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2.[提出问题]
当$x＞0$时，如何求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的最大值或最小值？
[分析问题]
利用我们学过的“凑完全平方式”的方法，可以求一个代数式的最值.例如，$x^2+6x+10=x^2+6x+9+1=(x+3)^2+1$，所以当$x=-3$时此多项式有最小值，最小值是1.
[解决问题]
(1)实践操作:填写下表；
(2)观察猜想:当$x=$
(3)推理论证:利用“凑完全平方式”的方法求$x^2+\frac{1}{x^2}(x＞0)$的最大(或最小)值，以证明你猜想的正确性；
(4)综合应用:求代数式$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10(x＞3)$的最大(或最小)值，并求出此时$x$的值.
当$x＞0$时，如何求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的最大值或最小值？
[分析问题]
利用我们学过的“凑完全平方式”的方法，可以求一个代数式的最值.例如，$x^2+6x+10=x^2+6x+9+1=(x+3)^2+1$，所以当$x=-3$时此多项式有最小值，最小值是1.
[解决问题]
(1)实践操作:填写下表；
(2)观察猜想:当$x=$
1
时，$x^2+\frac{1}{x^2}$有最小
(填“大”或“小”)值，是2
；(3)推理论证:利用“凑完全平方式”的方法求$x^2+\frac{1}{x^2}(x＞0)$的最大(或最小)值，以证明你猜想的正确性；
(4)综合应用:求代数式$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10(x＞3)$的最大(或最小)值，并求出此时$x$的值.
答案
2.解:(1)$\frac{82}{9}$ $\frac{17}{4}$ 2 $\frac{17}{4}$ $\frac{82}{9}$ $\frac{257}{16}$
(2)1 小 2
(3)$x^2+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}+2=(x-\frac{1}{x})^2+2$.
$\because (x-\frac{1}{x})^2≥0,\therefore$ 当 $x-\frac{1}{x}=0$,即当 $x=1$ 时,
$x^2+\frac{1}{x^2}(x＞0)$ 有最小值,最小值是 2.
(4) $x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10 = x^2-6x+9 +$
$\frac{1}{(x-3)^2}+1=(x-3)^2+\frac{1}{(x-3)^2}+1=(x-3)^2 -$
$2+\frac{1}{(x-3)^2}+1+2=[(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2+3.$
$\because [(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2≥0,$
$\therefore$ 当 $(x-3)-\frac{1}{x-3}=0$ 时, $[(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2+3$
有最小值,最小值是 3,此时 $x-3=1$,即 $x=4$.
故代数式 $x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10(x＞3)$ 的最小值
是 3,此时 $x$ 的值为 4.
(2)1 小 2
(3)$x^2+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}+2=(x-\frac{1}{x})^2+2$.
$\because (x-\frac{1}{x})^2≥0,\therefore$ 当 $x-\frac{1}{x}=0$,即当 $x=1$ 时,
$x^2+\frac{1}{x^2}(x＞0)$ 有最小值,最小值是 2.
(4) $x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10 = x^2-6x+9 +$
$\frac{1}{(x-3)^2}+1=(x-3)^2+\frac{1}{(x-3)^2}+1=(x-3)^2 -$
$2+\frac{1}{(x-3)^2}+1+2=[(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2+3.$
$\because [(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2≥0,$
$\therefore$ 当 $(x-3)-\frac{1}{x-3}=0$ 时, $[(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2+3$
有最小值,最小值是 3,此时 $x-3=1$,即 $x=4$.
故代数式 $x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10(x＞3)$ 的最小值
是 3,此时 $x$ 的值为 4.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问直接将表格中给出的x值分别代入代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$，按有理数运算规则计算结果即可。
2. 第(2)问观察第(1)问算出的所有结果，找到最值及对应的x值即可。
3. 第(3)问利用凑完全平方式的方法，将原式变形为“完全平方式+常数”的形式，再结合平方的非负性（任意实数的平方大于等于0），即可求出最值。
4. 第(4)问先对代数式前半部分$x^2-6x+10$配方，将原式转化为与第(3)问结构相似的形式，把$x-3$看作整体，再用凑完全平方式的方法结合平方非负性求最值，最后解出对应x的值即可。
【解析】
(1) 分别代入计算：
当$x=\frac{1}{3}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}+9=\frac{82}{9}$；
当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$；
当$x=1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=1^2+\frac{1}{1^2}=1+1=2$；
当$x=2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=2^2+\frac{1}{2^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$；
当$x=3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=3^2+\frac{1}{3^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$；
当$x=4$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=4^2+\frac{1}{4^2}=16+\frac{1}{16}=\frac{257}{16}$。
(2) 观察上述计算结果，所有结果都大于等于2，当x=1时取得最小值2。
(3) 对代数式凑完全平方：
$x^2+\frac{1}{x^2}=x^2-2· x· \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+2=(x-\frac{1}{x})^2+2$
$\because$ 任意实数的平方是非负数，即$(x-\frac{1}{x})^2≥0$
$\therefore$ 当$(x-\frac{1}{x})^2=0$时，原式取得最小值，此时$x-\frac{1}{x}=0$，结合$x＞0$解得$x=1$，最小值为$0+2=2$。
(4) 先对原式变形：
$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10=(x^2-6x+9)+\frac{1}{(x-3)^2}+1=(x-3)^2+\frac{1}{(x-3)^2}+1$
将$x-3$看作整体，凑完全平方：
原式$=(x-3)^2-2· (x-3)· \frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+1+2=[(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2+3$
$\because [(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2≥0$
$\therefore$ 当$[(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2=0$时，原式取得最小值，最小值为$0+3=3$
此时$(x-3)-\frac{1}{x-3}=0$，结合$x＞3$，得$x-3=1$，解得$x=4$。
【答案】
(1) $\frac{82}{9}$，$\frac{17}{4}$，2，$\frac{17}{4}$，$\frac{82}{9}$，$\frac{257}{16}$；
(2) 1，小，2；
(3) 当$x=1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}(x＞0)$有最小值，最小值为2；
(4) 代数式的最小值为3，此时$x=4$。
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性，配方法求最值
【点评】
本题以探究代数式最值为载体，考查了配方法的灵活应用，解题的核心是掌握凑完全平方式的方法，结合平方的非负性分析最值，其中第(4)问运用了整体思想，将$x-3$看作整体简化运算，能有效锻炼学生的代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 第(1)问直接将表格中给出的x值分别代入代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$，按有理数运算规则计算结果即可。
2. 第(2)问观察第(1)问算出的所有结果，找到最值及对应的x值即可。
3. 第(3)问利用凑完全平方式的方法，将原式变形为“完全平方式+常数”的形式，再结合平方的非负性（任意实数的平方大于等于0），即可求出最值。
4. 第(4)问先对代数式前半部分$x^2-6x+10$配方，将原式转化为与第(3)问结构相似的形式，把$x-3$看作整体，再用凑完全平方式的方法结合平方非负性求最值，最后解出对应x的值即可。
【解析】
(1) 分别代入计算：
当$x=\frac{1}{3}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{9}+9=\frac{82}{9}$；
当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$；
当$x=1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=1^2+\frac{1}{1^2}=1+1=2$；
当$x=2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=2^2+\frac{1}{2^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$；
当$x=3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=3^2+\frac{1}{3^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$；
当$x=4$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=4^2+\frac{1}{4^2}=16+\frac{1}{16}=\frac{257}{16}$。
(2) 观察上述计算结果，所有结果都大于等于2，当x=1时取得最小值2。
(3) 对代数式凑完全平方：
$x^2+\frac{1}{x^2}=x^2-2· x· \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+2=(x-\frac{1}{x})^2+2$
$\because$ 任意实数的平方是非负数，即$(x-\frac{1}{x})^2≥0$
$\therefore$ 当$(x-\frac{1}{x})^2=0$时，原式取得最小值，此时$x-\frac{1}{x}=0$，结合$x＞0$解得$x=1$，最小值为$0+2=2$。
(4) 先对原式变形：
$x^2-6x+\frac{1}{(x-3)^2}+10=(x^2-6x+9)+\frac{1}{(x-3)^2}+1=(x-3)^2+\frac{1}{(x-3)^2}+1$
将$x-3$看作整体，凑完全平方：
原式$=(x-3)^2-2· (x-3)· \frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+1+2=[(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2+3$
$\because [(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2≥0$
$\therefore$ 当$[(x-3)-\frac{1}{x-3}]^2=0$时，原式取得最小值，最小值为$0+3=3$
此时$(x-3)-\frac{1}{x-3}=0$，结合$x＞3$，得$x-3=1$，解得$x=4$。
【答案】
(1) $\frac{82}{9}$，$\frac{17}{4}$，2，$\frac{17}{4}$，$\frac{82}{9}$，$\frac{257}{16}$；
(2) 1，小，2；
(3) 当$x=1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}(x＞0)$有最小值，最小值为2；
(4) 代数式的最小值为3，此时$x=4$。
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性，配方法求最值
【点评】
本题以探究代数式最值为载体，考查了配方法的灵活应用，解题的核心是掌握凑完全平方式的方法，结合平方的非负性分析最值，其中第(4)问运用了整体思想，将$x-3$看作整体简化运算，能有效锻炼学生的代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
