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11 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,AB=5,BC=4$,其内切圆分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,则弦EF的长为 （
A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
C
）A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
11.C
解析
【分析】
解题思路如下：①首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出直角边AC的长度；②利用直角三角形内切圆半径公式求出内切圆的半径r；③连接内切圆圆心与切点E、F，根据切线的性质结合∠C=90°，判定四边形OECF的形状，得到CE、CF的长度；④最后在Rt△ECF中利用勾股定理计算弦EF的长度即可。
【解析】
1. 计算AC的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
2. 计算内切圆半径r：
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入数据得：
$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$。
3. 判定四边形OECF的形状：
连接OE、OF，
∵圆O是$△ ABC$的内切圆，E、F分别为BC、AC边上的切点，
∴$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，即$∠ OEC=∠ OFC=90°$，
又
∵$∠ C=90°$，$OE=OF=r=1$，
∴四边形OECF是正方形，得$CE=CF=1$。
4. 计算EF的长度：
在$Rt△ ECF$中，$∠ C=90°$，$CE=CF=1$，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆的性质，勾股定理，正方形的判定与性质
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础计算题，解题核心是利用切线性质得到特殊四边形，再结合勾股定理求解，是内切圆相关考点的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出直角边AC的长度；②利用直角三角形内切圆半径公式求出内切圆的半径r；③连接内切圆圆心与切点E、F，根据切线的性质结合∠C=90°，判定四边形OECF的形状，得到CE、CF的长度；④最后在Rt△ECF中利用勾股定理计算弦EF的长度即可。
【解析】
1. 计算AC的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
2. 计算内切圆半径r：
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入数据得：
$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$。
3. 判定四边形OECF的形状：
连接OE、OF，
∵圆O是$△ ABC$的内切圆，E、F分别为BC、AC边上的切点，
∴$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，即$∠ OEC=∠ OFC=90°$，
又
∵$∠ C=90°$，$OE=OF=r=1$，
∴四边形OECF是正方形，得$CE=CF=1$。
4. 计算EF的长度：
在$Rt△ ECF$中，$∠ C=90°$，$CE=CF=1$，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆的性质，勾股定理，正方形的判定与性质
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础计算题，解题核心是利用切线性质得到特殊四边形，再结合勾股定理求解，是内切圆相关考点的典型考法。
【难度系数】
0.7
12 新情境 数学文化 《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问：该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长.用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘股，再乘2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于
6
步（注：“步”为长度单位）.答案
12.6
解析
【分析】
要解决该问题，首先需要利用勾股定理，根据直角三角形的两条直角边（勾、股）求出斜边（弦）的长度，再按照题目给出的算法公式，代入对应数值计算即可得到内切圆的直径。
【解析】
1. 求弦（斜边）的长度：
已知勾长为8步，股长为15步，根据勾股定理，弦长$c=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$步。
2. 计算内切圆直径：
根据题意，除数为勾、股、弦的和：$8+15+17=40$
被除数为勾乘股的2倍：$2×8×15=240$
因此内切圆直径为$240÷40=6$步。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆；面积法计算
【点评】
本题结合传统数学文化出题，既考查了勾股定理的基础应用，也考查了直角三角形内切圆的相关计算，题目给出了明确的算法指引，运算难度低，同时能让学生了解我国古代数学的研究成果。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先需要利用勾股定理，根据直角三角形的两条直角边（勾、股）求出斜边（弦）的长度，再按照题目给出的算法公式，代入对应数值计算即可得到内切圆的直径。
【解析】
1. 求弦（斜边）的长度：
已知勾长为8步，股长为15步，根据勾股定理，弦长$c=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$步。
2. 计算内切圆直径：
根据题意，除数为勾、股、弦的和：$8+15+17=40$
被除数为勾乘股的2倍：$2×8×15=240$
因此内切圆直径为$240÷40=6$步。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆；面积法计算
【点评】
本题结合传统数学文化出题，既考查了勾股定理的基础应用，也考查了直角三角形内切圆的相关计算，题目给出了明确的算法指引，运算难度低，同时能让学生了解我国古代数学的研究成果。
【难度系数】
0.7
13 [2024自贡]在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$.
（1）如图①，有三组相等的线段分别是$CE=CF$，$AF=$
（2）如图②，延长$AC$到点$M$，使$AM=AB$，过点$M$作$MN⊥ AB$于点$N$.求证：$MN$是$\odot O$的切线.
（1）如图①，有三组相等的线段分别是$CE=CF$，$AF=$
AD
，$BD=$BE
.若$AC=3$，$BC=4$，则$\odot O$的半径为1
.（2）如图②，延长$AC$到点$M$，使$AM=AB$，过点$M$作$MN⊥ AB$于点$N$.求证：$MN$是$\odot O$的切线.
答案
13. (1) AD BE 1
(2)
过点O作OH⊥MN于点H，连接OD，OE，OF.∵ ∠ANM=90°=∠ACB，∠A=∠A，AM=AB，
∴ △AMN≌△ABC.
∴ AN=AC.
∵ AD=AF，
∴ AN−AD=AC−AF，即DN=CF.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，
∴ ∠OEC=∠OFC=∠ACB=90°，OE=OF.
∴ 四边形OECF是正方形.
∴ CF=OE.
∴ DN=OE.
∵ 易知∠ANM=90°=∠ODN=∠OHN，
∴ 四边形OHND是矩形.
∴ OH=DN.
∴ OH=OE，即OH是⊙O的半径.
∵ OH⊥MN，
∴ MN是⊙O的切线
解析
【分析】
（1）依据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可直接得到对应相等的线段；计算直角三角形内切圆半径时，先通过勾股定理求出斜边长度，再代入直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）即可求解。
（2）要证明$MN$是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，需证明圆心$O$到$MN$的距离等于$\odot O$的半径。因此过$O$作$OH⊥ MN$于$H$，先证明$△ AMN≌△ ABC$得到$AN=AC$，结合切线长定理推导得$DN=CF$，再证明四边形$OECF$是正方形，得到$CF$等于半径$OE$，最后证明四边形$OHND$是矩形，得到$OH=DN=OE$，即可证$OH$为$\odot O$的半径，从而得出结论。
【解析】
（1）$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$，根据切线长定理，得$AF=AD$，$BD=BE$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，则内切圆半径$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$。
（2） 过点O作$OH⊥ MN$于点H，连接$OD$，$OE$，$OF$。
$\because ∠ ANM=90°=∠ ACB$，$∠ A=∠ A$，$AM=AB$，
$\therefore △ AMN≌△ ABC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AN=AC$。
由切线长定理得$AD=AF$，
$\therefore AN-AD=AC-AF$，即$DN=CF$。
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点为$D,E,F$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OFC=∠ C=90°$，且$OE=OF$，
$\therefore$ 四边形$OECF$是正方形，
$\therefore CF=OE$，
$\therefore DN=OE$。
$\because ∠ ANM=∠ ODN=∠ OHN=90°$，
$\therefore$ 四边形$OHND$是矩形，
$\therefore OH=DN$，
$\therefore OH=OE$，即$OH$是$\odot O$的半径。
又$\because OH⊥ MN$，
$\therefore MN$是$\odot O$的切线。
【答案】
(1) $AD$，$BE$，$1$
(2) 过点O作$OH⊥MN$于点H，连接$OD$，$OE$，$OF$.
∵ $∠ANM=90°=∠ACB$，$∠A=∠A$，$AM=AB$，
∴ $△ AMN≌△ ABC$.
∴ $AN=AC$.
∵ $AD=AF$，
∴ $AN−AD=AC−AF$，即$DN=CF$.
∵ $\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点为D，E，F，
∴ $∠OEC=∠OFC=∠ACB=90°$，$OE=OF$.
∴ 四边形OECF是正方形.
∴ $CF=OE$.
∴ $DN=OE$.
∵ 易知$∠ANM=90°=∠ODN=∠OHN$，
∴ 四边形OHND是矩形.
∴ $OH=DN$.
∴ $OH=OE$，即OH是$\odot O$的半径.
∵ $OH⊥MN$，
∴ $MN$是$\odot O$的切线
【知识点】
切线长定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以三角形内切圆为核心设置考点，第一问侧重基础，考查对基础定理和公式的掌握；第二问属于几何综合证明，需要灵活运用全等、特殊四边形的性质推导几何关系，能很好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
（1）依据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可直接得到对应相等的线段；计算直角三角形内切圆半径时，先通过勾股定理求出斜边长度，再代入直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）即可求解。
（2）要证明$MN$是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，需证明圆心$O$到$MN$的距离等于$\odot O$的半径。因此过$O$作$OH⊥ MN$于$H$，先证明$△ AMN≌△ ABC$得到$AN=AC$，结合切线长定理推导得$DN=CF$，再证明四边形$OECF$是正方形，得到$CF$等于半径$OE$，最后证明四边形$OHND$是矩形，得到$OH=DN=OE$，即可证$OH$为$\odot O$的半径，从而得出结论。
【解析】
（1）$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点分别为$D,E,F$，根据切线长定理，得$AF=AD$，$BD=BE$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，则内切圆半径$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$。
（2）
过点O作$OH⊥ MN$于点H，连接$OD$，$OE$，$OF$。$\because ∠ ANM=90°=∠ ACB$，$∠ A=∠ A$，$AM=AB$，
$\therefore △ AMN≌△ ABC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AN=AC$。
由切线长定理得$AD=AF$，
$\therefore AN-AD=AC-AF$，即$DN=CF$。
$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点为$D,E,F$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OFC=∠ C=90°$，且$OE=OF$，
$\therefore$ 四边形$OECF$是正方形，
$\therefore CF=OE$，
$\therefore DN=OE$。
$\because ∠ ANM=∠ ODN=∠ OHN=90°$，
$\therefore$ 四边形$OHND$是矩形，
$\therefore OH=DN$，
$\therefore OH=OE$，即$OH$是$\odot O$的半径。
又$\because OH⊥ MN$，
$\therefore MN$是$\odot O$的切线。
【答案】
(1) $AD$，$BE$，$1$
(2)
过点O作$OH⊥MN$于点H，连接$OD$，$OE$，$OF$.∵ $∠ANM=90°=∠ACB$，$∠A=∠A$，$AM=AB$，
∴ $△ AMN≌△ ABC$.
∴ $AN=AC$.
∵ $AD=AF$，
∴ $AN−AD=AC−AF$，即$DN=CF$.
∵ $\odot O$是$△ ABC$的内切圆，切点为D，E，F，
∴ $∠OEC=∠OFC=∠ACB=90°$，$OE=OF$.
∴ 四边形OECF是正方形.
∴ $CF=OE$.
∴ $DN=OE$.
∵ 易知$∠ANM=90°=∠ODN=∠OHN$，
∴ 四边形OHND是矩形.
∴ $OH=DN$.
∴ $OH=OE$，即OH是$\odot O$的半径.
∵ $OH⊥MN$，
∴ $MN$是$\odot O$的切线
【知识点】
切线长定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以三角形内切圆为核心设置考点，第一问侧重基础，考查对基础定理和公式的掌握；第二问属于几何综合证明，需要灵活运用全等、特殊四边形的性质推导几何关系，能很好地考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
1 [2024 泸州]如图，EA，ED是$\odot O$的切线，切点分别为A，D，点B，C在$\odot O$上.若$∠ BAE + ∠ BCD=236°$，则$∠ E$的度数为 （
A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
（第1题）
C
）A.$56°$
B.$60°$
C.$68°$
D.$70°$
（第1题）答案
1.C
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 首先利用圆内接四边形对角互补的性质，得到∠BAD与∠BCD的数量关系；
2. 将该关系代入已知条件$∠ BAE + ∠ BCD=236°$，推导得出$∠ DAE$的度数；
3. 再根据切线长定理，得到$EA=ED$，即$△ EAD$为等腰三角形，两底角$∠ DAE=∠ ADE$；
4. 最后利用三角形内角和为$180°$，计算出$∠ E$的度数。
【解析】
解：
1. $\because$ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，即 $∠ BCD = 180° - ∠ BAD$。
2. 已知 $∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，将$∠ BCD = 180° - ∠ BAD$代入，得：
$∠ BAE + 180° - ∠ BAD = 236°$，
整理得：$∠ BAE - ∠ BAD = 56°$。
3. 由图可知$∠ BAE = ∠ BAD + ∠ DAE$，因此：
$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 56°$。
4. $\because EA、ED$都是$\odot O$的切线，根据切线长定理，得$EA=ED$，
$\therefore △ EAD$是等腰三角形，$∠ DAE = ∠ ADE = 56°$。
5. 根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ E = 180° - ∠ DAE - ∠ ADE = 180° - 56° - 56° = 68°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，切线长定理，三角形内角和
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质与三角形相关定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的对角互补性质及切线长定理，通过角度转化推导得出等腰三角形的底角度数，进而求出所求角的度数。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 首先利用圆内接四边形对角互补的性质，得到∠BAD与∠BCD的数量关系；
2. 将该关系代入已知条件$∠ BAE + ∠ BCD=236°$，推导得出$∠ DAE$的度数；
3. 再根据切线长定理，得到$EA=ED$，即$△ EAD$为等腰三角形，两底角$∠ DAE=∠ ADE$；
4. 最后利用三角形内角和为$180°$，计算出$∠ E$的度数。
【解析】
解：
1. $\because$ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，即 $∠ BCD = 180° - ∠ BAD$。
2. 已知 $∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，将$∠ BCD = 180° - ∠ BAD$代入，得：
$∠ BAE + 180° - ∠ BAD = 236°$，
整理得：$∠ BAE - ∠ BAD = 56°$。
3. 由图可知$∠ BAE = ∠ BAD + ∠ DAE$，因此：
$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 56°$。
4. $\because EA、ED$都是$\odot O$的切线，根据切线长定理，得$EA=ED$，
$\therefore △ EAD$是等腰三角形，$∠ DAE = ∠ ADE = 56°$。
5. 根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ E = 180° - ∠ DAE - ∠ ADE = 180° - 56° - 56° = 68°$。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，切线长定理，三角形内角和
【点评】
本题综合考查了圆的基础性质与三角形相关定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的对角互补性质及切线长定理，通过角度转化推导得出等腰三角形的底角度数，进而求出所求角的度数。
【难度系数】
0.7
2 如图，$\odot O$ 内切于正方形 $ABCD$，作 $∠ MON = 90°$，其两边分别交 $BC$，$CD$ 于点 $N$，$M$。若 $CM + CN = 4$，则 $\odot O$ 的面积为（
A.$π$
B.$2π$
C.$4π$
D.$0.5π$
C
）A.$π$
B.$2π$
C.$4π$
D.$0.5π$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先结合正方形内切圆的性质分析：内切圆圆心O是正方形的中心，到各边的距离等于半径。第一步：过O作BC、CD的垂线，得到边长等于半径r的小正方形OECF；第二步：结合∠MON=90°推导角相等，证明两个直角三角形全等，得到线段等量关系；第三步：将CM+CN的和转化为与半径相关的式子，求出半径后计算圆面积即可。
【解析】
解：过点O作$OE⊥ BC$于点E，$OF⊥ CD$于点F。
∵ $\odot O$是正方形$ABCD$的内切圆，
∴ $OE、OF$都是$\odot O$的半径，E为BC中点，F为CD中点，
∴ $OE=OF=r$，$∠ OEN=∠ OFM=90°$。
又
∵ 正方形$ABCD$中$∠ C=90°$，
∴ 四边形$OECF$是正方形，
∴ $CE=CF=r$，$∠ EOF=90°$。
∵ $∠ MON=90°$，
∴ $∠ MON-∠ EOM=∠ EOF-∠ EOM$，即$∠ EON=∠ FOM$。
在$△ OEN$和$△ OFM$中：
$\begin{cases}∠ OEN=∠ OFM \\OE=OF \\∠ EON=∠ FOM\end{cases}$
∴ $△ OEN≌△ OFM(\mathrm{ASA})$，
∴ $EN=FM$。
∴ $CM+CN=(CF-FM)+(CE+EN)=CF+CE=2r$。
已知$CM+CN=4$，
∴ $2r=4$，解得$r=2$，
∴ $\odot O$的面积$S=π r^2=π×2^2=4π$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆的面积计算
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过角度关系证明三角形全等，将未知线段和转化为和半径相关的表达式，很好地考察了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先结合正方形内切圆的性质分析：内切圆圆心O是正方形的中心，到各边的距离等于半径。第一步：过O作BC、CD的垂线，得到边长等于半径r的小正方形OECF；第二步：结合∠MON=90°推导角相等，证明两个直角三角形全等，得到线段等量关系；第三步：将CM+CN的和转化为与半径相关的式子，求出半径后计算圆面积即可。
【解析】
解：过点O作$OE⊥ BC$于点E，$OF⊥ CD$于点F。
∵ $\odot O$是正方形$ABCD$的内切圆，
∴ $OE、OF$都是$\odot O$的半径，E为BC中点，F为CD中点，
∴ $OE=OF=r$，$∠ OEN=∠ OFM=90°$。
又
∵ 正方形$ABCD$中$∠ C=90°$，
∴ 四边形$OECF$是正方形，
∴ $CE=CF=r$，$∠ EOF=90°$。
∵ $∠ MON=90°$，
∴ $∠ MON-∠ EOM=∠ EOF-∠ EOM$，即$∠ EON=∠ FOM$。
在$△ OEN$和$△ OFM$中：
$\begin{cases}∠ OEN=∠ OFM \\OE=OF \\∠ EON=∠ FOM\end{cases}$
∴ $△ OEN≌△ OFM(\mathrm{ASA})$，
∴ $EN=FM$。
∴ $CM+CN=(CF-FM)+(CE+EN)=CF+CE=2r$。
已知$CM+CN=4$，
∴ $2r=4$，解得$r=2$，
∴ $\odot O$的面积$S=π r^2=π×2^2=4π$。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆的面积计算
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过角度关系证明三角形全等，将未知线段和转化为和半径相关的表达式，很好地考察了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
