 - 单个重叠部分长度×重叠个数。我们可以设单个木构件长度为x cm，每两个构件拼接的重叠部分长度为y cm，根据3个、9个构件拼接的总长度分别列方程，组成二元一次方程组求解即可得到单个木构件的长度。
【解析】
设图①中单个木构件的长度为$ x $ cm，每两个构件拼接时重叠部分的长度为$ y $ cm。
3个木构件拼接时，重叠处有$ 3-1=2 $个，根据总长度为17 cm可得：
$ 3x - 2y = 17 $ ①
9个木构件拼接时，重叠处有$ 9-1=8 $个，根据总长度为50 cm可得：
$ 9x - 8y = 50 $ ②
将①×3得：$ 9x - 6y = 51 $ ③
用③-②消去$ x $：
$ (9x - 6y) - (9x - 8y) = 51 - 50 $
化简得$ 2y = 1 $，解得$ y = 0.5 $。
把$ y = 0.5 $代入①：
$ 3x - 2×0.5 = 17 $
$ 3x - 1 = 17 $
解得$ x = 6 $。
【答案】
6
【知识点】
二元一次方程组应用，图形拼接规律
【点评】
本题结合传统榫卯结构创设情境，考查实际问题的建模与求解能力，解题核心是准确找到拼接时重叠部分的数量，正确列出等量关系。
【难度系数】
0.7
10 如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅。根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度。
答案
设这种书的厚度为 x cm,竖放时的高度为 y cm. 根据题意,得
$\begin{cases}34x+9=2y+16,\\16x+6=y+8,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1.5,\\y=22.\end{cases}$
所以这种书的厚度为1.5 cm,竖放时的高度为 22 cm
$\begin{cases}34x+9=2y+16,\\16x+6=y+8,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1.5,\\y=22.\end{cases}$
所以这种书的厚度为1.5 cm,竖放时的高度为 22 cm
解析
【分析】
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题关键是从图中提取隐含的等量关系：同一书架的高度（竖直总长度）和宽度（水平总长度）是固定不变的。我们可以设书的厚度和竖放高度为两个未知数，分别用未知数表示出两个图对应的书架高度和宽度，列出方程组求解即可。
【解析】
解：设这种书的厚度为$x\ \mathrm{cm}$，竖放时的高度为$y\ \mathrm{cm}$。
根据书架宽度相等，可得：$34x + 9 = 2y + 16$
根据书架高度相等，可得：$16x + 6 = y + 8$
联立得到方程组：
$\begin{cases}34x+9=2y+16\\16x+6=y+8\end{cases}$
由第二个方程整理得：$y = 16x - 2$，将其代入第一个方程：
$34x + 9 = 2(16x - 2) + 16$
$34x + 9 = 32x - 4 + 16$
$2x = 3$
解得$x = 1.5$
将$x=1.5$代入$y=16x-2$，得$y=16×1.5 - 2 = 22$
经检验，方程组的解符合实际意义。
【答案】
这种书的厚度为$1.5\ \mathrm{cm}$，竖放时的高度为$22\ \mathrm{cm}$
【知识点】
二元一次方程组应用；等量关系建立；解二元一次方程组
【点评】
本题属于图文结合的应用题，需要结合图形理解各数据对应的含义，抓住书架高度、宽度不变的隐含条件建立等量关系是解题的突破口，能够锻炼学生的读图分析和方程建模能力。
【难度系数】
0.7
本题是二元一次方程组的实际应用题，解题关键是从图中提取隐含的等量关系：同一书架的高度（竖直总长度）和宽度（水平总长度）是固定不变的。我们可以设书的厚度和竖放高度为两个未知数，分别用未知数表示出两个图对应的书架高度和宽度，列出方程组求解即可。
【解析】
解：设这种书的厚度为$x\ \mathrm{cm}$，竖放时的高度为$y\ \mathrm{cm}$。
根据书架宽度相等，可得：$34x + 9 = 2y + 16$
根据书架高度相等，可得：$16x + 6 = y + 8$
联立得到方程组：
$\begin{cases}34x+9=2y+16\\16x+6=y+8\end{cases}$
由第二个方程整理得：$y = 16x - 2$，将其代入第一个方程：
$34x + 9 = 2(16x - 2) + 16$
$34x + 9 = 32x - 4 + 16$
$2x = 3$
解得$x = 1.5$
将$x=1.5$代入$y=16x-2$，得$y=16×1.5 - 2 = 22$
经检验，方程组的解符合实际意义。
【答案】
这种书的厚度为$1.5\ \mathrm{cm}$，竖放时的高度为$22\ \mathrm{cm}$
【知识点】
二元一次方程组应用；等量关系建立；解二元一次方程组
【点评】
本题属于图文结合的应用题，需要结合图形理解各数据对应的含义，抓住书架高度、宽度不变的隐含条件建立等量关系是解题的突破口，能够锻炼学生的读图分析和方程建模能力。
【难度系数】
0.7
11 甲、乙两名同学玩“托球赛跑”游戏，规定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点P跑回到起跑线（如图）；途中乒乓球掉下时必须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜。结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6 s，乙同学以2.5 m/s的速度顺利跑完全程。事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50 s。”乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍。”请根据图文信息解决下面的问题：
（1）求甲的赛跑速度；
（2）在此次“托球赛跑”游戏中，哪名同学获胜？
（1）求甲的赛跑速度；
（2）在此次“托球赛跑”游戏中，哪名同学获胜？
答案
(1) $2.5×1.2=3(\mathrm{m/s})$,所以甲的赛跑速度为 3 m/s
(2) 设甲同学用时为 x s,乙同学用时为 y s. 根据题意,得
$\begin{cases}x+y=50,\\3(x-6)=2.5y,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=26,\\y=24,\end{cases}$
因为 24＜26,所以在此次“托球赛跑”游戏中,乙同学获胜
(2) 设甲同学用时为 x s,乙同学用时为 y s. 根据题意,得
$\begin{cases}x+y=50,\\3(x-6)=2.5y,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=26,\\y=24,\end{cases}$
因为 24＜26,所以在此次“托球赛跑”游戏中,乙同学获胜
解析
【分析】
（1）第一问求甲的赛跑速度，题目明确给出不含捡球时间时甲的速度是乙的1.2倍，已知乙的速度为2.5m/s，直接用乙的速度乘1.2即可求解。
（2）第二问判断谁获胜，本质是比较两人跑完全程的总时长，用时短者获胜。我们可以设甲总用时为$x$ s，乙总用时为$y$ s，首先根据“两人全部时间的和为50s”得到第一个等量关系$x+y=50$；其次两人跑的总路程相等，甲的实际跑步时间为总时长减去浪费的6s，乘以甲的速度即为总路程，乙的总路程为速度乘总时长，由此得到第二个等量关系$3(x-6)=2.5y$，联立方程组求解后比较$x$和$y$的大小即可得出结论。
【解析】
（1）已知乙的速度为2.5m/s，甲的赛跑速度是乙的1.2倍，因此甲的赛跑速度为：
$2.5×1.2=3(\mathrm{m/s})$
（2）设甲同学跑完全程总用时为$x$ s，乙同学跑完全程总用时为$y$ s，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=50\\3(x-6)=2.5y\end{cases}$
将$y=50-x$代入第二个方程，得：
$3(x-6)=2.5(50-x)$
展开计算：$3x-18=125-2.5x$
移项合并同类项：$5.5x=143$，解得$x=26$
将$x=26$代入$y=50-x$，得$y=24$
因为$24＜26$，即乙的总用时更短，所以乙同学获胜。
【答案】
(1) 甲的赛跑速度为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m/s}}$；
(2) 此次“托球赛跑”游戏中$\boldsymbol{乙同学}$获胜。
【知识点】
二元一次方程组的应用；行程问题基本公式
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查实际问题的方程建模能力，解题关键是准确提取题目中的等量关系，尤其要注意甲的有效跑步时间需要扣除捡球浪费的6秒，再结合路程相等列方程求解，整体难度不高，侧重考查信息提取和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问求甲的赛跑速度，题目明确给出不含捡球时间时甲的速度是乙的1.2倍，已知乙的速度为2.5m/s，直接用乙的速度乘1.2即可求解。
（2）第二问判断谁获胜，本质是比较两人跑完全程的总时长，用时短者获胜。我们可以设甲总用时为$x$ s，乙总用时为$y$ s，首先根据“两人全部时间的和为50s”得到第一个等量关系$x+y=50$；其次两人跑的总路程相等，甲的实际跑步时间为总时长减去浪费的6s，乘以甲的速度即为总路程，乙的总路程为速度乘总时长，由此得到第二个等量关系$3(x-6)=2.5y$，联立方程组求解后比较$x$和$y$的大小即可得出结论。
【解析】
（1）已知乙的速度为2.5m/s，甲的赛跑速度是乙的1.2倍，因此甲的赛跑速度为：
$2.5×1.2=3(\mathrm{m/s})$
（2）设甲同学跑完全程总用时为$x$ s，乙同学跑完全程总用时为$y$ s，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=50\\3(x-6)=2.5y\end{cases}$
将$y=50-x$代入第二个方程，得：
$3(x-6)=2.5(50-x)$
展开计算：$3x-18=125-2.5x$
移项合并同类项：$5.5x=143$，解得$x=26$
将$x=26$代入$y=50-x$，得$y=24$
因为$24＜26$，即乙的总用时更短，所以乙同学获胜。
【答案】
(1) 甲的赛跑速度为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m/s}}$；
(2) 此次“托球赛跑”游戏中$\boldsymbol{乙同学}$获胜。
【知识点】
二元一次方程组的应用；行程问题基本公式
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查实际问题的方程建模能力，解题关键是准确提取题目中的等量关系，尤其要注意甲的有效跑步时间需要扣除捡球浪费的6秒，再结合路程相等列方程求解，整体难度不高，侧重考查信息提取和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
12 甲、乙两地相距160 km，汽车和拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 h 20 min 相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h后调头按原速返回，汽车在返回后0.5 h追上了拖拉机。
(1) 1 h 20 min=
(2) 相向而行时，汽车行驶
(3) 到第二次相遇时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？
(1) 1 h 20 min=
$\frac{4}{3}$
h.(2) 相向而行时，汽车行驶
$\frac{4}{3}$
h 的路程 + 拖拉机行驶$\frac{4}{3}$
h 的路程 = 160 km；同向而行时，汽车行驶$\frac{1}{2}$
h 的路程=拖拉机行驶$\frac{3}{2}$
h 的路程.(3) 到第二次相遇时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？
答案
(1) $\frac{4}{3}$
(2) $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$
(3) 设汽车的速度为x km/h,拖拉机的速度为 y km/h. 由题意,得
$\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}y=160,\\\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}y,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=90,\\y=30.\end{cases}$
所以到第二次相遇时,汽车行驶了$(\frac{4}{3}+\frac{1}{2})×90=165(\mathrm{km})$,拖拉机行驶了$(\frac{4}{3}+\frac{3}{2})×30=85(\mathrm{km})$
(2) $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{3}{2}$
(3) 设汽车的速度为x km/h,拖拉机的速度为 y km/h. 由题意,得
$\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}y=160,\\\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}y,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=90,\\y=30.\end{cases}$
所以到第二次相遇时,汽车行驶了$(\frac{4}{3}+\frac{1}{2})×90=165(\mathrm{km})$,拖拉机行驶了$(\frac{4}{3}+\frac{3}{2})×30=85(\mathrm{km})$
解析
【分析】
1. 第(1)问考查时间单位换算，分钟转换为小时需除以进率60，将20分钟换算为小时后与1小时相加即可得到结果。
2. 第(2)问梳理行程等量关系：相向而行相遇时，两车同时出发到相遇的行驶时间相同，路程和为两地总距离；追及阶段，汽车停留1小时后仅行驶0.5小时就追上拖拉机，拖拉机全程未停留，从相遇到被追上的总行驶时间为停留时长加汽车追及时长，此时两车行驶路程相等。
3. 第(3)问先设汽车、拖拉机的速度为未知数，结合前两问得到的两个等量关系列二元一次方程组，解出速度后，分别计算两车从出发到第二次相遇的总行驶时间，乘对应速度即可得到总行驶路程。
【解析】
(1) 因为$20\mathrm{min}=\frac{20}{60}\mathrm{h}=\frac{1}{3}\mathrm{h}$，所以$1\mathrm{h}20\mathrm{min}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\mathrm{h}$。
(2) 相向而行相遇时，两车行驶时间均为$\frac{4}{3}\mathrm{h}$，因此汽车行驶$\frac{4}{3}\mathrm{h}$的路程 + 拖拉机行驶$\frac{4}{3}\mathrm{h}$的路程 = 160 km；
追及时，汽车追及阶段行驶时长为$0.5\mathrm{h}=\frac{1}{2}\mathrm{h}$，拖拉机从相遇到被追上的总行驶时长为$1+0.5=\frac{3}{2}\mathrm{h}$，因此汽车行驶$\frac{1}{2}\mathrm{h}$的路程=拖拉机行驶$\frac{3}{2}\mathrm{h}$的路程。
(3) 设汽车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，拖拉机的速度为$y\ \mathrm{km/h}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}y=160,\\\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}y,\end{cases}$
化简第二个方程得$x=3y$，代入第一个方程解得$y=30$，因此$x=90$。
到第二次相遇时，汽车总行驶时间为$\frac{4}{3}+\frac{1}{2}=\frac{11}{6}\mathrm{h}$，总路程为$\frac{11}{6}×90=165\mathrm{km}$；
拖拉机总行驶时间为$\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{17}{6}\mathrm{h}$，总路程为$\frac{17}{6}×30=85\mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\frac{4}{3}$
(2) $\frac{4}{3}$；$\frac{4}{3}$；$\frac{1}{2}$；$\frac{3}{2}$
(3) 汽车行驶了165km，拖拉机行驶了85km
【知识点】
二元一次方程组的应用；相遇问题；追及问题
【点评】
本题是行程类基础应用题，核心考点是梳理不同阶段车辆的行驶时间、找准等量关系，只要理清时间线，结合相遇、追及的路程关系列方程求解即可，计算时注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问考查时间单位换算，分钟转换为小时需除以进率60，将20分钟换算为小时后与1小时相加即可得到结果。
2. 第(2)问梳理行程等量关系：相向而行相遇时，两车同时出发到相遇的行驶时间相同，路程和为两地总距离；追及阶段，汽车停留1小时后仅行驶0.5小时就追上拖拉机，拖拉机全程未停留，从相遇到被追上的总行驶时间为停留时长加汽车追及时长，此时两车行驶路程相等。
3. 第(3)问先设汽车、拖拉机的速度为未知数，结合前两问得到的两个等量关系列二元一次方程组，解出速度后，分别计算两车从出发到第二次相遇的总行驶时间，乘对应速度即可得到总行驶路程。
【解析】
(1) 因为$20\mathrm{min}=\frac{20}{60}\mathrm{h}=\frac{1}{3}\mathrm{h}$，所以$1\mathrm{h}20\mathrm{min}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\mathrm{h}$。
(2) 相向而行相遇时，两车行驶时间均为$\frac{4}{3}\mathrm{h}$，因此汽车行驶$\frac{4}{3}\mathrm{h}$的路程 + 拖拉机行驶$\frac{4}{3}\mathrm{h}$的路程 = 160 km；
追及时，汽车追及阶段行驶时长为$0.5\mathrm{h}=\frac{1}{2}\mathrm{h}$，拖拉机从相遇到被追上的总行驶时长为$1+0.5=\frac{3}{2}\mathrm{h}$，因此汽车行驶$\frac{1}{2}\mathrm{h}$的路程=拖拉机行驶$\frac{3}{2}\mathrm{h}$的路程。
(3) 设汽车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，拖拉机的速度为$y\ \mathrm{km/h}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}y=160,\\\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}y,\end{cases}$
化简第二个方程得$x=3y$，代入第一个方程解得$y=30$，因此$x=90$。
到第二次相遇时，汽车总行驶时间为$\frac{4}{3}+\frac{1}{2}=\frac{11}{6}\mathrm{h}$，总路程为$\frac{11}{6}×90=165\mathrm{km}$；
拖拉机总行驶时间为$\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{17}{6}\mathrm{h}$，总路程为$\frac{17}{6}×30=85\mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\frac{4}{3}$
(2) $\frac{4}{3}$；$\frac{4}{3}$；$\frac{1}{2}$；$\frac{3}{2}$
(3) 汽车行驶了165km，拖拉机行驶了85km
【知识点】
二元一次方程组的应用；相遇问题；追及问题
【点评】
本题是行程类基础应用题，核心考点是梳理不同阶段车辆的行驶时间、找准等量关系，只要理清时间线，结合相遇、追及的路程关系列方程求解即可，计算时注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.7
