登录
1 如图，9个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形ABCD，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（
A.$\begin{cases}2x=7y, \\2(7y+x+y)=46 \end{cases}$
B.$\begin{cases}2x=7y, \\7y+x+y=46 \end{cases}$
C.$\begin{cases}2x=7y, \\2(7x+x+y)=46 \end{cases}$
D.$\begin{cases}7x=2y, \\7x+x+y=46 \end{cases}$
A
）A.$\begin{cases}2x=7y, \\2(7y+x+y)=46 \end{cases}$
B.$\begin{cases}2x=7y, \\7y+x+y=46 \end{cases}$
C.$\begin{cases}2x=7y, \\2(7x+x+y)=46 \end{cases}$
D.$\begin{cases}7x=2y, \\7x+x+y=46 \end{cases}$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时先从图形中挖掘两个核心等量关系：①大长方形上下对边长度相等，上方边长是7个小长方形的宽之和，下方边长是2个小长方形的长之和，据此列出第一个方程；②已知大长方形周长为46，先确定大长方形的长和宽（大长方形的宽为小长方形的长+宽），结合长方形周长公式列出第二个方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：根据大长方形对边相等列第一个方程：
观察图形可知，大长方形的上边AD长为7个小长方形的宽之和，即$AD=7y$；大长方形的下边BC长为2个小长方形的长之和，即$BC=2x$。
由$AD=BC$，得$2x=7y$。
第二步：根据大长方形周长公式列第二个方程：
大长方形的长为$7y$，大长方形的宽为小长方形的长+宽，即$x+y$。
长方形周长公式为$C=2×(长+宽)$，已知周长为46，代入得：
$2(7y+x+y)=46$。
联立两个方程，得到方程组$\begin{cases}2x=7y, \\2(7y+x+y)=46 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二元一次方程组应用
2.长方形周长计算
3.长方形对边相等
【点评】
本题是结合几何图形的方程应用题，核心是通过观察图形找到小长方形长宽与大长方形长宽的对应关系，只要仔细梳理图形边长的组成，就能快速列出方程组，是方程与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从图形中挖掘两个核心等量关系：①大长方形上下对边长度相等，上方边长是7个小长方形的宽之和，下方边长是2个小长方形的长之和，据此列出第一个方程；②已知大长方形周长为46，先确定大长方形的长和宽（大长方形的宽为小长方形的长+宽），结合长方形周长公式列出第二个方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：根据大长方形对边相等列第一个方程：
观察图形可知，大长方形的上边AD长为7个小长方形的宽之和，即$AD=7y$；大长方形的下边BC长为2个小长方形的长之和，即$BC=2x$。
由$AD=BC$，得$2x=7y$。
第二步：根据大长方形周长公式列第二个方程：
大长方形的长为$7y$，大长方形的宽为小长方形的长+宽，即$x+y$。
长方形周长公式为$C=2×(长+宽)$，已知周长为46，代入得：
$2(7y+x+y)=46$。
联立两个方程，得到方程组$\begin{cases}2x=7y, \\2(7y+x+y)=46 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二元一次方程组应用
2.长方形周长计算
3.长方形对边相等
【点评】
本题是结合几何图形的方程应用题，核心是通过观察图形找到小长方形长宽与大长方形长宽的对应关系，只要仔细梳理图形边长的组成，就能快速列出方程组，是方程与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
2（易错题）利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按如图①所示的方式放置，再交换两个木块的位置，按如图②所示的方式放置，则桌子的高度是（
A.81 cm
B.83 cm
C.85 cm
D.87 cm
C
）A.81 cm
B.83 cm
C.85 cm
D.87 cm
答案
2. 易因对于几何图形问题理解不透,乱找等量关系而出错。答案为C
解析
【分析】
遇到这类有多个未知量的实际问题，我们可以先通过设未知数表示各未知量，再结合图示的高度关系列出等量关系式，最后观察式子特点消去不需要的未知量，就能求出桌子的高度。首先设桌子高度、木块的长和宽为三个未知量，分别根据两种放置方式的测量高度列方程，再将两个方程相加即可消去木块长宽这两个未知量，计算得到桌子高度。
【解析】
解：设桌子的高度为$ h\ \mathrm{cm} $，长方形木块的长为$ a\ \mathrm{cm} $，宽为$ b\ \mathrm{cm} $。
根据图①的放置方式，可列等式：
$ h + b - a = 90 $ ①
根据图②的放置方式，可列等式：
$ h + a - b = 80 $ ②
将①和②左右两边分别相加，得：
$ (h + b - a) + (h + a - b) = 90 + 80 $
化简后得：$ 2h = 170 $
解得：$ h = 85 $
【答案】
C
【知识点】
列方程解实际问题；加减消元法
【点评】
本题不需要单独求出木块的长和宽，通过整体消元的方法即可直接计算出桌子的高度，解题时要注意准确提取图示的等量关系，避免被多余未知量干扰。
【难度系数】
0.6
遇到这类有多个未知量的实际问题，我们可以先通过设未知数表示各未知量，再结合图示的高度关系列出等量关系式，最后观察式子特点消去不需要的未知量，就能求出桌子的高度。首先设桌子高度、木块的长和宽为三个未知量，分别根据两种放置方式的测量高度列方程，再将两个方程相加即可消去木块长宽这两个未知量，计算得到桌子高度。
【解析】
解：设桌子的高度为$ h\ \mathrm{cm} $，长方形木块的长为$ a\ \mathrm{cm} $，宽为$ b\ \mathrm{cm} $。
根据图①的放置方式，可列等式：
$ h + b - a = 90 $ ①
根据图②的放置方式，可列等式：
$ h + a - b = 80 $ ②
将①和②左右两边分别相加，得：
$ (h + b - a) + (h + a - b) = 90 + 80 $
化简后得：$ 2h = 170 $
解得：$ h = 85 $
【答案】
C
【知识点】
列方程解实际问题；加减消元法
【点评】
本题不需要单独求出木块的长和宽，通过整体消元的方法即可直接计算出桌子的高度，解题时要注意准确提取图示的等量关系，避免被多余未知量干扰。
【难度系数】
0.6
3 如图，现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中涂色部分）区域种植鲜花.大长方形的相邻两边长分别为60 m和45 m，求小长方形的相邻两边长.
答案
设小长方形的宽为 x cm,长为 y cm. 根据题意,得
$\begin{cases}x+2y=60,\\2x+y=45,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=10,\\y=25.\end{cases}$
所以小长方形的相邻两边长分别是10 m,25 m
$\begin{cases}x+2y=60,\\2x+y=45,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=10,\\y=25.\end{cases}$
所以小长方形的相邻两边长分别是10 m,25 m
解析
【分析】
解题时首先结合图形寻找等量关系：我们可以设小长方形的相邻两边长分别为x m（宽）和y m（长），观察大长方形的竖直方向总长度为60m，由1个小长方形的宽加2个小长方形的长拼接得到，对应第一个等量关系；大长方形的水平方向总长度为45m，由2个小长方形的宽加1个小长方形的长拼接得到，对应第二个等量关系。联立两个等量关系得到二元一次方程组，解方程组即可得到小长方形的边长。
【解析】
解：设小长方形的宽为$x\ \mathrm{m}$，长为$y\ \mathrm{m}$。
根据大长方形的边长等量关系，可列方程组：
$\begin{cases}x+2y=60,\\2x+y=45,\end{cases}$
使用加减消元法求解：
将第一个方程两边同乘2，得 $2x+4y=120$ ③，
用③减去第二个方程，得 $3y=75$，解得 $y=25$，
将$y=25$代入$2x+y=45$，得 $2x+25=45$，解得 $x=10$。
【答案】
小长方形的相邻两边长分别是$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$，$\boldsymbol{25\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法；几何等量关系分析
【点评】
这是几何与方程结合的典型应用题，解题核心是通过观察图形挖掘边长之间的隐藏等量关系，进而准确列方程组求解，侧重考察图形观察能力和方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形寻找等量关系：我们可以设小长方形的相邻两边长分别为x m（宽）和y m（长），观察大长方形的竖直方向总长度为60m，由1个小长方形的宽加2个小长方形的长拼接得到，对应第一个等量关系；大长方形的水平方向总长度为45m，由2个小长方形的宽加1个小长方形的长拼接得到，对应第二个等量关系。联立两个等量关系得到二元一次方程组，解方程组即可得到小长方形的边长。
【解析】
解：设小长方形的宽为$x\ \mathrm{m}$，长为$y\ \mathrm{m}$。
根据大长方形的边长等量关系，可列方程组：
$\begin{cases}x+2y=60,\\2x+y=45,\end{cases}$
使用加减消元法求解：
将第一个方程两边同乘2，得 $2x+4y=120$ ③，
用③减去第二个方程，得 $3y=75$，解得 $y=25$，
将$y=25$代入$2x+y=45$，得 $2x+25=45$，解得 $x=10$。
【答案】
小长方形的相邻两边长分别是$\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$，$\boldsymbol{25\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法；几何等量关系分析
【点评】
这是几何与方程结合的典型应用题，解题核心是通过观察图形挖掘边长之间的隐藏等量关系，进而准确列方程组求解，侧重考察图形观察能力和方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
4 小明和小亮练习赛跑,如果小明让小亮先跑2秒,那么小明跑6秒就追上小亮;如果小明让小亮先跑16米,那么小明跑8秒就追上小亮.设小明每秒跑的路程为$ x $米,小亮每秒跑的路程为$ y $米,则根据题意可列方程组为 （
A.$\begin{cases}6x=2y+6y, \\8x=8y+16\end{cases}$
B.$\begin{cases}6x=2y, \\8x=8y-16\end{cases}$
C.$\begin{cases}6x=2x+6x, \\8y=8x+16\end{cases}$
D.$\begin{cases}6x=2y+6y, \\8x=8y-16\end{cases}$
A
）A.$\begin{cases}6x=2y+6y, \\8x=8y+16\end{cases}$
B.$\begin{cases}6x=2y, \\8x=8y-16\end{cases}$
C.$\begin{cases}6x=2x+6x, \\8y=8x+16\end{cases}$
D.$\begin{cases}6x=2y+6y, \\8x=8y-16\end{cases}$
答案
4. A
解析
【分析】
这是追及问题的二元一次方程组列写题目，解题核心是抓住“追上时两人跑的总路程相等”这个等量关系。第一步分析第一个条件：小明让小亮先跑2秒，小明跑6秒追上，此时小亮跑的总时间是先跑的2秒加上小明跑的6秒，总路程是两段路程相加，和小明6秒跑的路程相等，据此列第一个方程；第二步分析第二个条件：小明让小亮先跑16米，小明跑8秒追上，此时小亮的总路程是8秒跑的路程加先跑的16米，和小明8秒跑的路程相等，据此列第二个方程，再匹配选项即可。
【解析】
首先分析第一个追及场景：
小明跑6秒的路程为$6x$米；小亮先跑2秒，又和小明同时跑了6秒，总路程为$2y + 6y$米，追上时两人路程相等，因此第一个方程为：$6x = 2y + 6y$。
再分析第二个追及场景：
小明跑8秒的路程为$8x$米；小亮先跑了16米，8秒跑的路程为$8y$米，总路程为$8y + 16$米，追上时两人路程相等，因此第二个方程为：$8x = 8y + 16$。
联立可得方程组为$\begin{cases}6x=2y+6y, \\8x=8y+16\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用，追及问题，等量关系梳理
【点评】
本题考查追及问题中二元一次方程组的列写，解题的关键是准确梳理两种追及场景下两人的路程关系，注意不要遗漏先跑的路程或先跑的时间对应的路程，是行程类应用题的基础题型。
【难度系数】
0.8
这是追及问题的二元一次方程组列写题目，解题核心是抓住“追上时两人跑的总路程相等”这个等量关系。第一步分析第一个条件：小明让小亮先跑2秒，小明跑6秒追上，此时小亮跑的总时间是先跑的2秒加上小明跑的6秒，总路程是两段路程相加，和小明6秒跑的路程相等，据此列第一个方程；第二步分析第二个条件：小明让小亮先跑16米，小明跑8秒追上，此时小亮的总路程是8秒跑的路程加先跑的16米，和小明8秒跑的路程相等，据此列第二个方程，再匹配选项即可。
【解析】
首先分析第一个追及场景：
小明跑6秒的路程为$6x$米；小亮先跑2秒，又和小明同时跑了6秒，总路程为$2y + 6y$米，追上时两人路程相等，因此第一个方程为：$6x = 2y + 6y$。
再分析第二个追及场景：
小明跑8秒的路程为$8x$米；小亮先跑了16米，8秒跑的路程为$8y$米，总路程为$8y + 16$米，追上时两人路程相等，因此第二个方程为：$8x = 8y + 16$。
联立可得方程组为$\begin{cases}6x=2y+6y, \\8x=8y+16\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用，追及问题，等量关系梳理
【点评】
本题考查追及问题中二元一次方程组的列写，解题的关键是准确梳理两种追及场景下两人的路程关系，注意不要遗漏先跑的路程或先跑的时间对应的路程，是行程类应用题的基础题型。
【难度系数】
0.8
5 教材 P125 随堂练习 T1 变式 学校到县城有28 km，王老师全程用了1 h，除乘汽车外，还步行了一段路.已知汽车的速度为36 km/h，步行的速度为4 km/h，则步行用了 （
A.13 min
B.14 min
C.15 min
D.16 min
C
）A.13 min
B.14 min
C.15 min
D.16 min
答案
5. C
解析
【分析】
本题是分段行程类应用题，解题时首先明确核心等量关系：步行路程+乘车路程=总路程。我们可以先设步行时间为未知数，结合总时间1h表示出乘车时间，再根据“路程=速度×时间”分别表示两段路程，代入等量关系列出一元一次方程求解，最后将计算结果的单位从小时换算为分钟即可。
【解析】
解：设步行用了$x$小时，则乘汽车的时间为$(1-x)$小时。
根据总路程等于两段路程之和，列方程得：
$4x + 36(1-x) = 28$
展开方程：$4x + 36 - 36x = 28$
移项、合并同类项：$-32x = -8$
解得：$x = \frac{1}{4}$
换算单位：$\frac{1}{4}\mathrm{h} = \frac{1}{4} × 60\mathrm{min} = 15\mathrm{min}$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题
【点评】
本题是典型的分段行程问题，解题的关键是准确梳理路程、时间的等量关系建立方程，计算时注意单位的统一，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是分段行程类应用题，解题时首先明确核心等量关系：步行路程+乘车路程=总路程。我们可以先设步行时间为未知数，结合总时间1h表示出乘车时间，再根据“路程=速度×时间”分别表示两段路程，代入等量关系列出一元一次方程求解，最后将计算结果的单位从小时换算为分钟即可。
【解析】
解：设步行用了$x$小时，则乘汽车的时间为$(1-x)$小时。
根据总路程等于两段路程之和，列方程得：
$4x + 36(1-x) = 28$
展开方程：$4x + 36 - 36x = 28$
移项、合并同类项：$-32x = -8$
解得：$x = \frac{1}{4}$
换算单位：$\frac{1}{4}\mathrm{h} = \frac{1}{4} × 60\mathrm{min} = 15\mathrm{min}$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题
【点评】
本题是典型的分段行程问题，解题的关键是准确梳理路程、时间的等量关系建立方程，计算时注意单位的统一，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6 甲、乙两车同时在同一道路上相距220 km匀速行驶.若两车相向而行,则2 h相遇.若两车同向而行,则10 h甲车赶上乙车.甲车的速度为
66
km/h.答案
6. 66
解析
【分析】
这是行程类实际问题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的基本关系，结合两种行驶场景的等量关系列方程组求解。首先设甲、乙两车的速度为未知数，再分析两种行驶情况的路程关系：相向而行时，相遇时两车2小时行驶的路程之和等于初始相距的220km；同向而行时，甲车追上乙车时，甲车10小时行驶的路程比乙车多220km，最后联立两个方程组成方程组求解即可得到甲车速度。
【解析】
解：设甲车的速度为$x$ km/h，乙车的速度为$y$ km/h。
根据相向而行2小时相遇，两车行驶路程和为220km，列方程：
$2(x+y)=220$ ①
根据同向而行10小时甲车追上乙车，甲车比乙车多行驶220km，列方程：
$10(x-y)=220$ ②
将①化简得：$x+y=110$ ③
将②化简得：$x-y=22$ ④
③+④得：$2x=132$，解得$x=66$。
【答案】
66
【知识点】
二元一次方程组应用，相遇问题，追及问题
【点评】
本题是行程问题的常规题型，解题关键是准确区分相向、同向行驶时的路程等量关系，结合行程基本公式列方程组求解即可，熟练掌握常见行程场景的等量关系能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这是行程类实际问题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的基本关系，结合两种行驶场景的等量关系列方程组求解。首先设甲、乙两车的速度为未知数，再分析两种行驶情况的路程关系：相向而行时，相遇时两车2小时行驶的路程之和等于初始相距的220km；同向而行时，甲车追上乙车时，甲车10小时行驶的路程比乙车多220km，最后联立两个方程组成方程组求解即可得到甲车速度。
【解析】
解：设甲车的速度为$x$ km/h，乙车的速度为$y$ km/h。
根据相向而行2小时相遇，两车行驶路程和为220km，列方程：
$2(x+y)=220$ ①
根据同向而行10小时甲车追上乙车，甲车比乙车多行驶220km，列方程：
$10(x-y)=220$ ②
将①化简得：$x+y=110$ ③
将②化简得：$x-y=22$ ④
③+④得：$2x=132$，解得$x=66$。
【答案】
66
【知识点】
二元一次方程组应用，相遇问题，追及问题
【点评】
本题是行程问题的常规题型，解题关键是准确区分相向、同向行驶时的路程等量关系，结合行程基本公式列方程组求解即可，熟练掌握常见行程场景的等量关系能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
7 数形结合思想 甲、乙二人分别从相距20 km的A,B两地出发,相向而行.如图所示为小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形,求甲、乙二人的速度.
答案
设甲的速度是 x km/h,乙的速度是 y km/h. 根据题意,得
$\begin{cases}2.5x+2y=20,\\x+y+11=20,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=4,\\y=5.\end{cases}$
所以甲的速度是 4 km/h,乙的速度是 5 km/h
$\begin{cases}2.5x+2y=20,\\x+y+11=20,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=4,\\y=5.\end{cases}$
所以甲的速度是 4 km/h,乙的速度是 5 km/h
解析
【分析】
本题是相向而行的行程问题，可通过列二元一次方程组求解，解题思路如下：首先设甲、乙的速度分别为x km/h、y km/h；再结合线段图提取两个等量关系：①第一次运动时，甲一共走了(0.5+2)=2.5h，乙走了2h，两人行驶的路程之和等于A、B两地总路程20km；②第二次运动时，两人各走1h后，两人行驶的路程和加上相距的11km等于总路程20km；最后根据等量关系列方程组求解即可得到两人的速度。
【解析】
解：设甲的速度是x km/h，乙的速度是y km/h。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}(0.5+2)x+2y=20 \\x+y+11=20\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2.5x+2y=20 ①\\x+y=9 ②\end{cases}$
由②得$y=9-x$，将其代入①：
$2.5x+2(9-x)=20$
$2.5x+18-2x=20$
$0.5x=2$
解得$x=4$
把$x=4$代入$y=9-x$，得$y=9-4=5$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=4\\y=5\end{cases}$
【答案】
甲的速度是4 km/h，乙的速度是5 km/h
【知识点】
二元一次方程组应用，相向行程问题，数形结合思想
【点评】
本题借助线段图将抽象的行程运动过程直观化，降低了找等量关系的难度，解题的关键是从两次运动的情形中准确梳理路程和与总路程的关系，掌握列方程组解实际问题的基本步骤即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
本题是相向而行的行程问题，可通过列二元一次方程组求解，解题思路如下：首先设甲、乙的速度分别为x km/h、y km/h；再结合线段图提取两个等量关系：①第一次运动时，甲一共走了(0.5+2)=2.5h，乙走了2h，两人行驶的路程之和等于A、B两地总路程20km；②第二次运动时，两人各走1h后，两人行驶的路程和加上相距的11km等于总路程20km；最后根据等量关系列方程组求解即可得到两人的速度。
【解析】
解：设甲的速度是x km/h，乙的速度是y km/h。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}(0.5+2)x+2y=20 \\x+y+11=20\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2.5x+2y=20 ①\\x+y=9 ②\end{cases}$
由②得$y=9-x$，将其代入①：
$2.5x+2(9-x)=20$
$2.5x+18-2x=20$
$0.5x=2$
解得$x=4$
把$x=4$代入$y=9-x$，得$y=9-4=5$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=4\\y=5\end{cases}$
【答案】
甲的速度是4 km/h，乙的速度是5 km/h
【知识点】
二元一次方程组应用，相向行程问题，数形结合思想
【点评】
本题借助线段图将抽象的行程运动过程直观化，降低了找等量关系的难度，解题的关键是从两次运动的情形中准确梳理路程和与总路程的关系，掌握列方程组解实际问题的基本步骤即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
